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1 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=3$，根据尺规作图的痕迹作射线$AG$，交$BC$于点$D$，则$BD$的长为 （
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{5}{3}$
D
）A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{5}{3}$
答案
1. D
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出$Rt△ ABC$的直角边$AC$的长度；再根据尺规作图痕迹判断$AG$是$∠ BAC$的角平分线，结合角平分线的性质，过点$D$作$AB$的垂线得到相等线段；最后设$BD$的长度为未知数，用含未知数的式子表示相关线段，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
1. 求$AC$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
2. 分析角平分线性质：
由尺规作图痕迹可知$AG$是$∠ BAC$的角平分线，过点$D$作$DH⊥ AB$于点$H$，根据角平分线的性质可得$DC=DH$。
3. 利用全等得对应边相等：
在$△ ACD$和$△ AHD$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ AHD=90° \\∠ CAD=∠ HAD \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore△ ACD≌△ AHD(\mathrm{AAS})$，$\therefore AH=AC=4$，则$BH=AB-AH=5-4=1$。
4. 列方程求解：
设$BD=x$，则$DC=3-x$，$\therefore DH=3-x$。
在$Rt△ BDH$中，由勾股定理得$BD^2=DH^2+BH^2$，代入得：
$x^2=(3-x)^2+1^2$
展开化简得$6x=10$，解得$x=\frac{5}{3}$，即$BD=\frac{5}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查角平分线的尺规作图、性质及勾股定理的应用，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，结合方程思想求解，是几何基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先利用勾股定理求出$Rt△ ABC$的直角边$AC$的长度；再根据尺规作图痕迹判断$AG$是$∠ BAC$的角平分线，结合角平分线的性质，过点$D$作$AB$的垂线得到相等线段；最后设$BD$的长度为未知数，用含未知数的式子表示相关线段，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
1. 求$AC$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
2. 分析角平分线性质：
由尺规作图痕迹可知$AG$是$∠ BAC$的角平分线，过点$D$作$DH⊥ AB$于点$H$，根据角平分线的性质可得$DC=DH$。
3. 利用全等得对应边相等：
在$△ ACD$和$△ AHD$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ AHD=90° \\∠ CAD=∠ HAD \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore△ ACD≌△ AHD(\mathrm{AAS})$，$\therefore AH=AC=4$，则$BH=AB-AH=5-4=1$。
4. 列方程求解：
设$BD=x$，则$DC=3-x$，$\therefore DH=3-x$。
在$Rt△ BDH$中，由勾股定理得$BD^2=DH^2+BH^2$，代入得：
$x^2=(3-x)^2+1^2$
展开化简得$6x=10$，解得$x=\frac{5}{3}$，即$BD=\frac{5}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查角平分线的尺规作图、性质及勾股定理的应用，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，结合方程思想求解，是几何基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
2 在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3.若P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为
$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$
.答案
2. $\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$
【解析】$\because △ ABC$ 为等腰直角三角形,$∠ C=90°,AC=3,\therefore BC=AC=3$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACP$ 中,$AP^{2}=AC^{2}+PC^{2}.\because P$ 为边 $BC$ 的三等分点,$\therefore$ ① 当$PC=\dfrac{1}{3}BC=1$ 时,$AP=\sqrt{10}$;② 当 $PC=\dfrac{2}{3}BC=2$ 时,$AP=\sqrt{13}$. 综上所述,$AP$ 的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$.
【解析】$\because △ ABC$ 为等腰直角三角形,$∠ C=90°,AC=3,\therefore BC=AC=3$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACP$ 中,$AP^{2}=AC^{2}+PC^{2}.\because P$ 为边 $BC$ 的三等分点,$\therefore$ ① 当$PC=\dfrac{1}{3}BC=1$ 时,$AP=\sqrt{10}$;② 当 $PC=\dfrac{2}{3}BC=2$ 时,$AP=\sqrt{13}$. 综上所述,$AP$ 的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$.
解析
【分析】
首先根据等腰直角三角形的性质，两条直角边相等，可得BC=AC=3；由于边BC的三等分点有2个，分别是靠近点C的三等分点和靠近点B的三等分点，因此需要分两种情况讨论PC的长度；最后在Rt△ACP中，利用勾股定理即可求出对应AP的长度。
【解析】
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AC=3，
∴BC=AC=3。
在Rt△ACP中，由勾股定理得$AP^2=AC^2+PC^2$。
∵P为边BC的三等分点，因此分两种情况：
①当$PC=\dfrac{1}{3}BC=1$时，$AP^2=3^2+1^2=10$，即$AP=\sqrt{10}$；
②当$PC=\dfrac{2}{3}BC=2$时，$AP^2=3^2+2^2=13$，即$AP=\sqrt{13}$。
综上所述，AP的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题侧重考查勾股定理在几何计算中的应用，解题的关键是明确线段的三等分点存在两种位置情况，切忌漏解，计算时要正确运用勾股定理的公式。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰直角三角形的性质，两条直角边相等，可得BC=AC=3；由于边BC的三等分点有2个，分别是靠近点C的三等分点和靠近点B的三等分点，因此需要分两种情况讨论PC的长度；最后在Rt△ACP中，利用勾股定理即可求出对应AP的长度。
【解析】
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AC=3，
∴BC=AC=3。
在Rt△ACP中，由勾股定理得$AP^2=AC^2+PC^2$。
∵P为边BC的三等分点，因此分两种情况：
①当$PC=\dfrac{1}{3}BC=1$时，$AP^2=3^2+1^2=10$，即$AP=\sqrt{10}$；
②当$PC=\dfrac{2}{3}BC=2$时，$AP^2=3^2+2^2=13$，即$AP=\sqrt{13}$。
综上所述，AP的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题侧重考查勾股定理在几何计算中的应用，解题的关键是明确线段的三等分点存在两种位置情况，切忌漏解，计算时要正确运用勾股定理的公式。
【难度系数】
0.6
3 整体思想 设$a$，$b$是直角三角形的两条直角边的长.若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则$ab$的值为
3
.答案
3. 3
【解析】根据题意,得 $a+b+2.5=6$,即 $a+b=3.5,a^{2}+b^{2}=2.5^{2}$ ①. 将 $a+b=3.5$ 两边平方,得 $a^{2}+2ab+b^{2}=12.25$②. 由②$-$①,得 $2ab=6$,即 $ab=3$.
【解析】根据题意,得 $a+b+2.5=6$,即 $a+b=3.5,a^{2}+b^{2}=2.5^{2}$ ①. 将 $a+b=3.5$ 两边平方,得 $a^{2}+2ab+b^{2}=12.25$②. 由②$-$①,得 $2ab=6$,即 $ab=3$.
解析
【分析】
首先根据直角三角形的周长和斜边长，可先求出两条直角边的和$a+b$的值；再结合直角三角形的勾股定理得到$a^2+b^2$的值；观察两个已知式子的结构，联系完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知的$a+b$、$a^2+b^2$整体代入即可求出$ab$的值，无需单独求解$a$和$b$，可简化计算。
【解析】
根据题意，直角三角形周长为6，斜边长为2.5，因此：
$a+b+2.5=6$，化简得$a+b=3.5$ ①
由勾股定理，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，可得：
$a^2+b^2=2.5^2=6.25$ ②
将①式两边同时平方，得：
$(a+b)^2=3.5^2$，即$a^2+2ab+b^2=12.25$ ③
用③式减去②式，得：
$a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2)=12.25-6.25$
化简后得$2ab=6$，因此$ab=3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是勾股定理与代数式变形结合的典型题型，解题时运用整体思想代入计算，可避免求解二元二次方程组的复杂运算，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先根据直角三角形的周长和斜边长，可先求出两条直角边的和$a+b$的值；再结合直角三角形的勾股定理得到$a^2+b^2$的值；观察两个已知式子的结构，联系完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知的$a+b$、$a^2+b^2$整体代入即可求出$ab$的值，无需单独求解$a$和$b$，可简化计算。
【解析】
根据题意，直角三角形周长为6，斜边长为2.5，因此：
$a+b+2.5=6$，化简得$a+b=3.5$ ①
由勾股定理，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，可得：
$a^2+b^2=2.5^2=6.25$ ②
将①式两边同时平方，得：
$(a+b)^2=3.5^2$，即$a^2+2ab+b^2=12.25$ ③
用③式减去②式，得：
$a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2)=12.25-6.25$
化简后得$2ab=6$，因此$ab=3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是勾股定理与代数式变形结合的典型题型，解题时运用整体思想代入计算，可避免求解二元二次方程组的复杂运算，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4 [2024浙江]如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE。若AE=4，BE=3，则DE的长为
$\sqrt{17}$
。答案
4. $\sqrt{17}$
【解析】$\because \mathrm{Rt}△ DAH ≌ \mathrm{Rt}△ ABE,\therefore DH=AE=4,AH=BE=3,\therefore EH=AE-AH=4-3=1$.
$\because$ 四边形 $EFGH$ 是正方形, $\therefore ∠ DHE = 90°$,$\therefore DE^{2}=DH^{2}+EH^{2},\therefore DE=\sqrt{17}$.
【解析】$\because \mathrm{Rt}△ DAH ≌ \mathrm{Rt}△ ABE,\therefore DH=AE=4,AH=BE=3,\therefore EH=AE-AH=4-3=1$.
$\because$ 四边形 $EFGH$ 是正方形, $\therefore ∠ DHE = 90°$,$\therefore DE^{2}=DH^{2}+EH^{2},\therefore DE=\sqrt{17}$.
解析
【分析】
要求DE的长度，可按以下思路推导：首先利用已知的全等直角三角形的性质，得到与DE相关的线段DH、AH的长度；再结合AE的长度算出小正方形的边长EH；最后根据正方形的性质得到∠DHE为直角，在直角三角形DHE中运用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
∵ $\mathrm{Rt}△ DAH ≌ \mathrm{Rt}△ ABE$，
∴ $DH=AE=4$，$AH=BE=3$，
∴ $EH=AE-AH=4-3=1$，
∵ 四边形$EFGH$是正方形，
∴ $∠ DHE = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△DHE$中，由勾股定理得$DE^{2}=DH^{2}+EH^{2}$，
代入数值计算得$DE=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是灵活运用全等三角形、正方形的性质得到直角三角形的边长，再通过勾股定理计算线段长度，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
要求DE的长度，可按以下思路推导：首先利用已知的全等直角三角形的性质，得到与DE相关的线段DH、AH的长度；再结合AE的长度算出小正方形的边长EH；最后根据正方形的性质得到∠DHE为直角，在直角三角形DHE中运用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
∵ $\mathrm{Rt}△ DAH ≌ \mathrm{Rt}△ ABE$，
∴ $DH=AE=4$，$AH=BE=3$，
∴ $EH=AE-AH=4-3=1$，
∵ 四边形$EFGH$是正方形，
∴ $∠ DHE = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△DHE$中，由勾股定理得$DE^{2}=DH^{2}+EH^{2}$，
代入数值计算得$DE=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是灵活运用全等三角形、正方形的性质得到直角三角形的边长，再通过勾股定理计算线段长度，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
5 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示$-\sqrt{10}$的点。
答案
5. 作法不唯一,如图,点 A 即为所求
解析
【分析】
要在数轴上找到表示$-\sqrt{10}$的点，首先需要得到长度为$\sqrt{10}$的线段：根据勾股定理，直角边长度分别为3和1的直角三角形，斜边长恰好为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。再利用圆规将该斜边长度转移到数轴负半轴上，即可得到对应点，因为数轴负半轴上到原点距离为$\sqrt{10}$的点表示的数就是$-\sqrt{10}$。
【解析】
作法如下：
1. 在数轴正半轴上找到表示3的点，过该点作数轴的垂线，使用圆规在垂线上截取长度为1的线段，连接原点与垂线的上端点，得到直角三角形，其斜边长为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
2. 以原点为圆心，以上述斜边长$\sqrt{10}$为半径画弧，弧与数轴负半轴的交点即为表示$-\sqrt{10}$的点。
【答案】
作法不唯一,如图,点 A 即为所求
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；尺规作图
【点评】
本题将勾股定理与数轴知识结合，解题核心是利用勾股定理构造出长度为无理数的线段，再通过圆规在数轴上定位对应点，能帮助学生理解无理数也可以在数轴上表示，渗透数形结合思想。
【难度系数】
0.7
要在数轴上找到表示$-\sqrt{10}$的点，首先需要得到长度为$\sqrt{10}$的线段：根据勾股定理，直角边长度分别为3和1的直角三角形，斜边长恰好为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。再利用圆规将该斜边长度转移到数轴负半轴上，即可得到对应点，因为数轴负半轴上到原点距离为$\sqrt{10}$的点表示的数就是$-\sqrt{10}$。
【解析】
作法如下：
1. 在数轴正半轴上找到表示3的点，过该点作数轴的垂线，使用圆规在垂线上截取长度为1的线段，连接原点与垂线的上端点，得到直角三角形，其斜边长为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
2. 以原点为圆心，以上述斜边长$\sqrt{10}$为半径画弧，弧与数轴负半轴的交点即为表示$-\sqrt{10}$的点。
【答案】
作法不唯一,如图,点 A 即为所求
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；尺规作图
【点评】
本题将勾股定理与数轴知识结合，解题核心是利用勾股定理构造出长度为无理数的线段，再通过圆规在数轴上定位对应点，能帮助学生理解无理数也可以在数轴上表示，渗透数形结合思想。
【难度系数】
0.7
6 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为边 AB 上一点.求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD²+DB²=2CD².
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD²+DB²=2CD².
答案
6. (1) $\because △ ACB$ 和$△ ECD$ 都是等腰直角三角形，
$\therefore AC = BC, CD = CE. \because ∠ ACB = ∠ ECD = 90°$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACD = ∠ ACE+∠ ACD,\therefore ∠ BCD=∠ ACE$. 在 $△ ACE$ 和 $△ BCD$ 中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ ACE=∠ BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCD$
(2) $\because △ ACB$ 是等腰直角三角形,$\therefore ∠ B = ∠ BAC = 45°. \because △ ACE ≌ △ BCD$,
$\therefore EA = DB,∠ CAE = ∠ B = 45°,\therefore ∠ DAE=∠ CAE+∠ BAC = 45°+45°=90°,\therefore AD^{2}+EA^{2}=DE^{2},\therefore AD^{2}+DB^{2}=DE^{2}$. 又$\because △ ECD$ 是等腰直角三角形,$\therefore CD^{2}+CE^{2}=2CD^{2}=DE^{2},\therefore AD^{2}+DB^{2}=2CD^{2}$
$\therefore AC = BC, CD = CE. \because ∠ ACB = ∠ ECD = 90°$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACD = ∠ ACE+∠ ACD,\therefore ∠ BCD=∠ ACE$. 在 $△ ACE$ 和 $△ BCD$ 中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ ACE=∠ BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCD$
(2) $\because △ ACB$ 是等腰直角三角形,$\therefore ∠ B = ∠ BAC = 45°. \because △ ACE ≌ △ BCD$,
$\therefore EA = DB,∠ CAE = ∠ B = 45°,\therefore ∠ DAE=∠ CAE+∠ BAC = 45°+45°=90°,\therefore AD^{2}+EA^{2}=DE^{2},\therefore AD^{2}+DB^{2}=DE^{2}$. 又$\because △ ECD$ 是等腰直角三角形,$\therefore CD^{2}+CE^{2}=2CD^{2}=DE^{2},\therefore AD^{2}+DB^{2}=2CD^{2}$
解析
【分析】
（1）要证明△ACE≌△BCD，首先结合已知的两个等腰直角三角形，先得到两组对应边相等：AC=BC、CE=CD；再由∠ACB和∠ECD都是90°，同时减去公共角∠ACD，即可得到相等的夹角∠ACE=∠BCD，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要证明平方和的等式，优先考虑勾股定理，需先构造直角三角形：利用第一问的全等结论，可得DB=AE，且∠CAE=∠B=45°，结合△ACB的底角为45°，可推出∠DAE=90°，在Rt△ADE中用勾股定理得到AD²+AE²=DE²，将AE替换为DB得到AD²+DB²=DE²；再结合△ECD是等腰直角三角形，用勾股定理可得DE²=2CD²，代入即可完成证明。
【解析】
(1) $\because △ ACB$ 和$△ ECD$ 都是等腰直角三角形，
$\therefore AC = BC, CD = CE$.
$\because ∠ ACB = ∠ ECD = 90°$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACD = ∠ ACE+∠ ACD$,
$\therefore ∠ BCD=∠ ACE$.
在 $△ ACE$ 和 $△ BCD$ 中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ ACE=∠ BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCD(\mathrm{SAS})$
(2) $\because △ ACB$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ B = ∠ BAC = 45°$.
$\because △ ACE ≌ △ BCD$,
$\therefore EA = DB,∠ CAE = ∠ B = 45°$,
$\therefore ∠ DAE=∠ CAE+∠ BAC = 45°+45°=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得$AD^{2}+EA^{2}=DE^{2}$,
$\therefore AD^{2}+DB^{2}=DE^{2}$.
又$\because △ ECD$ 是等腰直角三角形,
$\therefore$ 由勾股定理得$CD^{2}+CE^{2}=DE^{2}$，又$CE=CD$，
$\therefore DE^2=2CD^{2}$,
$\therefore AD^{2}+DB^{2}=2CD^{2}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{△ACE≌△BCD}$，得证；
（2）$\boldsymbol{AD^2+DB^2=2CD^2}$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是典型的几何综合题，前一问的全等结论是后一问推导的核心基础，解题时要注意关联前后问题，结合等腰直角三角形的边角性质构造直角三角形，再通过勾股定理完成边的平方关系的转化推导。
【难度系数】
0.65
（1）要证明△ACE≌△BCD，首先结合已知的两个等腰直角三角形，先得到两组对应边相等：AC=BC、CE=CD；再由∠ACB和∠ECD都是90°，同时减去公共角∠ACD，即可得到相等的夹角∠ACE=∠BCD，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要证明平方和的等式，优先考虑勾股定理，需先构造直角三角形：利用第一问的全等结论，可得DB=AE，且∠CAE=∠B=45°，结合△ACB的底角为45°，可推出∠DAE=90°，在Rt△ADE中用勾股定理得到AD²+AE²=DE²，将AE替换为DB得到AD²+DB²=DE²；再结合△ECD是等腰直角三角形，用勾股定理可得DE²=2CD²，代入即可完成证明。
【解析】
(1) $\because △ ACB$ 和$△ ECD$ 都是等腰直角三角形，
$\therefore AC = BC, CD = CE$.
$\because ∠ ACB = ∠ ECD = 90°$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACD = ∠ ACE+∠ ACD$,
$\therefore ∠ BCD=∠ ACE$.
在 $△ ACE$ 和 $△ BCD$ 中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ ACE=∠ BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCD(\mathrm{SAS})$
(2) $\because △ ACB$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ B = ∠ BAC = 45°$.
$\because △ ACE ≌ △ BCD$,
$\therefore EA = DB,∠ CAE = ∠ B = 45°$,
$\therefore ∠ DAE=∠ CAE+∠ BAC = 45°+45°=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得$AD^{2}+EA^{2}=DE^{2}$,
$\therefore AD^{2}+DB^{2}=DE^{2}$.
又$\because △ ECD$ 是等腰直角三角形,
$\therefore$ 由勾股定理得$CD^{2}+CE^{2}=DE^{2}$，又$CE=CD$，
$\therefore DE^2=2CD^{2}$,
$\therefore AD^{2}+DB^{2}=2CD^{2}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{△ACE≌△BCD}$，得证；
（2）$\boldsymbol{AD^2+DB^2=2CD^2}$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是典型的几何综合题，前一问的全等结论是后一问推导的核心基础，解题时要注意关联前后问题，结合等腰直角三角形的边角性质构造直角三角形，再通过勾股定理完成边的平方关系的转化推导。
【难度系数】
0.65
