1. 图①是一个正方形.

【观察判断】(1)图②中可以称为正八边形内嵌于正方形的是；
【操作探究】通过正方形折纸折出正八边形的步骤如图③.

(2)请按照折纸的思路在图①中作内嵌正八边形.
（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）

1. (1)a
(2)如图，正八边形LGFIHKJE即为所求作。

2. 阅读与思考:下面是小逸同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.
作矩形的最大内接菱形的方法:
顶点在矩形边上的菱形叫作矩形的内接菱形.在实践活动课上,数学老师提出一个问题"如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形".实践小组成员经过思考后,给了3种不同的方法.
方法一:通过折,将矩形纸片横对折后再竖对折,沿对角线剪一刀得到一个直角三角形,展开后就是菱形EHGF(如图①),则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形.
方法二:通过叠,取两个大小一样的矩形纸片,让两矩形的长两两相交,重叠的部分形成四边形AECF,则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形.(如图②)
方法三:通过尺规作图,作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF,与AD边交于点E,与BC边交于F,连接AF,CE,则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形.
实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析,讨论,计算,对比,从而得出的最大内接菱形.
任务:
(1)图①菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为;
(2)尺规作图:请你在图③中完成日记中的"方法三"的作图过程.(保留作图痕迹,不要求写作法)
(3)若在矩形ABCD中,AB=6,BC=18,请你根据日记中三种方法,通过计算求出此矩形的内接菱形面积的最大值.

2. (1)1:2
(2)如图，四边形AECF即为所求。
(3)方法一:在矩形ABCD中,AB=6,BC=18,
∴$S_{矩形ABCD}=AB×BC=6×18=108$,
由(1)可知,菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为1:2,
∴菱形EHGF的面积为$\frac{1}{2}×108=54$；
方法二:设菱形AECF的边长为x,即AF=CF=x.
∵AB=6,BC=18,
∴BF=18−x,
在Rt△ABF中,$AB^2+BF^2=AF^2$,
即$6^2+(18−x)^2=x^2$,解得x=10,
∴菱形AECF的边长为10,
∴菱形AECF的面积为CF×AB=10×6=60；
方法三:由方法二同理可得菱形AECF的边长为10,
∴菱形AECF的面积为CF×AB=10×6=60.
∵54＜60,
∴此矩形的内接菱形面积的最大值为60.