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1. 求出下面图形中指定角的度数。
(1)
已知$∠ 1 = ∠ 2$,$∠ 2 = (\quad\quad)$。
(2)
$∠ 1 = (\quad\quad)$,$∠ 2 = (\quad\quad)$,$∠ 3 = (\quad\quad)$。
(1)
已知$∠ 1 = ∠ 2$,$∠ 2 = (\quad\quad)$。
(2)
$∠ 1 = (\quad\quad)$,$∠ 2 = (\quad\quad)$,$∠ 3 = (\quad\quad)$。
答案
1. (1)$55°$ (2)$125°$ $55°$ $35°$
解析
【分析】
(1) 观察图形可知，∠1与∠2的和为180°减去图中已知的70°角，又因为∠1=∠2，所以将∠1与∠2的和平均分成2份，每份的度数就是∠2的度数。
(2) 对于∠1，它与55°的角组成平角，根据平角是180°，用180°减去55°可求出∠1；∠2与∠1是邻补角，或与已知55°角是对顶角，由此可得∠2的度数；∠3在直角三角形中，利用直角为90°，用90°减去∠2的度数就能求出∠3。
【解析】
(1) 由图可得：∠1 + ∠2 = 180° - 70° = 110°
因为∠1 = ∠2，所以∠2 = 110° ÷ 2 = 55°
(2) ① 计算∠1：
∠1 = 180° - 55° = 125°
② 计算∠2：
∠2 = 180° - 125° = 55°（或根据对顶角相等，∠2=55°）
③ 计算∠3：
∠3 = 90° - 55° = 35°
【答案】
1. (1)$55°$ (2)$125°$ $55°$ $35°$
【知识点】
平角的性质、对顶角相等、直角的性质
【点评】
本题借助常见的角的关系（平角、直角、对顶角）来计算未知角，解题核心是准确识别角之间的和差关系，灵活运用特殊角的度数特征。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图形可知，∠1与∠2的和为180°减去图中已知的70°角，又因为∠1=∠2，所以将∠1与∠2的和平均分成2份，每份的度数就是∠2的度数。
(2) 对于∠1，它与55°的角组成平角，根据平角是180°，用180°减去55°可求出∠1；∠2与∠1是邻补角，或与已知55°角是对顶角，由此可得∠2的度数；∠3在直角三角形中，利用直角为90°，用90°减去∠2的度数就能求出∠3。
【解析】
(1) 由图可得：∠1 + ∠2 = 180° - 70° = 110°
因为∠1 = ∠2，所以∠2 = 110° ÷ 2 = 55°
(2) ① 计算∠1：
∠1 = 180° - 55° = 125°
② 计算∠2：
∠2 = 180° - 125° = 55°（或根据对顶角相等，∠2=55°）
③ 计算∠3：
∠3 = 90° - 55° = 35°
【答案】
1. (1)$55°$ (2)$125°$ $55°$ $35°$
【知识点】
平角的性质、对顶角相等、直角的性质
【点评】
本题借助常见的角的关系（平角、直角、对顶角）来计算未知角，解题核心是准确识别角之间的和差关系，灵活运用特殊角的度数特征。
【难度系数】
0.7
2. 一个周角可以分成$(\quad\quad)$个$45°$的角。
答案
2. 8
解析
【分析】
首先要明确周角的度数，周角的度数是360°。题目要求计算一个周角可以分成多少个45°的角，本质是求360°里包含多少个45°，这类求一个数里包含几个另一个数的问题，用除法运算即可解决，用周角的度数除以45°，得到的商就是能分成的角的个数。
【解析】
1. 确定周角的度数：周角 = 360°
2. 计算可分成的45°角的数量：360°÷45° = 8（个）
【答案】
8
【知识点】
周角的认识，除法的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对周角基本概念的掌握以及除法意义的简单应用，只要牢记周角的度数，通过简单的除法运算就能得出结果。
【难度系数】
0.9
首先要明确周角的度数，周角的度数是360°。题目要求计算一个周角可以分成多少个45°的角，本质是求360°里包含多少个45°，这类求一个数里包含几个另一个数的问题，用除法运算即可解决，用周角的度数除以45°，得到的商就是能分成的角的个数。
【解析】
1. 确定周角的度数：周角 = 360°
2. 计算可分成的45°角的数量：360°÷45° = 8（个）
【答案】
8
【知识点】
周角的认识，除法的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对周角基本概念的掌握以及除法意义的简单应用，只要牢记周角的度数，通过简单的除法运算就能得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 过一个点可以画$(\quad\quad)$条射线,过两个点可以画$(\quad\quad)$条直线。
答案
3. 无数 1
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从射线和直线的定义及性质入手思考：
1. 对于射线：射线有一个端点，可向一端无限延伸。过一个点时，由于可以向任意方向画出射线，而方向有无数种，每个方向都能对应一条不同的射线，因此过一个点能画无数条射线。
2. 对于直线：直线没有端点，可向两端无限延伸，且根据直线的基本性质“两点确定一条直线”，也就是说经过两个点只能画出唯一的一条直线，因此过两个点可以画1条直线。
【解析】
1. 射线有一个端点，可向一端无限延伸，从一个点出发能向无数个不同方向画射线，所以过一个点可以画无数条射线。
2. 根据直线的性质“两点确定一条直线”，经过两个点只能画出唯一的一条直线，所以过两个点可以画1条直线。
【答案】
无数；1
【知识点】
射线的特征、两点确定一条直线
【点评】
本题是几何基础概念题，主要考查学生对射线的特征和直线基本性质的掌握，属于入门级几何知识，牢记相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以从射线和直线的定义及性质入手思考：
1. 对于射线：射线有一个端点，可向一端无限延伸。过一个点时，由于可以向任意方向画出射线，而方向有无数种，每个方向都能对应一条不同的射线，因此过一个点能画无数条射线。
2. 对于直线：直线没有端点，可向两端无限延伸，且根据直线的基本性质“两点确定一条直线”，也就是说经过两个点只能画出唯一的一条直线，因此过两个点可以画1条直线。
【解析】
1. 射线有一个端点，可向一端无限延伸，从一个点出发能向无数个不同方向画射线，所以过一个点可以画无数条射线。
2. 根据直线的性质“两点确定一条直线”，经过两个点只能画出唯一的一条直线，所以过两个点可以画1条直线。
【答案】
无数；1
【知识点】
射线的特征、两点确定一条直线
【点评】
本题是几何基础概念题，主要考查学生对射线的特征和直线基本性质的掌握，属于入门级几何知识，牢记相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
4. 从8时到9时,钟面上的时针旋转了$(\quad\quad)°$,分针旋转了$(\quad\quad)°$,此时,钟面上时针与分针所形成的较小角是$(\quad\quad)°$,是$(\quad\quad)$角。
答案
4. 30 360 90 直
解析
【分析】
首先明确钟面的基本特征：钟面为周角（360°），被平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度是360°÷12=30°。
1. 时针旋转角度：从8时到9时，时针走1个大格，旋转角度即为1个大格的度数30°；
2. 分针旋转角度：从8时到9时，分针绕钟面走一圈，一圈是周角360°，所以分针旋转360°；
3. 9时整时针与分针的较小角：此时时针指向9、分针指向12，两者间隔3个大格，角度为3×30°=90°，90°的角是直角。
【解析】
1. 计算钟面每个大格的角度：
$360°÷12 = 30°$
2. 时针旋转角度：
从8时到9时，时针走1个大格，$30°×1 = 30°$
3. 分针旋转角度：
从8时到9时，分针走一圈，对应角度为$360°$
4. 9时整时针与分针的较小角：
时针与分针间隔3个大格，$30°×3 = 90°$，$90°$是直角。
【答案】
30 360 90 直
【知识点】
钟面角度计算、角的分类、周角认识
【点评】
本题考查钟面角度与角的分类的基础知识点，需要学生掌握钟面大格与角度的对应关系，以及不同类型角的度数特征，题型基础，能帮助学生巩固时间与角度的关联认知。
【难度系数】
0.8
首先明确钟面的基本特征：钟面为周角（360°），被平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度是360°÷12=30°。
1. 时针旋转角度：从8时到9时，时针走1个大格，旋转角度即为1个大格的度数30°；
2. 分针旋转角度：从8时到9时，分针绕钟面走一圈，一圈是周角360°，所以分针旋转360°；
3. 9时整时针与分针的较小角：此时时针指向9、分针指向12，两者间隔3个大格，角度为3×30°=90°，90°的角是直角。
【解析】
1. 计算钟面每个大格的角度：
$360°÷12 = 30°$
2. 时针旋转角度：
从8时到9时，时针走1个大格，$30°×1 = 30°$
3. 分针旋转角度：
从8时到9时，分针走一圈，对应角度为$360°$
4. 9时整时针与分针的较小角：
时针与分针间隔3个大格，$30°×3 = 90°$，$90°$是直角。
【答案】
30 360 90 直
【知识点】
钟面角度计算、角的分类、周角认识
【点评】
本题考查钟面角度与角的分类的基础知识点，需要学生掌握钟面大格与角度的对应关系，以及不同类型角的度数特征，题型基础，能帮助学生巩固时间与角度的关联认知。
【难度系数】
0.8
1. “中国天眼”是世界上最大的单口径射电望远镜,它可以搜索、接收宇宙中的信号。宇宙中的天体发射出的信号可以看作$(\quad\quad)$。
A.线段
B.射线
C.直线
A.线段
B.射线
C.直线
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确线段、射线、直线的核心特征：线段有两个端点，长度有限；射线有一个端点，可向一端无限延伸；直线没有端点，可向两端无限延伸。再结合题目场景，宇宙中的天体是信号的发射源，相当于一个端点，信号从该端点出发向宇宙无限延伸，这与射线的特征完全匹配，因此可确定答案。
【解析】
根据线段、射线、直线的定义：
1. 线段：有两个端点，长度固定，无法无限延伸；
2. 射线：有一个端点，可从端点向一端无限延伸；
3. 直线：没有端点，可向两端无限延伸。
宇宙中的天体作为信号发射源，是一个固定的端点，发射出的信号从该端点向宇宙无限延伸，符合射线的特征，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
射线的定义、线段与直线的特征
【点评】
本题考查线段、射线、直线的概念辨析，结合“中国天眼”接收天体信号的实际场景，要求学生能将数学概念与生活实际结合，准确区分三种线的本质特征，属于基础概念应用题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需先明确线段、射线、直线的核心特征：线段有两个端点，长度有限；射线有一个端点，可向一端无限延伸；直线没有端点，可向两端无限延伸。再结合题目场景，宇宙中的天体是信号的发射源，相当于一个端点，信号从该端点出发向宇宙无限延伸，这与射线的特征完全匹配，因此可确定答案。
【解析】
根据线段、射线、直线的定义：
1. 线段：有两个端点，长度固定，无法无限延伸；
2. 射线：有一个端点，可从端点向一端无限延伸；
3. 直线：没有端点，可向两端无限延伸。
宇宙中的天体作为信号发射源，是一个固定的端点，发射出的信号从该端点向宇宙无限延伸，符合射线的特征，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
射线的定义、线段与直线的特征
【点评】
本题考查线段、射线、直线的概念辨析，结合“中国天眼”接收天体信号的实际场景，要求学生能将数学概念与生活实际结合，准确区分三种线的本质特征，属于基础概念应用题型。
【难度系数】
0.9
2. 12时10分,钟面上时针与分针所形成的较小角是$(\quad\quad)$。
A.直角
B.锐角
C.钝角
A.直角
B.锐角
C.钝角
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先明确钟面的基本角度规律，再分别确定12时10分时针和分针的位置，计算出两者的夹角后判断角的类型。首先，钟面一圈为360°，平均分成12个大格，每个大格对应30°；其次，分针每分钟转动6°（360°÷60），时针每分钟转动0.5°（30°÷60）。12时10分时，分针指向2，时针会从12向1转动一段距离，我们需要算出此时时针与分针的夹角，再根据锐角、直角、钝角的定义判断类型。
【解析】
1. 计算钟面每个大格的度数：
$360°÷12=30°$
2. 确定12时10分时分针的位置及与12的夹角：
分针10分钟指向数字2，与12的夹角为$2×30°=60°$
3. 计算12时10分时时针的移动角度：
时针每分钟转动$30°÷60=0.5°$，10分钟转动的角度为$0.5°×10=5°$，即时针在12偏5°的位置
4. 计算时针与分针的夹角：
$60°-5°=55°$
5. 判断角的类型：
因为$55°＜90°$，根据锐角的定义（大于0°且小于90°的角是锐角），所以该角是锐角。
【答案】
B
【知识点】
钟面角度计算、角的分类
【点评】
本题考查钟面角的计算及角的分类，易错点在于容易忽略时针随分针转动的情况，直接用分针与12的夹角当作时针和分针的夹角，解题时需准确计算时针的移动距离，再结合角的定义判断类型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要先明确钟面的基本角度规律，再分别确定12时10分时针和分针的位置，计算出两者的夹角后判断角的类型。首先，钟面一圈为360°，平均分成12个大格，每个大格对应30°；其次，分针每分钟转动6°（360°÷60），时针每分钟转动0.5°（30°÷60）。12时10分时，分针指向2，时针会从12向1转动一段距离，我们需要算出此时时针与分针的夹角，再根据锐角、直角、钝角的定义判断类型。
【解析】
1. 计算钟面每个大格的度数：
$360°÷12=30°$
2. 确定12时10分时分针的位置及与12的夹角：
分针10分钟指向数字2，与12的夹角为$2×30°=60°$
3. 计算12时10分时时针的移动角度：
时针每分钟转动$30°÷60=0.5°$，10分钟转动的角度为$0.5°×10=5°$，即时针在12偏5°的位置
4. 计算时针与分针的夹角：
$60°-5°=55°$
5. 判断角的类型：
因为$55°＜90°$，根据锐角的定义（大于0°且小于90°的角是锐角），所以该角是锐角。
【答案】
B
【知识点】
钟面角度计算、角的分类
【点评】
本题考查钟面角的计算及角的分类，易错点在于容易忽略时针随分针转动的情况，直接用分针与12的夹角当作时针和分针的夹角，解题时需准确计算时针的移动距离，再结合角的定义判断类型。
【难度系数】
0.6
3. 在一条射线上用圆规截取5厘米长的线段,可以截取$(\quad\quad)$条。
A.20
B.100
C.无数
A.20
B.100
C.无数
答案
3. C
解析
【分析】
首先要明确射线的核心特征：射线有一个端点，且能向一端无限延伸，它的长度是无限的。题目要求在这条射线上截取5厘米长的线段，由于射线的长度没有尽头，我们可以在射线上从不同位置不断截取5厘米的线段，不存在数量上限，因此可以截取无数条。
【解析】
根据射线的定义可知，射线具有一个端点，且向一端无限延伸，其长度是无限的。因为射线无限长，所以在这条射线上可以持续截取5厘米长的线段，能截取的数量没有限制，是无数条，因此应选C选项。
【答案】
C
【知识点】
射线的性质
【点评】
本题重点考查对射线“无限延伸”这一关键性质的理解，需要准确区分射线、直线、线段的特征，避免因概念混淆做出错误选择。
【难度系数】
0.8
首先要明确射线的核心特征：射线有一个端点，且能向一端无限延伸，它的长度是无限的。题目要求在这条射线上截取5厘米长的线段，由于射线的长度没有尽头，我们可以在射线上从不同位置不断截取5厘米的线段，不存在数量上限，因此可以截取无数条。
【解析】
根据射线的定义可知，射线具有一个端点，且向一端无限延伸，其长度是无限的。因为射线无限长，所以在这条射线上可以持续截取5厘米长的线段，能截取的数量没有限制，是无数条，因此应选C选项。
【答案】
C
【知识点】
射线的性质
【点评】
本题重点考查对射线“无限延伸”这一关键性质的理解，需要准确区分射线、直线、线段的特征，避免因概念混淆做出错误选择。
【难度系数】
0.8
4. 下列说法错误的是$(\quad\quad)$。
A.平角是一条直线,周角是一条射线
B.平角比钝角大,比周角小
C.把两个锐角拼在一起,拼成的角不可能是平角
A.平角是一条直线,周角是一条射线
B.平角比钝角大,比周角小
C.把两个锐角拼在一起,拼成的角不可能是平角
答案
4. A
解析
【分析】
要找出错误的说法，需结合各类角的定义逐一分析选项：
1. 分析选项A：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，平角的两条边在同一条直线上，但它有顶点和两条边，并非一条直线；周角的两条边重合在一起，但它仍是由两条射线组成的角，并非一条射线，所以A的说法错误。
2. 分析选项B：平角为180°，钝角是大于90°且小于180°的角，周角为360°，因此平角的度数介于钝角和周角之间，该说法正确。
3. 分析选项C：锐角是小于90°的角，两个锐角的和最大小于90°+90°=180°，而平角是180°，所以两个锐角拼在一起不可能是平角，该说法正确。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：平角是具有顶点和两条共线射线的角，不是一条直线；周角是具有顶点和两条重合射线的角，不是一条射线，此说法错误。
选项B：平角=180°，钝角的范围是90°＜钝角＜180°，周角=360°，因此平角的度数大于钝角、小于周角，此说法正确。
选项C：锐角＜90°，两个锐角的和＜90°+90°=180°，而平角=180°，所以两个锐角拼合无法得到平角，此说法正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
角的分类及定义
【点评】
本题核心考查各类角的概念与度数范围，解题关键是准确区分角与直线、射线的本质差异，清晰掌握不同角的度数特征，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
要找出错误的说法，需结合各类角的定义逐一分析选项：
1. 分析选项A：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，平角的两条边在同一条直线上，但它有顶点和两条边，并非一条直线；周角的两条边重合在一起，但它仍是由两条射线组成的角，并非一条射线，所以A的说法错误。
2. 分析选项B：平角为180°，钝角是大于90°且小于180°的角，周角为360°，因此平角的度数介于钝角和周角之间，该说法正确。
3. 分析选项C：锐角是小于90°的角，两个锐角的和最大小于90°+90°=180°，而平角是180°，所以两个锐角拼在一起不可能是平角，该说法正确。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：平角是具有顶点和两条共线射线的角，不是一条直线；周角是具有顶点和两条重合射线的角，不是一条射线，此说法错误。
选项B：平角=180°，钝角的范围是90°＜钝角＜180°，周角=360°，因此平角的度数大于钝角、小于周角，此说法正确。
选项C：锐角＜90°，两个锐角的和＜90°+90°=180°，而平角=180°，所以两个锐角拼合无法得到平角，此说法正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
角的分类及定义
【点评】
本题核心考查各类角的概念与度数范围，解题关键是准确区分角与直线、射线的本质差异，清晰掌握不同角的度数特征，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
三、下面的说法正确吗？请写出你的理由。
1. 三个角组成一个平角,这三个角一定都是锐角。
2. 用一副三角板,能画出的最大角的度数是$180°$,能画出的最小角的度数是$15°$。
1. 三个角组成一个平角,这三个角一定都是锐角。
错误(理由略)
2. 用一副三角板,能画出的最大角的度数是$180°$,能画出的最小角的度数是$15°$。
正确(理由略)
答案
三、1. 错误(理由略) 2. 正确(理由略)
解析
【分析】
1. 对于第一题，首先明确平角是180°，锐角是小于90°的角。要判断该说法是否正确，可通过举反例的方法：比如一个直角（90°）加上60°和30°的角，总和是180°，组成平角，但其中包含直角，并非三个角都是锐角，所以原说法错误。
2. 对于第二题，先回忆一副三角板的角度有30°、45°、60°、90°。最大角可通过两个直角拼接得到90°+90°=180°；最小角可通过45°-30°=15°得到，所以原说法正确。
【解析】
1. 错误。理由：平角的度数是180°，锐角是小于90°的角。例如90°（直角）+60°+30°=180°，这三个角组成平角，但其中包含直角，并非都是锐角，因此该说法错误。
2. 正确。理由：一副三角板的角度为30°、45°、60°、90°。将两个直角拼接可得到180°的角，这是能画出的最大角；通过45°角减去30°角可得到15°的角，这是能画出的最小角，因此该说法正确。
【答案】
1. 错误；2. 正确
【知识点】
1. 角的分类认识；2. 三角板角度组合
【点评】
本题考查角的基本概念和三角板的角度应用，通过举反例可快速判断第一题的正误，第二题需要熟悉三角板的角度并掌握角度的拼组计算，注重对基础概念的理解与灵活运用。
【难度系数】
0.6
1. 对于第一题，首先明确平角是180°，锐角是小于90°的角。要判断该说法是否正确，可通过举反例的方法：比如一个直角（90°）加上60°和30°的角，总和是180°，组成平角，但其中包含直角，并非三个角都是锐角，所以原说法错误。
2. 对于第二题，先回忆一副三角板的角度有30°、45°、60°、90°。最大角可通过两个直角拼接得到90°+90°=180°；最小角可通过45°-30°=15°得到，所以原说法正确。
【解析】
1. 错误。理由：平角的度数是180°，锐角是小于90°的角。例如90°（直角）+60°+30°=180°，这三个角组成平角，但其中包含直角，并非都是锐角，因此该说法错误。
2. 正确。理由：一副三角板的角度为30°、45°、60°、90°。将两个直角拼接可得到180°的角，这是能画出的最大角；通过45°角减去30°角可得到15°的角，这是能画出的最小角，因此该说法正确。
【答案】
1. 错误；2. 正确
【知识点】
1. 角的分类认识；2. 三角板角度组合
【点评】
本题考查角的基本概念和三角板的角度应用，通过举反例可快速判断第一题的正误，第二题需要熟悉三角板的角度并掌握角度的拼组计算，注重对基础概念的理解与灵活运用。
【难度系数】
0.6
