5. (2024陕西中考)某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的,每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头,这两个喷头朝向一致,喷出的水流均呈抛物线形。当围观游人喊声较小时,下喷头喷水；当围观游人喊声较大时,上下两个喷头都喷水。如图所示,点$A和点B是一个柱形喷泉装置OB$上的两个喷头,$A喷头喷出的水流的落地点为C$。以$O$为原点,以$OC所在直线为x$轴,$OB所在直线为y$轴,建立平面直角坐标系。(柱形喷泉装置的粗细忽略不计)已知：$OA = 1m$,$OB = 2m$,$OC = 3m$,从$A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式分别是y = -\frac{1}{3}x^{2} + bx + c和y = -\frac{1}{3}x^{2} + bx + c'$。
(1)求$A$喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点$D$处,$OD = 4m$。当围观游人喊声较大时,$B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D$处？

解：(1)根据题意，令$x = 0$，易得$c = 1$，$c' = 2$．令$x = 3$，$y = -\frac{1}{3}x^2 + bx + c = -3 + 3b + 1 = 0$，可求得$b = \frac{2}{3}$，$\therefore y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 1 = -\frac{1}{3}(x - 1)^2 + \frac{4}{3}$，$\therefore y$的最大值为$\frac{4}{3}$，因此，$A$喷头喷出的水流的最大高度为$\frac{4}{3}m$；
(2)函数$y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 2$，令$x = 4$，$y = -\frac{1}{3}×4^2 + \frac{2}{3}×4 + 2 = -\frac{2}{3}$，因此，$B$喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点$D$处．

6. 综合与实践：设计隧道的限高方案
素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图,经测量,其高度$AB为8$米,宽度$CD为16$米。
素材2：车辆在此隧道可以双向通行,但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘$2$米($DE = 2$米)这一范围内行驶,并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于$0.5$米。
解决问题：
(1)确定隧道形状：以$C$为坐标原点,$CD所在直线为x$轴建立平面直角坐标系,求抛物线的解析式；
(2)探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过,求该隧道限高多少米？

解：(1)由素材知顶点$A(8,8)$，故可设该抛物线为$y = a(x - 8)^2 + 8$，把$(0,0)$代入，得$a(0 - 8)^2 + 8 = 0$，解得$a = -\frac{1}{8}$，$\therefore$抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{8}(x - 8)^2 + 8$；

(2)$\because CD = 16$，$DE = 2$，$\therefore CE = 14$，当$x = 14$时，$y = -\frac{1}{8}(14 - 8)^2 + 8 = \frac{7}{2}$．设该隧道限高$h$米，则$\frac{7}{2} - h \geq \frac{1}{2}$，解得$h \leq 3$，$\therefore$该隧道限高3米．