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10. 已知抛物线$y = ax^{2}+2ax + m与x轴的一个公共点坐标为(1,0)$,则关于$x的一元二次方程ax^{2}+2ax + m = 0$的两根为______.
答案
$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-3 $
11. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的部分图象如图所示,则$ax^{2}+bx + c ＞ 0$时,$x$的取值范围是______.
答案
$ -1＜x＜5 $
12. (2024济宁中考)将抛物线$y = x^{2}-6x + 12向下平移k$个单位长度.若平移后得到的抛物线与$x$轴有公共点,则$k$的取值范围是______.
答案
$ k \geqslant 3 $ 解：∵平移后的抛物线为 $ y=x^{2}-6x+12-k $，
∴ $ \Delta=(-6)^{2}-4 \times 1 \times(12-k) \geqslant 0 $，
解得 $ k \geqslant 3 $。
∴ $ \Delta=(-6)^{2}-4 \times 1 \times(12-k) \geqslant 0 $，
解得 $ k \geqslant 3 $。
13. (2024湖北元调)已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$($a$,$b$,$c$为常数,$a ＞ 0$)的对称轴为直线$x = 1$,与$x轴交于(x_{1},0)$,$(x_{2},0)$两点,$2 ＜ x_{2} ＜ 3$,下列结论正确的是()
A. $x_{1}x_{2} ＞ 0$
B. $x_{1}+x_{2} = 1$
C. $b^{2} ＜ 4ac$
D. $a - b + c ＞ 0$
A. $x_{1}x_{2} ＞ 0$
B. $x_{1}+x_{2} = 1$
C. $b^{2} ＜ 4ac$
D. $a - b + c ＞ 0$
答案
D 解：由题意知，$ -\frac{b}{2a}=1 $，
即 $ b=-2a $，
又∵抛物线 $ y=a x^{2}+b x+c $ 与 $ x $ 轴交于 $ \left(x_{1}, 0\right) $，$ \left(x_{2}, 0\right) $ 两点，
∴ $ \Delta=b^{2}-4 a c＞0 $，
$ x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=2 $，
∴ $ b^{2}＞4 a c $，故 B，C 错误；
∵ $ 2＜x_{2}＜3 $，
∴ $ 2＜2-x_{1}＜3 $，
∴ $ -1＜x_{1}＜0 $，
∴ $ x_{1} x_{2}＜0 $，故 A 错误；
∵ $ a＞0 $，图象开口向上，当 $ x＜1 $ 时，$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小，$ -1＜x_{1} $，
∴当 $ x=-1 $ 时，$ y=a-b+c＞0 $，
故 D 正确。
即 $ b=-2a $，
又∵抛物线 $ y=a x^{2}+b x+c $ 与 $ x $ 轴交于 $ \left(x_{1}, 0\right) $，$ \left(x_{2}, 0\right) $ 两点，
∴ $ \Delta=b^{2}-4 a c＞0 $，
$ x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=2 $，
∴ $ b^{2}＞4 a c $，故 B，C 错误；
∵ $ 2＜x_{2}＜3 $，
∴ $ 2＜2-x_{1}＜3 $，
∴ $ -1＜x_{1}＜0 $，
∴ $ x_{1} x_{2}＜0 $，故 A 错误；
∵ $ a＞0 $，图象开口向上，当 $ x＜1 $ 时，$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小，$ -1＜x_{1} $，
∴当 $ x=-1 $ 时，$ y=a-b+c＞0 $，
故 D 正确。
14. 如图,已知抛物线$y_{1} = -x^{2}+5与直线y_{2} = 2x + 2交于A$,$B$两点.
(1)求$A$,$B$两点的坐标；
(2)若$y_{1} ＞ y_{2}$,请直接写出$x$的取值范围______.
(1)求$A$,$B$两点的坐标；
(2)若$y_{1} ＞ y_{2}$,请直接写出$x$的取值范围______.
答案
解：(1) 联立 $ \left\{\begin{array}{l}y=-x^{2}+5, \\ y=2 x+2,\end{array}\right. $
解得 $ \left\{\begin{array}{l}x_{1}=-3, \\ y_{1}=-4,\end{array}\right. $ $ \left\{\begin{array}{l}x_{2}=1, \\ y_{2}=4,\end{array}\right. $
∴ $ A(-3,-4) $，$ B(1,4) $；
(2) $ -3＜x＜1 $。
解得 $ \left\{\begin{array}{l}x_{1}=-3, \\ y_{1}=-4,\end{array}\right. $ $ \left\{\begin{array}{l}x_{2}=1, \\ y_{2}=4,\end{array}\right. $
∴ $ A(-3,-4) $，$ B(1,4) $；
(2) $ -3＜x＜1 $。
15. (原创题)如图,点$P(2,t)为抛物线y = -x^{2}+2x + 3$上一点,过点$P的直线l$(不与$y$轴平行)与抛物线有唯一公共点.
(1)求直线$l$的解析式；
(2)平移直线$l交抛物线于A$,$B$两点,交$x轴于点H$,若点$H为AB$的中点,求点$H$的坐标.
(1)求直线$l$的解析式；
(2)平移直线$l交抛物线于A$,$B$两点,交$x轴于点H$,若点$H为AB$的中点,求点$H$的坐标.
答案
解：(1) 当 $ x=2 $ 时，$ y=3 $，
∴ $ P(2,3) $，
设直线 $ l $ 的解析式为 $ y=k x+b $，
则 $ 3=2 k+b $，
∴ $ b=-2 k+3 $，
∴ $ y=k x-2 k+3 $。
联立 $ \left\{\begin{array}{l}y=-x^{2}+2 x+3, \\ y=k x-2 k+3,\end{array}\right. $
得 $ x^{2}+(k-2) x-2 k=0 $，
∵直线 $ l $ 与抛物线有唯一公共点 $ P(2, t) $，
∴方程的两根都为 2，
∴ $ 2+2=2-k $，解得 $ k=-2 $，
∴直线 $ l $ 的解析式为 $ y=-2 x+7 $；
(2) ∵直线 $ A B // $ 直线 $ l $，
∴可设直线 $ A B $ 为 $ y=-2 x+m $，
联立 $ \left\{\begin{array}{l}y=-x^{2}+2 x+3, \\ y=-2 x+m,\end{array}\right. $
得 $ x^{2}-4 x+m-3=0 $，
∴ $ x_{A}+x_{B}=4 $。
∵点 $ H $ 为 $ A B $ 的中点，
∴ $ x_{A}+x_{B}=2 x_{H}=4 $，
∴ $ x_{H}=2 $，∴点 $ H $ 的坐标为 $ (2,0) $。
∴ $ P(2,3) $，
设直线 $ l $ 的解析式为 $ y=k x+b $，
则 $ 3=2 k+b $，
∴ $ b=-2 k+3 $，
∴ $ y=k x-2 k+3 $。
联立 $ \left\{\begin{array}{l}y=-x^{2}+2 x+3, \\ y=k x-2 k+3,\end{array}\right. $
得 $ x^{2}+(k-2) x-2 k=0 $，
∵直线 $ l $ 与抛物线有唯一公共点 $ P(2, t) $，
∴方程的两根都为 2，
∴ $ 2+2=2-k $，解得 $ k=-2 $，
∴直线 $ l $ 的解析式为 $ y=-2 x+7 $；
(2) ∵直线 $ A B // $ 直线 $ l $，
∴可设直线 $ A B $ 为 $ y=-2 x+m $，
联立 $ \left\{\begin{array}{l}y=-x^{2}+2 x+3, \\ y=-2 x+m,\end{array}\right. $
得 $ x^{2}-4 x+m-3=0 $，
∴ $ x_{A}+x_{B}=4 $。
∵点 $ H $ 为 $ A B $ 的中点，
∴ $ x_{A}+x_{B}=2 x_{H}=4 $，
∴ $ x_{H}=2 $，∴点 $ H $ 的坐标为 $ (2,0) $。
