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9. 如图,在平面直角坐标系中,函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与$y=x-1$的图象交于点$P(a,b)$,则代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值为 （
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}$
C
）A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
9. C
解析
【分析】
首先，点P是两个函数图象的交点，因此它的坐标同时满足两个函数的解析式，我们不需要单独求解a、b的具体值，先通过代入函数解析式得到ab和b-a的取值，再将目标代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分变形，最后整体代入计算即可，这种整体代入的方法能简化计算过程。
【解析】
∵点$P(a,b)$是函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与$y=x-1$的图象交点
∴将$P(a,b)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$b=\frac{4}{a}$，即$ab=4$
将$P(a,b)$代入$y=x-1$，得$b=a-1$，即$b - a = -1$
对目标代数式通分可得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b - a}{ab}$
将$ab=4$，$b - a = -1$代入上式，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$
故选C
【答案】
C
【知识点】
函数交点的意义，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题解题的关键是理解函数交点坐标的性质，灵活运用整体代入的思想求解代数式的值，避免复杂的解方程过程，提升解题效率，需要注意通分时的符号问题，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
首先，点P是两个函数图象的交点，因此它的坐标同时满足两个函数的解析式，我们不需要单独求解a、b的具体值，先通过代入函数解析式得到ab和b-a的取值，再将目标代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分变形，最后整体代入计算即可，这种整体代入的方法能简化计算过程。
【解析】
∵点$P(a,b)$是函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与$y=x-1$的图象交点
∴将$P(a,b)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$b=\frac{4}{a}$，即$ab=4$
将$P(a,b)$代入$y=x-1$，得$b=a-1$，即$b - a = -1$
对目标代数式通分可得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b - a}{ab}$
将$ab=4$，$b - a = -1$代入上式，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$
故选C
【答案】
C
【知识点】
函数交点的意义，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题解题的关键是理解函数交点坐标的性质，灵活运用整体代入的思想求解代数式的值，避免复杂的解方程过程，提升解题效率，需要注意通分时的符号问题，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
10. (2025·东营)如图,一次函数$y=3x+3$的图象与坐标轴分别交于点B,C,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A,$△ ABC$是等腰直角三角形,$∠ ACB=90°,AC=BC$,求k的值. 
答案
10. 一次函数$ y=3x+3 $中,令$ x=0 $,得$ y=3 $,令$ y=0 $,$ 0=3x+3 $,解得$ x=-1 $,$ \therefore B $点坐标为$ (-1,0) $,$ C $点坐标为$ (0,3) $;过点$ A $作$ AD ⊥ y $轴于点$ D $,如图所示
. $ \because ∠ ACB=90° $,$ \therefore ∠ ACD+∠ BCO=90° $.$ \because ∠ BCO+∠ CBO=90° $,$ \therefore ∠ ACD=∠ CBO $,在$ △ ACD $和$ △ CBO $中$ \begin{cases} ∠ ADC=∠ COB=90° \\ ∠ ACD=∠ CBO \\ AC=CB \end{cases} $ , $ \therefore △ ACD ≌ △ CBO(\mathrm{AAS}) $,$ \therefore AD=OC=3 $,$ CD=OB=1 $,由$ C(0,3) $,$ CD=1 $得$ OD=OC+CD=4 $,$ \therefore A $点坐标为$ (-3,4) $,将$ A(-3,4) $代入反比例函数$ y=\dfrac{k}{x} $,解得$ k=-12. $
解析
【分析】
解题时首先求出一次函数与坐标轴的交点B、C的坐标，再根据等腰直角三角形的性质，通过作AD垂直y轴构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质求出点A的坐标，最后将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值。
【解析】
在一次函数$y=3x+3$中，令$x=0$，得$y=3$；令$y=0$，则$0=3x+3$，解得$x=-1$，因此$B$点坐标为$(-1,0)$，$C$点坐标为$(0,3)$。
过点$A$作$AD ⊥ y$轴于点$D$，如图所示。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACD+∠ BCO=90°$。
又$\because ∠ BCO+∠ CBO=90°$，$\therefore ∠ ACD=∠ CBO$。
在$△ ACD$和$△ CBO$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ COB=90° \\∠ ACD=∠ CBO \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ CBO(\mathrm{AAS})$。
由全等性质可得$AD=OC=3$，$CD=OB=1$，结合$C(0,3)$可知$OD=OC+CD=3+1=4$，因此点$A$的坐标为$(-3,4)$。
将$A(-3,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$4=\dfrac{k}{-3}$，解得$k=-12$。
【答案】
$k=-12$
【知识点】
一次函数的交点坐标，全等三角形的判定与性质，反比例函数解析式确定
【点评】
本题综合考查了一次函数、反比例函数与全等三角形的相关知识，解题核心是构造全等三角形求解未知点坐标，体现了数形结合思想的应用，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先求出一次函数与坐标轴的交点B、C的坐标，再根据等腰直角三角形的性质，通过作AD垂直y轴构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质求出点A的坐标，最后将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值。
【解析】
在一次函数$y=3x+3$中，令$x=0$，得$y=3$；令$y=0$，则$0=3x+3$，解得$x=-1$，因此$B$点坐标为$(-1,0)$，$C$点坐标为$(0,3)$。
过点$A$作$AD ⊥ y$轴于点$D$，如图所示
。$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACD+∠ BCO=90°$。
又$\because ∠ BCO+∠ CBO=90°$，$\therefore ∠ ACD=∠ CBO$。
在$△ ACD$和$△ CBO$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ COB=90° \\∠ ACD=∠ CBO \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ CBO(\mathrm{AAS})$。
由全等性质可得$AD=OC=3$，$CD=OB=1$，结合$C(0,3)$可知$OD=OC+CD=3+1=4$，因此点$A$的坐标为$(-3,4)$。
将$A(-3,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$4=\dfrac{k}{-3}$，解得$k=-12$。
【答案】
$k=-12$
【知识点】
一次函数的交点坐标，全等三角形的判定与性质，反比例函数解析式确定
【点评】
本题综合考查了一次函数、反比例函数与全等三角形的相关知识，解题核心是构造全等三角形求解未知点坐标，体现了数形结合思想的应用，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. (2024·常州)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象相交于点$A(-1,n)$,$B(2,1)$.
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接$OA$,$OB$,求$△ OAB$的面积.
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接$OA$,$OB$,求$△ OAB$的面积.
答案
11. (1) $ \because $ 一次函数$ y=kx+b $的图象与反比例函数$ y=\dfrac{m}{x} $的图象相交于点$ A(-1,n) $,$ B(2,1) $,$ \therefore m=-n=2 $,$ \therefore m=2 $,$ n=-2 $,$ \therefore $ 反比例函数的表达式为$ y=\dfrac{2}{x} $,一次函数$ y=kx+b $的图象过$ A(-1,-2) $,$ B(2,1) $,$ \begin{cases} -k+b=-2 \\ 2k+b=1 \end{cases} $ ,解得$ \begin{cases} k=1 \\ b=-1 \end{cases} $ ,$ \therefore $ 一次函数的表达式为$ y=x-1 $.
(2) 如图
,设直线与$ x $轴的交点为点$ C $,在函数$ y=x-1 $中,当$ y=0 $时,$ x=1 $,$ \therefore C(1,0) $,即$ OC=1 $,$ \therefore S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2} × 1 × 1+\dfrac{1}{2} × 1 × 2=\dfrac{3}{2}. $解析
【分析】
（1）求解函数表达式优先使用待定系数法：先将已知点B(2,1)代入反比例函数解析式求出参数m，得到反比例函数表达式；再将点A的横坐标代入反比例函数，求出n的值得到A点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组得到k、b的值，即可得到一次函数表达式。
（2）求△OAB的面积时，因三角形没有边落在坐标轴上，可采用割补法简化计算：先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，将△OAB拆分为△AOC和△BOC，两个三角形的底均为OC的长度，高分别为A点纵坐标的绝对值和B点的纵坐标，分别求面积后求和即可得到△OAB的面积。
【解析】
（1）
∵反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象过点$B(2,1)$，
将$x=2,y=1$代入得$1=\dfrac{m}{2}$，解得$m=2$，
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$。
∵点$A(-1,n)$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，
将$x=-1$代入得$n=\dfrac{2}{-1}=-2$，即$A(-1,-2)$。
∵一次函数$y=kx+b$的图象过$A(-1,-2)$、$B(2,1)$，
代入得方程组$\begin{cases} -k+b=-2 \\ 2k+b=1 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=-1 \end{cases}$，
∴一次函数的表达式为$y=x-1$。
（2）如图，设一次函数$y=x-1$的图象与x轴的交点为点C，
在$y=x-1$中，令$y=0$，得$x=1$，
∴$C(1,0)$，即$OC=1$。
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×1×2+\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{2}{x}}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x-1}$；
(2) $△ OAB$的面积为$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$。
如图
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了待定系数法求解函数解析式的常规方法，也考查了用割补法简化斜三角形面积计算的技巧，解题时优先选择与坐标轴重合的线段作为三角形的底，可大幅降低运算难度。
【难度系数】
0.7
（1）求解函数表达式优先使用待定系数法：先将已知点B(2,1)代入反比例函数解析式求出参数m，得到反比例函数表达式；再将点A的横坐标代入反比例函数，求出n的值得到A点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组得到k、b的值，即可得到一次函数表达式。
（2）求△OAB的面积时，因三角形没有边落在坐标轴上，可采用割补法简化计算：先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，将△OAB拆分为△AOC和△BOC，两个三角形的底均为OC的长度，高分别为A点纵坐标的绝对值和B点的纵坐标，分别求面积后求和即可得到△OAB的面积。
【解析】
（1）
∵反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象过点$B(2,1)$，
将$x=2,y=1$代入得$1=\dfrac{m}{2}$，解得$m=2$，
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$。
∵点$A(-1,n)$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，
将$x=-1$代入得$n=\dfrac{2}{-1}=-2$，即$A(-1,-2)$。
∵一次函数$y=kx+b$的图象过$A(-1,-2)$、$B(2,1)$，
代入得方程组$\begin{cases} -k+b=-2 \\ 2k+b=1 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=-1 \end{cases}$，
∴一次函数的表达式为$y=x-1$。
（2）如图
，设一次函数$y=x-1$的图象与x轴的交点为点C，在$y=x-1$中，令$y=0$，得$x=1$，
∴$C(1,0)$，即$OC=1$。
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×1×2+\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{2}{x}}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x-1}$；
(2) $△ OAB$的面积为$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$。
如图
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了待定系数法求解函数解析式的常规方法，也考查了用割补法简化斜三角形面积计算的技巧，解题时优先选择与坐标轴重合的线段作为三角形的底，可大幅降低运算难度。
【难度系数】
0.7
12. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作$T_m$（$m$为1～8的整数）. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象为曲线$L$.
（1）若$L$过点$T_1$，求反比例函数的解析式；
（2）若$L$过点$T_4$，则它必定还过另一点$T_m$，求$T_m$的坐标；
（3）若曲线$L$使得$T_1$～$T_8$这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数$k$.
（1）若$L$过点$T_1$，求反比例函数的解析式；
（2）若$L$过点$T_4$，则它必定还过另一点$T_m$，求$T_m$的坐标；
（3）若曲线$L$使得$T_1$～$T_8$这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数$k$.
答案
12. (1) $ \because $ 每个台阶的高和宽分别是1和2,$ \therefore T_1(-16,1) $,$ T_2(-14,2) $,$ T_3(-12,3) $,$ T_4(-10,4) $,$ T_5(-8,5) $,$ T_6(-6,6) $,$ T_7(-4,7) $,$ T_8(-2,8) $,$ \because L $过点$ T_1 $,$ \therefore k=-16 × 1=-16 $,$ \therefore $ 反比例函数的解析式为$ y=-\dfrac{16}{x} $；
(2) $ \because L $过点$ T_4 $,$ \therefore k=-10 × 4=-40 $,$ \therefore $ 反比例函数解析式为$ y=-\dfrac{40}{x} $,当$ x=-8 $时,$ y=5 $,$ \therefore T_5 $在反比例函数图象上,$ \therefore m=5 $,$ \therefore T_m $的坐标为$ (-8,5) $；
(3) 若曲线$ L $过点$ T_1(-16,1) $,$ T_8(-2,8) $时,$ k=-16 $,若曲线$ L $过点$ T_2(-14,2) $,$ T_7(-4,7) $时,$ k=-14 × 2=-28 $,若曲线$ L $过点$ T_3(-12,3) $,$ T_6(-6,6) $时,$ k=-12 × 3=-36 $,若曲线$ L $过点$ T_4(-10,4) $,$ T_5(-8,5) $时,$ k=-40 $.
$ \because $ 曲线$ L $使得$ T_1 ∼ T_8 $这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,$ \therefore -36 ＜ k ＜ -28 $,$ \therefore $ 所有满足条件的整数$ k=-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29. $
(2) $ \because L $过点$ T_4 $,$ \therefore k=-10 × 4=-40 $,$ \therefore $ 反比例函数解析式为$ y=-\dfrac{40}{x} $,当$ x=-8 $时,$ y=5 $,$ \therefore T_5 $在反比例函数图象上,$ \therefore m=5 $,$ \therefore T_m $的坐标为$ (-8,5) $；
(3) 若曲线$ L $过点$ T_1(-16,1) $,$ T_8(-2,8) $时,$ k=-16 $,若曲线$ L $过点$ T_2(-14,2) $,$ T_7(-4,7) $时,$ k=-14 × 2=-28 $,若曲线$ L $过点$ T_3(-12,3) $,$ T_6(-6,6) $时,$ k=-12 × 3=-36 $,若曲线$ L $过点$ T_4(-10,4) $,$ T_5(-8,5) $时,$ k=-40 $.
$ \because $ 曲线$ L $使得$ T_1 ∼ T_8 $这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,$ \therefore -36 ＜ k ＜ -28 $,$ \therefore $ 所有满足条件的整数$ k=-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29. $
解析
【分析】
解题前先根据台阶高为1、宽为2的特征，结合坐标系位置推导所有$T_1$~$T_8$的坐标：x坐标从$T_1$开始每次向右（增大）2，y坐标每次向上（增大）1，得到各点坐标后分问题求解：
(1) 反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，已知图象过$T_1$，将$T_1$坐标代入即可求出$k$，得到解析式；
(2) 先将$T_4$坐标代入求出$k$，再计算其余点的x与y的乘积，乘积等于$k$的点就是同时在图象上的$T_m$；
(3) 先计算每个$T_m$对应的$x·y$的值（即该点在反比例函数上时的$k$值），将这些$k$值从小到大排序，要让8个点分布在曲线两侧各4个，说明$k$需落在第4个和第5个$k$值之间，再找出该区间内的整数$k$即可。
【解析】
首先推导各点坐标：
∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴$T_1(-16,1)$，$T_2(-14,2)$，$T_3(-12,3)$，$T_4(-10,4)$，$T_5(-8,5)$，$T_6(-6,6)$，$T_7(-4,7)$，$T_8(-2,8)$。
(1)
∵曲线$L$过点$T_1$，将$T_1(-16,1)$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$k=-16×1=-16$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{16}{x}$。
(2)
∵曲线$L$过点$T_4$，将$T_4(-10,4)$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$k=-10×4=-40$，即反比例函数解析式为$y=-\frac{40}{x}$，
验证其余点：当$x=-8$时，$y=\frac{-40}{-8}=5$，与$T_5(-8,5)$的坐标匹配，
∴$m=5$，对应$T_m$的坐标为$(-8,5)$。
(3) 先计算每个点对应的$k$值（即$x·y$）：
$T_1$对应$k=-16×1=-16$，$T_2$对应$k=-14×2=-28$，$T_3$对应$k=-12×3=-36$，$T_4$对应$k=-10×4=-40$，
$T_5$对应$k=-8×5=-40$，$T_6$对应$k=-6×6=-36$，$T_7$对应$k=-4×7=-28$，$T_8$对应$k=-2×8=-16$。
将这些$k$值从小到大排序为：$-40 ＜ -36 ＜ -28 ＜ -16$，
要使8个点分布在曲线两侧各4个，则$k$需在$-36$和$-28$之间，即$-36 ＜ k ＜ -28$，
此区间内的整数$k$为：$-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{16}{x}$；
(2) $(-8,5)$；
(3) $k=-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29$
【知识点】
反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质
【点评】
本题结合台阶的几何情境考查反比例函数的相关知识，需要先准确推导各点坐标，再结合反比例函数的性质分析$k$的取值范围，侧重对数形结合思想和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题前先根据台阶高为1、宽为2的特征，结合坐标系位置推导所有$T_1$~$T_8$的坐标：x坐标从$T_1$开始每次向右（增大）2，y坐标每次向上（增大）1，得到各点坐标后分问题求解：
(1) 反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，已知图象过$T_1$，将$T_1$坐标代入即可求出$k$，得到解析式；
(2) 先将$T_4$坐标代入求出$k$，再计算其余点的x与y的乘积，乘积等于$k$的点就是同时在图象上的$T_m$；
(3) 先计算每个$T_m$对应的$x·y$的值（即该点在反比例函数上时的$k$值），将这些$k$值从小到大排序，要让8个点分布在曲线两侧各4个，说明$k$需落在第4个和第5个$k$值之间，再找出该区间内的整数$k$即可。
【解析】
首先推导各点坐标：
∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴$T_1(-16,1)$，$T_2(-14,2)$，$T_3(-12,3)$，$T_4(-10,4)$，$T_5(-8,5)$，$T_6(-6,6)$，$T_7(-4,7)$，$T_8(-2,8)$。
(1)
∵曲线$L$过点$T_1$，将$T_1(-16,1)$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$k=-16×1=-16$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{16}{x}$。
(2)
∵曲线$L$过点$T_4$，将$T_4(-10,4)$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$k=-10×4=-40$，即反比例函数解析式为$y=-\frac{40}{x}$，
验证其余点：当$x=-8$时，$y=\frac{-40}{-8}=5$，与$T_5(-8,5)$的坐标匹配，
∴$m=5$，对应$T_m$的坐标为$(-8,5)$。
(3) 先计算每个点对应的$k$值（即$x·y$）：
$T_1$对应$k=-16×1=-16$，$T_2$对应$k=-14×2=-28$，$T_3$对应$k=-12×3=-36$，$T_4$对应$k=-10×4=-40$，
$T_5$对应$k=-8×5=-40$，$T_6$对应$k=-6×6=-36$，$T_7$对应$k=-4×7=-28$，$T_8$对应$k=-2×8=-16$。
将这些$k$值从小到大排序为：$-40 ＜ -36 ＜ -28 ＜ -16$，
要使8个点分布在曲线两侧各4个，则$k$需在$-36$和$-28$之间，即$-36 ＜ k ＜ -28$，
此区间内的整数$k$为：$-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{16}{x}$；
(2) $(-8,5)$；
(3) $k=-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29$
【知识点】
反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质
【点评】
本题结合台阶的几何情境考查反比例函数的相关知识，需要先准确推导各点坐标，再结合反比例函数的性质分析$k$的取值范围，侧重对数形结合思想和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.6
