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7 如图，这是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽与高都相等。若图中点E的坐标为$(0,2)$，点D的坐标为$(-2,0)$，则点B，C，G的坐标分别为
(-6,-4),(-4,-2),(4,6)
。答案
7. $(-6,-4),(-4,-2),(4,6)$
解析
【分析】
首先根据已知的点D(-2,0)和点E(0,2)的坐标，计算两点横、纵坐标的差值，可得每级台阶的宽和高均为2个单位长度，且每向上走一级台阶，横坐标增加2、纵坐标增加2，每向下走一级台阶，横坐标减少2、纵坐标减少2。再结合图形中B、C在D的下方，G在E的上方的位置关系，按照坐标变化规律依次计算各点坐标即可。
【解析】
1. 确定坐标变化规律：
已知$E(0,2)$，$D(-2,0)$，两点横坐标差为$0 - (-2) = 2$，纵坐标差为$2 - 0 = 2$，因此每级台阶宽为2、高为2，规律为：每上一级台阶，横坐标+2，纵坐标+2；每下一级台阶，横坐标-2，纵坐标-2。
2. 求点C的坐标：
点C在点D的下一级台阶，横坐标为$-2 - 2 = -4$，纵坐标为$0 - 2 = -2$，即$C(-4,-2)$。
3. 求点B的坐标：
点B在点C的下一级台阶，横坐标为$-4 - 2 = -6$，纵坐标为$-2 - 2 = -4$，即$B(-6,-4)$。
4. 求点G的坐标：
点F在点E的上一级台阶，横坐标为$0 + 2 = 2$，纵坐标为$2 + 2 = 4$；点G在点F的上一级台阶，横坐标为$2 + 2 = 4$，纵坐标为$4 + 2 = 6$，即$G(4,6)$。
【答案】
$(-6,-4),(-4,-2),(4,6)$
【知识点】
平面直角坐标系，坐标平移规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用问题，解题核心是先从已知点的坐标中提取出每级台阶对应的坐标变化规律，再结合图形中各点的相对位置求解，熟练掌握点坐标的变化规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的点D(-2,0)和点E(0,2)的坐标，计算两点横、纵坐标的差值，可得每级台阶的宽和高均为2个单位长度，且每向上走一级台阶，横坐标增加2、纵坐标增加2，每向下走一级台阶，横坐标减少2、纵坐标减少2。再结合图形中B、C在D的下方，G在E的上方的位置关系，按照坐标变化规律依次计算各点坐标即可。
【解析】
1. 确定坐标变化规律：
已知$E(0,2)$，$D(-2,0)$，两点横坐标差为$0 - (-2) = 2$，纵坐标差为$2 - 0 = 2$，因此每级台阶宽为2、高为2，规律为：每上一级台阶，横坐标+2，纵坐标+2；每下一级台阶，横坐标-2，纵坐标-2。
2. 求点C的坐标：
点C在点D的下一级台阶，横坐标为$-2 - 2 = -4$，纵坐标为$0 - 2 = -2$，即$C(-4,-2)$。
3. 求点B的坐标：
点B在点C的下一级台阶，横坐标为$-4 - 2 = -6$，纵坐标为$-2 - 2 = -4$，即$B(-6,-4)$。
4. 求点G的坐标：
点F在点E的上一级台阶，横坐标为$0 + 2 = 2$，纵坐标为$2 + 2 = 4$；点G在点F的上一级台阶，横坐标为$2 + 2 = 4$，纵坐标为$4 + 2 = 6$，即$G(4,6)$。
【答案】
$(-6,-4),(-4,-2),(4,6)$
【知识点】
平面直角坐标系，坐标平移规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用问题，解题核心是先从已知点的坐标中提取出每级台阶对应的坐标变化规律，再结合图形中各点的相对位置求解，熟练掌握点坐标的变化规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
8 将如图所示的正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系中，若点A，B，E的坐标分别为$(a,b)$，$(\sqrt{5},2)$，$(-a,b)$，则点D的坐标为
(-√5,2)
。答案
8. $(-\sqrt{5},2)$
【解析】由点 A,E 的坐标分别为$(a,b),(-a,b)$可知,A,E 两点关于 y 轴对称,则 B,D 两点也关于 y 轴对称.$\because B(\sqrt{5},2),\therefore D(-\sqrt{5},2).$
【解析】由点 A,E 的坐标分别为$(a,b),(-a,b)$可知,A,E 两点关于 y 轴对称,则 B,D 两点也关于 y 轴对称.$\because B(\sqrt{5},2),\therefore D(-\sqrt{5},2).$
解析
【分析】
首先观察点A(a,b)和点E(-a,b)的坐标特征：两点纵坐标相同，横坐标互为相反数，根据关于y轴对称的点的坐标规律，可判断A、E两点关于y轴对称，结合正六边形是轴对称图形，可知y轴是该正六边形的一条对称轴，因此点B和点D也关于y轴对称，再根据关于y轴对称的点的坐标变化规律即可求出点D的坐标。
【解析】
已知点A、E的坐标分别为$(a,b)$、$(-a,b)$，两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，因此A、E两点关于y轴对称。
因为正六边形ABCDEF是轴对称图形，y轴是它的一条对称轴，所以点B和点D关于y轴对称。
关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，已知点B的坐标为$(\sqrt{5},2)$，因此点D的坐标为$(-\sqrt{5},2)$。
【答案】
$(-\sqrt{5},2)$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征，正六边形的对称性
【点评】
本题属于基础题，通过已知点的坐标特征确定图形的对称轴，再利用对称性求解对应点的坐标，解题的关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，以及正六边形的轴对称性质。
【难度系数】
0.8
首先观察点A(a,b)和点E(-a,b)的坐标特征：两点纵坐标相同，横坐标互为相反数，根据关于y轴对称的点的坐标规律，可判断A、E两点关于y轴对称，结合正六边形是轴对称图形，可知y轴是该正六边形的一条对称轴，因此点B和点D也关于y轴对称，再根据关于y轴对称的点的坐标变化规律即可求出点D的坐标。
【解析】
已知点A、E的坐标分别为$(a,b)$、$(-a,b)$，两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，因此A、E两点关于y轴对称。
因为正六边形ABCDEF是轴对称图形，y轴是它的一条对称轴，所以点B和点D关于y轴对称。
关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，已知点B的坐标为$(\sqrt{5},2)$，因此点D的坐标为$(-\sqrt{5},2)$。
【答案】
$(-\sqrt{5},2)$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征，正六边形的对称性
【点评】
本题属于基础题，通过已知点的坐标特征确定图形的对称轴，再利用对称性求解对应点的坐标，解题的关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，以及正六边形的轴对称性质。
【难度系数】
0.8
9 [2025 泗洪期末]如图,在$7×7$的网格中,每个小正方形的边长都为1.
（1）画图:在图中画出平面直角坐标系,使得点A的坐标为$(4,4)$,点C的坐标为$(5,2)$.
（2）填空:格点$△ ABC$的面积为
（3）$△ ABC$是直角三角形吗?为什么?
（1）画图:在图中画出平面直角坐标系,使得点A的坐标为$(4,4)$,点C的坐标为$(5,2)$.
（2）填空:格点$△ ABC$的面积为
5
.（3）$△ ABC$是直角三角形吗?为什么?
答案
9. (1) 如图所示
(2) 5
(3) $△ ABC$ 是直角三角形
$AB^2=3^2+4^2=25,AC^2=1^2+2^2=5,BC^2=2^2+4^2=20,\therefore AB^2=AC^2+BC^2,\therefore △ ABC$ 是直角三角形
解析
【分析】
1. 针对第(1)问：根据平面直角坐标系中点坐标的定义，横坐标是点到y轴的水平距离（右为正），纵坐标是点到x轴的竖直距离（上为正）。已知A(4,4)，说明A在y轴右侧4格、x轴上方4格，因此原点可确定在A点左数4格、下数4格的位置，再画出x轴、y轴即可。
2. 针对第(2)问：求网格中格点三角形面积，常用割补法：将三角形放入一个覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可得到目标三角形的面积。
3. 针对第(3)问：判断三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。只需借助网格算出三边的平方，验证是否满足上述关系即可。
【解析】
(1) 由A(4,4)可知，A到y轴距离为4，到x轴距离为4，将原点设在A点左侧4格、下方4格处，画出水平向右的x轴、竖直向上的y轴，即可得到符合要求的坐标系，如图所示。
(2) 构造覆盖△ABC的矩形，矩形横向跨度为4格、纵向跨度为4格，面积为$4×4=16$。
矩形内除△ABC外有3个直角三角形，面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×3×4=6$，$S_2=\frac{1}{2}×1×2=1$，$S_3=\frac{1}{2}×4×2=4$
因此$S_{△ABC}=16-6-1-4=5$。
(3) 由坐标系得B点坐标为$(1,0)$，计算三边的平方：
AB的水平差为$4-1=3$，竖直差为$4-0=4$，故$AB^2=3^2+4^2=25$；
AC的水平差为$5-4=1$，竖直差为$4-2=2$，故$AC^2=1^2+2^2=5$；
BC的水平差为$5-1=4$，竖直差为$2-0=2$，故$BC^2=4^2+2^2=20$。
因为$AC^2+BC^2=5+20=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
(1)
(2) 5
(3) △ABC是直角三角形，理由：$AB^2=3^2+4^2=25,AC^2=1^2+2^2=5,BC^2=2^2+4^2=20,\therefore AB^2=AC^2+BC^2,\therefore △ABC$是直角三角形
【知识点】
平面直角坐标系建立、割补法求面积、勾股定理逆定理
【点评】
本题结合网格考查坐标系应用、图形面积计算和直角三角形判定，解题关键是熟练掌握坐标的性质、网格中长度和面积的计算方法，能灵活运用勾股定理逆定理判断三角形形状。
【难度系数】
0.7
1. 针对第(1)问：根据平面直角坐标系中点坐标的定义，横坐标是点到y轴的水平距离（右为正），纵坐标是点到x轴的竖直距离（上为正）。已知A(4,4)，说明A在y轴右侧4格、x轴上方4格，因此原点可确定在A点左数4格、下数4格的位置，再画出x轴、y轴即可。
2. 针对第(2)问：求网格中格点三角形面积，常用割补法：将三角形放入一个覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可得到目标三角形的面积。
3. 针对第(3)问：判断三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。只需借助网格算出三边的平方，验证是否满足上述关系即可。
【解析】
(1) 由A(4,4)可知，A到y轴距离为4，到x轴距离为4，将原点设在A点左侧4格、下方4格处，画出水平向右的x轴、竖直向上的y轴，即可得到符合要求的坐标系，如图所示。
(2) 构造覆盖△ABC的矩形，矩形横向跨度为4格、纵向跨度为4格，面积为$4×4=16$。
矩形内除△ABC外有3个直角三角形，面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×3×4=6$，$S_2=\frac{1}{2}×1×2=1$，$S_3=\frac{1}{2}×4×2=4$
因此$S_{△ABC}=16-6-1-4=5$。
(3) 由坐标系得B点坐标为$(1,0)$，计算三边的平方：
AB的水平差为$4-1=3$，竖直差为$4-0=4$，故$AB^2=3^2+4^2=25$；
AC的水平差为$5-4=1$，竖直差为$4-2=2$，故$AC^2=1^2+2^2=5$；
BC的水平差为$5-1=4$，竖直差为$2-0=2$，故$BC^2=4^2+2^2=20$。
因为$AC^2+BC^2=5+20=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
(1)
(2) 5
(3) △ABC是直角三角形，理由：$AB^2=3^2+4^2=25,AC^2=1^2+2^2=5,BC^2=2^2+4^2=20,\therefore AB^2=AC^2+BC^2,\therefore △ABC$是直角三角形
【知识点】
平面直角坐标系建立、割补法求面积、勾股定理逆定理
【点评】
本题结合网格考查坐标系应用、图形面积计算和直角三角形判定，解题关键是熟练掌握坐标的性质、网格中长度和面积的计算方法，能灵活运用勾股定理逆定理判断三角形形状。
【难度系数】
0.7
10 如图，点A和点B的坐标分别为(2,-3)和(-2,1).
（1）在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）点C的坐标为
（3）网格中存在格点D，使得△CBD与△BCA全等，请直接写出所有符合条件的点D的坐标.
（1）在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）点C的坐标为
(3,1)
；（3）网格中存在格点D，使得△CBD与△BCA全等，请直接写出所有符合条件的点D的坐标.
答案
10. (1) 如图所示
(2) $(3,1)$
(3) 如图,点 D 的坐标为$(-1,-3)$或$(2,5)$或$(-1,5)$
解析
【分析】
1. 第（1）问建立坐标系：已知点A(2,-3)、B(-2,1)，根据点的坐标含义：横坐标表示点到y轴的距离，正负对应y轴右侧/左侧；纵坐标表示点到x轴的距离，正负对应x轴上方/下方。因此取点B向右2个单位、向下1个单位的位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，即可建立符合要求的平面直角坐标系。
2. 第（2）问求C点坐标：建立坐标系后，观察点C的位置，它和B点纵坐标相同，再数横坐标的格数即可得到坐标。
3. 第（3）问找全等的△CBD：BC是两个三角形的公共边，根据全等三角形三边对应相等的性质，只需满足另外两组对边分别等于AB、AC的长度即可，分点D在BC上方、下方两种情况枚举格点，验证边长后即可得到所有符合条件的D点坐标。
【解析】
（1）以点B向右2个单位、向下1个单位的交点为原点O，x轴沿水平向右方向，y轴沿竖直向上方向建立平面直角坐标系，如图所示。
（2）观察建立好的坐标系，点C与点B(-2,1)的纵坐标相同，均为1，横坐标为3，因此点C的坐标为(3,1)。
（3）已知BC为公共边，BC长度为|3 - (-2)|=5；通过勾股定理计算得AB=√[(2+2)²+(-3-1)²]=√32，AC=√[(3-2)²+(1+3)²]=√17。要使△CBD≌△BCA，需另外两组边长分别等于√17和√32：
①当点D在BC下方时，可得D(-1,-3)，验证：BD=√[(-1+2)²+(-3-1)²]=√17=AC，CD=√[(-1-3)²+(-3-1)²]=√32=AB，符合要求；
②当点D在BC上方时，可得D(2,5)：CD=√[(2-3)²+(5-1)²]=√17=AC，BD=√[(2+2)²+(5-1)²]=√32=AB，符合要求；
另一个点D(-1,5)：BD=√[(-1+2)²+(5-1)²]=√17=AC，CD=√[(-1-3)²+(5-1)²]=√32=AB，也符合要求。
综上符合条件的D点坐标为(-1,-3)、(2,5)、(-1,5)。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $(3,1)$
(3) $(-1,-3)$、$(2,5)$、$(-1,5)$
【知识点】
平面直角坐标系建立，点的坐标确定，全等三角形的判定
【点评】
本题需要先根据已知点坐标正确建立平面直角坐标系，再结合全等三角形的性质寻找符合条件的格点，解题时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1. 第（1）问建立坐标系：已知点A(2,-3)、B(-2,1)，根据点的坐标含义：横坐标表示点到y轴的距离，正负对应y轴右侧/左侧；纵坐标表示点到x轴的距离，正负对应x轴上方/下方。因此取点B向右2个单位、向下1个单位的位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，即可建立符合要求的平面直角坐标系。
2. 第（2）问求C点坐标：建立坐标系后，观察点C的位置，它和B点纵坐标相同，再数横坐标的格数即可得到坐标。
3. 第（3）问找全等的△CBD：BC是两个三角形的公共边，根据全等三角形三边对应相等的性质，只需满足另外两组对边分别等于AB、AC的长度即可，分点D在BC上方、下方两种情况枚举格点，验证边长后即可得到所有符合条件的D点坐标。
【解析】
（1）以点B向右2个单位、向下1个单位的交点为原点O，x轴沿水平向右方向，y轴沿竖直向上方向建立平面直角坐标系，如图所示。
（2）观察建立好的坐标系，点C与点B(-2,1)的纵坐标相同，均为1，横坐标为3，因此点C的坐标为(3,1)。
（3）已知BC为公共边，BC长度为|3 - (-2)|=5；通过勾股定理计算得AB=√[(2+2)²+(-3-1)²]=√32，AC=√[(3-2)²+(1+3)²]=√17。要使△CBD≌△BCA，需另外两组边长分别等于√17和√32：
①当点D在BC下方时，可得D(-1,-3)，验证：BD=√[(-1+2)²+(-3-1)²]=√17=AC，CD=√[(-1-3)²+(-3-1)²]=√32=AB，符合要求；
②当点D在BC上方时，可得D(2,5)：CD=√[(2-3)²+(5-1)²]=√17=AC，BD=√[(2+2)²+(5-1)²]=√32=AB，符合要求；
另一个点D(-1,5)：BD=√[(-1+2)²+(5-1)²]=√17=AC，CD=√[(-1-3)²+(5-1)²]=√32=AB，也符合要求。
综上符合条件的D点坐标为(-1,-3)、(2,5)、(-1,5)。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $(3,1)$
(3) $(-1,-3)$、$(2,5)$、$(-1,5)$
【知识点】
平面直角坐标系建立，点的坐标确定，全等三角形的判定
【点评】
本题需要先根据已知点坐标正确建立平面直角坐标系，再结合全等三角形的性质寻找符合条件的格点，解题时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
