⑧ 如果一组样本容量为20的数据$a_1,a_2,\dots,a_{20}$的平均数为$\bar{x}$，方差为0.21，那么一组新的数据$a_1,a_2,\dots,a_{20},\bar{x}$的方差是。

0.2 [提示:由题意得$\frac{1}{20}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_{20}-\bar{x})^2]=0.21$，得$(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_{20}-\bar{x})^2=0.21×20$,可得新的21个数据的方差为$\frac{1}{21}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_{20}-\bar{x})^2+(\bar{x}-\bar{x})^2]=\frac{1}{21}×0.21×20=0.2$。]

9 如果一组数据4、2、5、2、1的方差是2.16，那么$x+8$、$x+4$、$x+10$、$x+4$、$x+2$的离差平方和为。

43.2 [提示:新的一组数据是由原来的数据乘以2再加x得到的,所以新的一组数据的方差是$2^2×2.16=8.64$,则这组新的数据的离差平方和为$8.64×5=43.2$。]

10 若8个数据的平方和是20，方差是2，则平均数是。

$-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}$ [提示:由题意得$x_1^2+x_2^2+\dots+x_8^2=20$，$\frac{1}{8}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_8-\bar{x})^2]=2$，$x_1+x_2+\dots+x_8=8\bar{x}$。可得$(x_1^2+x_2^2+\dots+x_8^2)-2\bar{x}(x_1+x_2+\dots+x_8)+8(\bar{x})^2=16$,得$20-16(\bar{x})^2+8(\bar{x})^2=16$,解得$\bar{x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$。]

11 某篮球队运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在5天中进球的个数统计如下：
队员 每人每天进球数/个
甲 10 6 10 8 8
乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球个数的平均数为$\bar{x}_甲=8.4$(个)，方差为$s^2_甲=2.24$。
（1）求乙进球个数的平均数$\bar{x}_乙$和方差$s^2_乙$。
（2）现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该派哪名队员去？为什么？

(1) $\bar{x}_乙=\frac{7×2+9×2+8}{5}=8$(个);$s^2_乙=\frac{1}{5}×(1+1+1+0+1)=0.8$。
(2) 派甲队员去,因为甲的平均进球数高于乙,平均水平更高;
派乙队员去,因为乙的方差小于甲,成绩更稳定。(答案不唯一,理由合理即可)

12 某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩。如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？
为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即总体方差的估计值）。于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录这10亩的亩产量，数据如表所示：
|种类|每亩水稻的产量/kg||||||||||
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|甲|865|885|886|876||885|870|905|890|895|
|乙|870|875|884|885|886|888|882|890|895|896|
试通过计算说明哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢。
13 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动。
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
| |1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|芒果树叶的长宽比|3.8|3.7|3.5|3.|3.8|4.0|3.6|4.0|3.6|4.0|
|荔枝树叶的长宽比|2.0|2.0|2.0|2.4|1.8|1.9|1.8|2.0|1.3|1.9|
【实践探究】分析数据如下：
| |平均数|中位数|众数|方差|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|芒果树叶的长宽比|3.74|m|4.0|0.0424|
|荔枝树叶的长宽比|1.91|1.95|n|0.0669|
【问题解决】
（1）上述表格中：m=，n=。
（2）① A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别更大。”
② B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍。”
上面两位同学的说法中，合理的是。（填序号）
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果树、荔枝树中的哪一种，并给出你的理由。

12 甲、乙品种的水稻平均产量及总体方差的估计值分别为
$\bar{x}_甲=\frac{865+885+886+876+893+885+870+905+890+895}{10}=885(\mathrm{kg})$，
$\bar{x}_乙=\frac{870+875+884+885+886+888+882+890+895+896}{10}=885.1(\mathrm{kg})$。
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{10-1}[(x_1-\bar{x}_甲)^2+\dots+(x_{10}-\bar{x}_甲)^2]=144$，
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{10-1}[(x_1-\bar{x}_乙)^2+\dots+(x_{10}-\bar{x}_乙)^2]\approx65.66$。
由于这10亩是随机抽取的,因此可以用样本平均产量去估计这两种水稻大面积种植后的平均产量。又因为平均产量相差很小,所以需要考虑这两种水稻产量的稳定性。因为$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$,所以乙种水稻更具有推广价值。
13 (1) $m=3.75$，$n=2.0$。
(2) ②。方差越小,形状差别越小,因为芒果树的方差小于荔枝树的方差,所以①错误;因为平均数、中位数、众数均接近2,所以②正确。
(3) 这片树叶的长宽比为$\frac{11}{5.6}\approx1.96$,接近荔枝树叶的长宽比的平均数、中位数和众数,可知这片树叶更可能来自荔枝树。