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4.已知一个二次函数的图像经过$A(1,0),B(3,0),C(0,-3)$三点,顶点为D.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)求经过A、D两点的直线的表达式.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)求经过A、D两点的直线的表达式.
答案
解：(1)设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0).$
因为图像经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，-3)三点，
这个二次函数的解析式$y=-x^2+4x-3.$
$ (2)y=-(x^2-4x+3)=-(x-2)^2+1，$
所以顶点为D(2，1).
设直线为y=kx+b(k≠0)，直线过D(2，1)，A(1，0)，
得k=1，b=-1，
直线的表达式为y=x-1.
因为图像经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，-3)三点，
这个二次函数的解析式$y=-x^2+4x-3.$
$ (2)y=-(x^2-4x+3)=-(x-2)^2+1，$
所以顶点为D(2，1).
设直线为y=kx+b(k≠0)，直线过D(2，1)，A(1，0)，
得k=1，b=-1，
直线的表达式为y=x-1.
5.如图,已知$\triangle ABC$中,$BC= a$,BC边上的高$AH= h$；矩形DEFG的顶点D、E在边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.设矩形的边DE的长为x,面积为y,求y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域.
答案
解：设AH与GF交于点M，如图所示.
∵GF//BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac {AM}{AH}=\frac {GF}{BC}.$
∵GF=DE=x，BC=a，AH=h，
∴$AM=\frac {h}{a}x，$
∴$MH=h-\frac {h}{a}x，$
∴$y=DE×MH=x(h-\frac {h}{a}x)=-\frac {h}{a}x^2+hx(0＜x＜a).$
