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1. 下列方程中，①$x^2 -1=0$；②$ax^2 +bx +c=0$；③$(x+2)(x-3)=x^2 -3$；④$2x^2 -\frac{1}{x}=0$；⑤$x^2 -\frac{x}{2}=24$，是一元二次方程的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
2. 已知关于$x$的方程$(m^2 - 4)x^2 + (m - 2)x + 2m + 3 = 0$. 当$m$
≠±2
时，是一元二次方程；当$m$ =-2
时，是一元一次方程.答案
2.≠±2；=-2
3. 母题教材$P_{32}$随堂练习$T_2$ 把方程$x(x+1)=3(x-2)$化成一般式，则$a+b+c$的值是（
A.$-4$
B.$-7$
C.$2$
D.$5$
D
）A.$-4$
B.$-7$
C.$2$
D.$5$
答案
3.D
4.若关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为（
A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
D
）A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
答案
4.D
5.[2026杭州期中]某足球训练基地，组织了一次单循环的足球比赛(每两支队伍之间比赛一场)，共进行了36场比赛，设该基地这次有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（
A.$\frac{x(x-1)}{2}=36$
B.$\frac{x(x+1)}{2}=36$
C.$x(x+1)=36$
D.$x(x-1)=36$
A
）A.$\frac{x(x-1)}{2}=36$
B.$\frac{x(x+1)}{2}=36$
C.$x(x+1)=36$
D.$x(x-1)=36$
答案
5.A
6. 母题 教材P₃₅习题T₁(2) 一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，设个位数字为x，依题意可列方程为
$x(x+2)+40=10(x+2)+x$
。答案
6.$x(x+2)+40=10(x+2)+x$
7. [情境题]生活应用 如图所示，在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm²，设金色纸边的宽为x cm，求满足x的方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。
答案
7.【解】由题意得挂图长为$(80+2x)\mathrm{cm}$，宽为$(50+2x)\mathrm{cm}$，所以$(80+2x)(50+2x)=5\ 400$，
即$4x^2+160x+4\ 000+100x=5\ 400$，
所以$x^2+65x-350=0$，
其中二次项系数为1，一次项系数为65，常数项为$-350$。
即$4x^2+160x+4\ 000+100x=5\ 400$，
所以$x^2+65x-350=0$，
其中二次项系数为1，一次项系数为65，常数项为$-350$。
8. 易错题 若关于x的方程$(m-3)x^{|m-1|}+8x+2m=0$是一元二次方程，则m的值是（
A.3
B.−1
C.3或−1
D.±3
B
）A.3
B.−1
C.3或−1
D.±3
答案
8.B
解题支架：
9. 新考向数学文化《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位. 书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”这道题的意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（
A.$x^2 + 10^2 = (x+1)^2$
B.$(x+1)^2 + 10^2 = x^2$
C.$x^2 + 10^2 = (x-4)^2$
D.$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$
D
）A.$x^2 + 10^2 = (x+1)^2$
B.$(x+1)^2 + 10^2 = x^2$
C.$x^2 + 10^2 = (x-4)^2$
D.$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$
答案
9.D
