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⑧ 如果一组样本容量为20的数据$a_1,a_2,\dots,a_{20}$的平均数为$\bar{x}$，方差为0.21，那么一组新的数据$a_1,a_2,\dots,a_{20},\bar{x}$的方差是
0.2
。答案
0.2 [提示:由题意得$\frac{1}{20}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_{20}-\bar{x})^2]=0.21$，得$(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_{20}-\bar{x})^2=0.21×20$,可得新的21个数据的方差为$\frac{1}{21}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_{20}-\bar{x})^2+(\bar{x}-\bar{x})^2]=\frac{1}{21}×0.21×20=0.2$。]
解析
【分析】
解题时首先明确方差的计算公式，先根据已知的原20个数据的方差，求出原数据与平均数差值的平方和；接着判断加入原平均数$\bar{x}$后，新的21个数据的平均数仍为$\bar{x}$，最后代入方差公式计算新数据的方差即可，计算时注意样本容量从20变为21，不要沿用原容量计算。
【解析】
已知原20个数据的方差为0.21，根据方差公式可得：
$\frac{1}{20}[(a_1-\bar{x})^2+(a_2-\bar{x})^2+\dots+(a_{20}-\bar{x})^2]=0.21$
因此原数据与平均数差值的平方和为：
$(a_1-\bar{x})^2+(a_2-\bar{x})^2+\dots+(a_{20}-\bar{x})^2=0.21×20=4.2$
计算新的21个数据的平均数：
新数据总和为$20\bar{x}+\bar{x}=21\bar{x}$，因此新平均数为$\frac{21\bar{x}}{21}=\bar{x}$，与原平均数相等。
代入方差公式计算新数据的方差：
$S^2=\frac{1}{21}[(a_1-\bar{x})^2+(a_2-\bar{x})^2+\dots+(a_{20}-\bar{x})^2+(\bar{x}-\bar{x})^2]=\frac{1}{21}×4.2=0.2$
【答案】
0.2
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题重点考查方差公式的应用，解题的突破口是发现加入原平均数后新数据的平均数不变，易错点是忽略样本容量发生变化，导致计算时分母选择错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确方差的计算公式，先根据已知的原20个数据的方差，求出原数据与平均数差值的平方和；接着判断加入原平均数$\bar{x}$后，新的21个数据的平均数仍为$\bar{x}$，最后代入方差公式计算新数据的方差即可，计算时注意样本容量从20变为21，不要沿用原容量计算。
【解析】
已知原20个数据的方差为0.21，根据方差公式可得：
$\frac{1}{20}[(a_1-\bar{x})^2+(a_2-\bar{x})^2+\dots+(a_{20}-\bar{x})^2]=0.21$
因此原数据与平均数差值的平方和为：
$(a_1-\bar{x})^2+(a_2-\bar{x})^2+\dots+(a_{20}-\bar{x})^2=0.21×20=4.2$
计算新的21个数据的平均数：
新数据总和为$20\bar{x}+\bar{x}=21\bar{x}$，因此新平均数为$\frac{21\bar{x}}{21}=\bar{x}$，与原平均数相等。
代入方差公式计算新数据的方差：
$S^2=\frac{1}{21}[(a_1-\bar{x})^2+(a_2-\bar{x})^2+\dots+(a_{20}-\bar{x})^2+(\bar{x}-\bar{x})^2]=\frac{1}{21}×4.2=0.2$
【答案】
0.2
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题重点考查方差公式的应用，解题的突破口是发现加入原平均数后新数据的平均数不变，易错点是忽略样本容量发生变化，导致计算时分母选择错误。
【难度系数】
0.7
9 如果一组数据4、2、5、2、1的方差是2.16，那么$x+8$、$x+4$、$x+10$、$x+4$、$x+2$的离差平方和为
43.2
。答案
43.2 [提示:新的一组数据是由原来的数据乘以2再加x得到的,所以新的一组数据的方差是$2^2×2.16=8.64$,则这组新的数据的离差平方和为$8.64×5=43.2$。]
解析
【分析】
解题时首先观察新数据与已知原数据的对应关系，可发现新数据的每一项均为原数据对应项乘2再加常数x；接下来回忆方差的性质：一组数据同时加同一个常数，方差不变，同时乘同一个常数a，方差变为原来的a²倍，由此可计算出新数据的方差；最后根据方差的定义，方差等于离差平方和除以数据个数，反过来用方差乘数据个数即可得到离差平方和。
【解析】
步骤1：分析两组数据的变换关系
原数据为4、2、5、2、1，共$n=5$个数据；
新数据可改写为：$x+8=2×4+x$、$x+4=2×2+x$、$x+10=2×5+x$、$x+4=2×2+x$、$x+2=2×1+x$，即新数据是原数据每个数乘2再加$x$得到的。
步骤2：利用方差性质计算新数据的方差
根据方差性质：若将一组数据每个数都乘$k$再加常数$m$，则新数据的方差为原数据方差的$k²$倍（加常数不改变方差）。
已知原数据方差为2.16，因此新数据的方差$=2^2×2.16=4×2.16=8.64$。
步骤3：计算离差平方和
由方差定义：$\mathrm{方差}=\frac{\mathrm{离差平方和}}{\mathrm{数据个数}}$，因此$\mathrm{离差平方和}=\mathrm{方差}×\mathrm{数据个数}$。
代入数值可得：离差平方和$=8.64×5=43.2$。
【答案】
43.2
【知识点】
方差的性质；方差与离差平方和的关系
【点评】
本题考查方差相关的基础计算，解题的核心是快速识别两组数据的变换关系，利用方差的性质简化计算，避免直接展开计算离差平方和，降低出错概率。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察新数据与已知原数据的对应关系，可发现新数据的每一项均为原数据对应项乘2再加常数x；接下来回忆方差的性质：一组数据同时加同一个常数，方差不变，同时乘同一个常数a，方差变为原来的a²倍，由此可计算出新数据的方差；最后根据方差的定义，方差等于离差平方和除以数据个数，反过来用方差乘数据个数即可得到离差平方和。
【解析】
步骤1：分析两组数据的变换关系
原数据为4、2、5、2、1，共$n=5$个数据；
新数据可改写为：$x+8=2×4+x$、$x+4=2×2+x$、$x+10=2×5+x$、$x+4=2×2+x$、$x+2=2×1+x$，即新数据是原数据每个数乘2再加$x$得到的。
步骤2：利用方差性质计算新数据的方差
根据方差性质：若将一组数据每个数都乘$k$再加常数$m$，则新数据的方差为原数据方差的$k²$倍（加常数不改变方差）。
已知原数据方差为2.16，因此新数据的方差$=2^2×2.16=4×2.16=8.64$。
步骤3：计算离差平方和
由方差定义：$\mathrm{方差}=\frac{\mathrm{离差平方和}}{\mathrm{数据个数}}$，因此$\mathrm{离差平方和}=\mathrm{方差}×\mathrm{数据个数}$。
代入数值可得：离差平方和$=8.64×5=43.2$。
【答案】
43.2
【知识点】
方差的性质；方差与离差平方和的关系
【点评】
本题考查方差相关的基础计算，解题的核心是快速识别两组数据的变换关系，利用方差的性质简化计算，避免直接展开计算离差平方和，降低出错概率。
【难度系数】
0.6
10 若8个数据的平方和是20，方差是2，则平均数是
$-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
$-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}$ [提示:由题意得$x_1^2+x_2^2+\dots+x_8^2=20$，$\frac{1}{8}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_8-\bar{x})^2]=2$，$x_1+x_2+\dots+x_8=8\bar{x}$。可得$(x_1^2+x_2^2+\dots+x_8^2)-2\bar{x}(x_1+x_2+\dots+x_8)+8(\bar{x})^2=16$,得$20-16(\bar{x})^2+8(\bar{x})^2=16$,解得$\bar{x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$。]
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的计算公式，方差是各数据与平均数差的平方的平均数。题目已知数据的平方和、方差和数据个数，我们可以先设平均数为$\bar{x}$，将方差公式展开，利用“数据总和等于数据个数乘平均数”的性质，把所有未知量用$\bar{x}$表示，建立关于$\bar{x}$的方程求解即可，注意开平方时要保留正负两个解。
【解析】
设这8个数据的平均数为$\bar{x}$，由题意可知：
数据平方和：$x_1^2+x_2^2+\dots+x_8^2=20$，数据个数$n=8$，方差$s^2=2$。
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，将括号内完全平方展开得：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2\bar{x}(x_1+x_2+\dots+x_n)+n\bar{x}^2]$
又因为数据总和$x_1+x_2+\dots+x_8=8\bar{x}$，将已知条件代入上式：
$2=\frac{1}{8}[20 - 2\bar{x}×8\bar{x} + 8\bar{x}^2]$
等式两边同乘8得：
$16=20 - 16\bar{x}^2 + 8\bar{x}^2$
合并同类项整理得：
$8\bar{x}^2=4$，即$\bar{x}^2=\frac{1}{2}$
开平方解得：$\bar{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\bar{x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
方差公式；平均数定义；一元二次方程求解
【点评】
本题核心考查方差公式的变形运用，需要学生熟练掌握方差、平均数与数据平方和之间的关联，解题时通过展开方差公式建立方程即可求解，需注意正数开平方有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆方差的计算公式，方差是各数据与平均数差的平方的平均数。题目已知数据的平方和、方差和数据个数，我们可以先设平均数为$\bar{x}$，将方差公式展开，利用“数据总和等于数据个数乘平均数”的性质，把所有未知量用$\bar{x}$表示，建立关于$\bar{x}$的方程求解即可，注意开平方时要保留正负两个解。
【解析】
设这8个数据的平均数为$\bar{x}$，由题意可知：
数据平方和：$x_1^2+x_2^2+\dots+x_8^2=20$，数据个数$n=8$，方差$s^2=2$。
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，将括号内完全平方展开得：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2\bar{x}(x_1+x_2+\dots+x_n)+n\bar{x}^2]$
又因为数据总和$x_1+x_2+\dots+x_8=8\bar{x}$，将已知条件代入上式：
$2=\frac{1}{8}[20 - 2\bar{x}×8\bar{x} + 8\bar{x}^2]$
等式两边同乘8得：
$16=20 - 16\bar{x}^2 + 8\bar{x}^2$
合并同类项整理得：
$8\bar{x}^2=4$，即$\bar{x}^2=\frac{1}{2}$
开平方解得：$\bar{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\bar{x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
方差公式；平均数定义；一元二次方程求解
【点评】
本题核心考查方差公式的变形运用，需要学生熟练掌握方差、平均数与数据平方和之间的关联，解题时通过展开方差公式建立方程即可求解，需注意正数开平方有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11 某篮球队运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在5天中进球的个数统计如下：
队员 每人每天进球数/个
甲 10 6
10 8 8
乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球个数的平均数为$\bar{x}_甲=8.4$(个)，方差为$s^2_甲=2.24$。
（1）求乙进球个数的平均数$\bar{x}_乙$和方差$s^2_乙$。
（2）现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该派哪名队员去？为什么？
队员 每人每天进球数/个
甲 10 6
10 8 8乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球个数的平均数为$\bar{x}_甲=8.4$(个)，方差为$s^2_甲=2.24$。
（1）求乙进球个数的平均数$\bar{x}_乙$和方差$s^2_乙$。
（2）现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该派哪名队员去？为什么？
答案
(1) $\bar{x}_乙=\frac{7×2+9×2+8}{5}=8$(个);$s^2_乙=\frac{1}{5}×(1+1+1+0+1)=0.8$。
(2) 派甲队员去,因为甲的平均进球数高于乙,平均水平更高;
派乙队员去,因为乙的方差小于甲,成绩更稳定。(答案不唯一,理由合理即可)
(2) 派甲队员去,因为甲的平均进球数高于乙,平均水平更高;
派乙队员去,因为乙的方差小于甲,成绩更稳定。(答案不唯一,理由合理即可)
解析
【分析】
（1）求乙的平均数和方差时，首先明确平均数的计算方法是所有数据之和除以数据总个数，方差的计算方法是先求每个数据与平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数，对应代入乙的进球数据计算即可。
（2）选择参赛队员可从两个统计维度判断：若看重平均得分能力，对比两人的平均数即可；若看重发挥稳定性，对比两人的方差即可，方差越小代表成绩波动越小、越稳定，两种选择只要理由合理都成立。
【解析】
（1）计算乙进球个数的平均数：
$\bar{x}_乙=\frac{7+9+7+8+9}{5}=\frac{40}{5}=8$（个）
计算乙进球个数的方差：
先计算每个数据与平均数的差的平方：
$(7-8)^2=1$，$(9-8)^2=1$，$(7-8)^2=1$，$(8-8)^2=0$，$(9-8)^2=1$
代入方差公式得：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×(1+1+1+0+1)=\frac{4}{5}=0.8$
（2）共有两种合理选择：
① 派甲队员去：甲的平均进球数$\bar{x}_甲=8.4＞\bar{x}_乙=8$，甲的平均进球水平更高，更有可能取得高得分。
② 派乙队员去：乙的方差$s^2_乙=0.8＜s^2_甲=2.24$，乙的进球数波动更小，成绩更稳定，发挥更有保障。
【答案】
(1) $\bar{x}_乙=8$个，$s^2_乙=0.8$；
(2) 可选甲，理由是甲平均进球数更高，平均水平更好；也可选乙，理由是乙方差更小，成绩更稳定（理由合理即可）
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，掌握平均数和方差的基础计算公式，理解方差反映数据波动程度的特性是解题核心，解题时需要结合实际场景需求选择合适的统计量分析问题。
【难度系数】
0.7
（1）求乙的平均数和方差时，首先明确平均数的计算方法是所有数据之和除以数据总个数，方差的计算方法是先求每个数据与平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数，对应代入乙的进球数据计算即可。
（2）选择参赛队员可从两个统计维度判断：若看重平均得分能力，对比两人的平均数即可；若看重发挥稳定性，对比两人的方差即可，方差越小代表成绩波动越小、越稳定，两种选择只要理由合理都成立。
【解析】
（1）计算乙进球个数的平均数：
$\bar{x}_乙=\frac{7+9+7+8+9}{5}=\frac{40}{5}=8$（个）
计算乙进球个数的方差：
先计算每个数据与平均数的差的平方：
$(7-8)^2=1$，$(9-8)^2=1$，$(7-8)^2=1$，$(8-8)^2=0$，$(9-8)^2=1$
代入方差公式得：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×(1+1+1+0+1)=\frac{4}{5}=0.8$
（2）共有两种合理选择：
① 派甲队员去：甲的平均进球数$\bar{x}_甲=8.4＞\bar{x}_乙=8$，甲的平均进球水平更高，更有可能取得高得分。
② 派乙队员去：乙的方差$s^2_乙=0.8＜s^2_甲=2.24$，乙的进球数波动更小，成绩更稳定，发挥更有保障。
【答案】
(1) $\bar{x}_乙=8$个，$s^2_乙=0.8$；
(2) 可选甲，理由是甲平均进球数更高，平均水平更好；也可选乙，理由是乙方差更小，成绩更稳定（理由合理即可）
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，掌握平均数和方差的基础计算公式，理解方差反映数据波动程度的特性是解题核心，解题时需要结合实际场景需求选择合适的统计量分析问题。
【难度系数】
0.7
12 某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩。如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？
为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即总体方差的估计值）。于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录这10亩的亩产量，数据如表所示：
|种类|每亩水稻的产量/kg||||||||||
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|甲|865|885|886|876|
|885|870|905|890|895|
|乙|870|875|884|885|886|888|882|890|895|896|
试通过计算说明哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢。
13 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动。
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
| |1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|芒果树叶的长宽比|3.8|3.7|3.5|3.
|3.8|4.0|3.6|4.0|3.6|4.0|
|荔枝树叶的长宽比|2.0|2.0|2.0|2.4|1.8|1.9|1.8|2.0|1.3|1.9|
【实践探究】分析数据如下：
| |平均数|中位数|众数|方差|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|芒果树叶的长宽比|3.74|
m|4.0|0.0424|
|荔枝树叶的长宽比|1.91|1.95|n|0.0669|
【问题解决】
（1）上述表格中：m=
（2）① A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别更大。”
② B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍。”
上面两位同学的说法中，合理的是
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果树、荔枝树中的哪一种，并给出你的理由。
为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即总体方差的估计值）。于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录这10亩的亩产量，数据如表所示：
|种类|每亩水稻的产量/kg||||||||||
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|甲|865|885|886|876|
|885|870|905|890|895||乙|870|875|884|885|886|888|882|890|895|896|
试通过计算说明哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢。
13 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动。
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
| |1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|芒果树叶的长宽比|3.8|3.7|3.5|3.
|3.8|4.0|3.6|4.0|3.6|4.0||荔枝树叶的长宽比|2.0|2.0|2.0|2.4|1.8|1.9|1.8|2.0|1.3|1.9|
【实践探究】分析数据如下：
| |平均数|中位数|众数|方差|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|芒果树叶的长宽比|3.74|
m|4.0|0.0424||荔枝树叶的长宽比|1.91|1.95|n|0.0669|
【问题解决】
（1）上述表格中：m=
3.75
，n=2.0
。（2）① A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别更大。”
② B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍。”
上面两位同学的说法中，合理的是
②
。（填序号）（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果树、荔枝树中的哪一种，并给出你的理由。
答案
12 甲、乙品种的水稻平均产量及总体方差的估计值分别为
$\bar{x}_甲=\frac{865+885+886+876+893+885+870+905+890+895}{10}=885(\mathrm{kg})$，
$\bar{x}_乙=\frac{870+875+884+885+886+888+882+890+895+896}{10}=885.1(\mathrm{kg})$。
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{10-1}[(x_1-\bar{x}_甲)^2+\dots+(x_{10}-\bar{x}_甲)^2]=144$，
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{10-1}[(x_1-\bar{x}_乙)^2+\dots+(x_{10}-\bar{x}_乙)^2]\approx65.66$。
由于这10亩是随机抽取的,因此可以用样本平均产量去估计这两种水稻大面积种植后的平均产量。又因为平均产量相差很小,所以需要考虑这两种水稻产量的稳定性。因为$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$,所以乙种水稻更具有推广价值。
13 (1) $m=3.75$，$n=2.0$。
(2) ②。方差越小,形状差别越小,因为芒果树的方差小于荔枝树的方差,所以①错误;因为平均数、中位数、众数均接近2,所以②正确。
(3) 这片树叶的长宽比为$\frac{11}{5.6}\approx1.96$,接近荔枝树叶的长宽比的平均数、中位数和众数,可知这片树叶更可能来自荔枝树。
$\bar{x}_甲=\frac{865+885+886+876+893+885+870+905+890+895}{10}=885(\mathrm{kg})$，
$\bar{x}_乙=\frac{870+875+884+885+886+888+882+890+895+896}{10}=885.1(\mathrm{kg})$。
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{10-1}[(x_1-\bar{x}_甲)^2+\dots+(x_{10}-\bar{x}_甲)^2]=144$，
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{10-1}[(x_1-\bar{x}_乙)^2+\dots+(x_{10}-\bar{x}_乙)^2]\approx65.66$。
由于这10亩是随机抽取的,因此可以用样本平均产量去估计这两种水稻大面积种植后的平均产量。又因为平均产量相差很小,所以需要考虑这两种水稻产量的稳定性。因为$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$,所以乙种水稻更具有推广价值。
13 (1) $m=3.75$，$n=2.0$。
(2) ②。方差越小,形状差别越小,因为芒果树的方差小于荔枝树的方差,所以①错误;因为平均数、中位数、众数均接近2,所以②正确。
(3) 这片树叶的长宽比为$\frac{11}{5.6}\approx1.96$,接近荔枝树叶的长宽比的平均数、中位数和众数,可知这片树叶更可能来自荔枝树。
解析
【分析】
第12题：判断水稻品种推广价值优先看平均产量，平均产量相近时再看产量稳定性（方差越小越稳定）。我们先计算甲、乙样本的平均产量，再计算样本方差估计总体方差，结合两个统计量判断即可。
第13题：（1）求中位数需先将数据从小到大排序，10个数据的中位数是第5、6个数据的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数，据此计算m和n。（2）方差越小说明数据波动越小、性状差别越小；平均数、中位数、众数反映数据集中趋势，据此判断两位同学的说法。（3）先计算未知树叶的长宽比，再和两类树叶的集中趋势统计量对比即可判断所属树种。
【解析】
第12题
1. 计算样本平均产量：
甲品种10亩产量分别为865、885、886、876、893、885、870、905、890、895，
$\bar{x}_甲=\frac{865+885+886+876+893+885+870+905+890+895}{10}=885(\mathrm{kg})$
乙品种10亩产量分别为870、875、884、885、886、888、882、890、895、896，
$\bar{x}_乙=\frac{870+875+884+885+886+888+882+890+895+896}{10}=885.1(\mathrm{kg})$
2. 计算总体方差的估计值：
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{10-1}[(865-885)^2+(885-885)^2+\dots+(895-885)^2]=144$
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{10-1}[(870-885.1)^2+(875-885.1)^2+\dots+(896-885.1)^2]\approx65.66$
3. 分析：两种水稻样本平均产量差异极小，说明大面积种植后平均产量接近；$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$，说明乙品种产量更稳定。
第13题
（1）将芒果树叶长宽比从小到大排序后，第5、6个数据分别为3.7、3.8，因此$m=\frac{3.7+3.8}{2}=3.75$；荔枝树叶长宽比中2.0出现次数最多，因此众数$n=2.0$。
（2）① 芒果树叶方差0.0424小于荔枝的0.0669，说明芒果树叶形状差别更小，①错误；② 荔枝树叶长宽比的平均数1.91、中位数1.95、众数2.0均接近2，说明长约为宽的2倍，②正确。
（3）这片树叶的长宽比为$\frac{11}{5.6}\approx1.96$，接近荔枝树叶长宽比的平均数、中位数和众数，与芒果树叶的平均长宽比差距较大。
【答案】
12. 乙品种的水稻在该地区更有推广价值。
13. (1) $m=3.75$，$n=2.0$；(2) ②；(3) 这片树叶更可能来自荔枝树。
【知识点】
平均数与方差的应用，中位数与众数的计算，用样本估计总体
【点评】
题目结合生活实际场景考察统计知识的应用，需要准确理解各统计量的含义，能根据需求选择合适的统计量分析问题，侧重对知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
第12题：判断水稻品种推广价值优先看平均产量，平均产量相近时再看产量稳定性（方差越小越稳定）。我们先计算甲、乙样本的平均产量，再计算样本方差估计总体方差，结合两个统计量判断即可。
第13题：（1）求中位数需先将数据从小到大排序，10个数据的中位数是第5、6个数据的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数，据此计算m和n。（2）方差越小说明数据波动越小、性状差别越小；平均数、中位数、众数反映数据集中趋势，据此判断两位同学的说法。（3）先计算未知树叶的长宽比，再和两类树叶的集中趋势统计量对比即可判断所属树种。
【解析】
第12题
1. 计算样本平均产量：
甲品种10亩产量分别为865、885、886、876、893、885、870、905、890、895，
$\bar{x}_甲=\frac{865+885+886+876+893+885+870+905+890+895}{10}=885(\mathrm{kg})$
乙品种10亩产量分别为870、875、884、885、886、888、882、890、895、896，
$\bar{x}_乙=\frac{870+875+884+885+886+888+882+890+895+896}{10}=885.1(\mathrm{kg})$
2. 计算总体方差的估计值：
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{10-1}[(865-885)^2+(885-885)^2+\dots+(895-885)^2]=144$
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{10-1}[(870-885.1)^2+(875-885.1)^2+\dots+(896-885.1)^2]\approx65.66$
3. 分析：两种水稻样本平均产量差异极小，说明大面积种植后平均产量接近；$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$，说明乙品种产量更稳定。
第13题
（1）将芒果树叶长宽比从小到大排序后，第5、6个数据分别为3.7、3.8，因此$m=\frac{3.7+3.8}{2}=3.75$；荔枝树叶长宽比中2.0出现次数最多，因此众数$n=2.0$。
（2）① 芒果树叶方差0.0424小于荔枝的0.0669，说明芒果树叶形状差别更小，①错误；② 荔枝树叶长宽比的平均数1.91、中位数1.95、众数2.0均接近2，说明长约为宽的2倍，②正确。
（3）这片树叶的长宽比为$\frac{11}{5.6}\approx1.96$，接近荔枝树叶长宽比的平均数、中位数和众数，与芒果树叶的平均长宽比差距较大。
【答案】
12. 乙品种的水稻在该地区更有推广价值。
13. (1) $m=3.75$，$n=2.0$；(2) ②；(3) 这片树叶更可能来自荔枝树。
【知识点】
平均数与方差的应用，中位数与众数的计算，用样本估计总体
【点评】
题目结合生活实际场景考察统计知识的应用，需要准确理解各统计量的含义，能根据需求选择合适的统计量分析问题，侧重对知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
