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1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
）A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先需要分别回忆平行四边形和矩形的性质，明确平行四边形的共有性质，再对比矩形特有的性质，逐一核对选项就能找到正确答案。首先，平行四边形的基础性质有对边相等、对角相等、对角线互相平分，这些是所有平行四边形都具备的；矩形作为特殊的平行四边形，除了拥有上述性质外，还有自己独有的性质，我们只需从选项中找出矩形独有的性质即可。
【解析】
我们先分别梳理两类图形的性质：
1. 平行四边形的性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，因此选项A、B、D都是所有平行四边形都具备的性质，不符合题意。
2. 矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除了具备平行四边形的全部性质外，还有特有性质：四个角均为直角、对角线相等。普通平行四边形的对角线不一定相等，只有矩形等特殊平行四边形才满足对角线相等，因此该性质是矩形具有而平行四边形不一定具有的。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的性质；特殊四边形性质辨析
【点评】
本题考查一般平行四边形和特殊平行四边形的性质差异，解题核心是区分两类图形的共性与特性，熟记特殊图形独有的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要分别回忆平行四边形和矩形的性质，明确平行四边形的共有性质，再对比矩形特有的性质，逐一核对选项就能找到正确答案。首先，平行四边形的基础性质有对边相等、对角相等、对角线互相平分，这些是所有平行四边形都具备的；矩形作为特殊的平行四边形，除了拥有上述性质外，还有自己独有的性质，我们只需从选项中找出矩形独有的性质即可。
【解析】
我们先分别梳理两类图形的性质：
1. 平行四边形的性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，因此选项A、B、D都是所有平行四边形都具备的性质，不符合题意。
2. 矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除了具备平行四边形的全部性质外，还有特有性质：四个角均为直角、对角线相等。普通平行四边形的对角线不一定相等，只有矩形等特殊平行四边形才满足对角线相等，因此该性质是矩形具有而平行四边形不一定具有的。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的性质；特殊四边形性质辨析
【点评】
本题考查一般平行四边形和特殊平行四边形的性质差异，解题核心是区分两类图形的共性与特性，熟记特殊图形独有的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2.如图,下列条件中,不能判定$□ ABCD$是矩形的是 （
A.$∠ BAD=90°$
B.$AC=BD$
C.$AB^2 + BC^2 = AC^2$
D.$∠ B = ∠ D$
D
）A.$∠ BAD=90°$
B.$AC=BD$
C.$AB^2 + BC^2 = AC^2$
D.$∠ B = ∠ D$
答案
2.D
解析
【分析】
首先明确题目已知四边形ABCD是平行四边形，要判断哪个条件无法判定它是矩形，我们需要先回忆平行四边形前提下矩形的判定定理：1.有一个内角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形。接下来逐个分析每个选项是否符合上述判定，或者是否是平行四边形本身就具备的性质即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若$∠ BAD=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
B. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
C. 若$AB^2 + BC^2 = AC^2$，由勾股定理的逆定理可得$∠ ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
D. 平行四边形的性质本身就是对角相等，即$∠ B=∠ D$是$□ ABCD$本来就具备的性质，无法推出它是矩形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的性质、勾股定理逆定理
【点评】
本题主要考查矩形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的性质以及矩形相对于平行四边形的特殊判定条件，不要将平行四边形的固有性质当作矩形的判定依据。
【难度系数】
0.8
首先明确题目已知四边形ABCD是平行四边形，要判断哪个条件无法判定它是矩形，我们需要先回忆平行四边形前提下矩形的判定定理：1.有一个内角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形。接下来逐个分析每个选项是否符合上述判定，或者是否是平行四边形本身就具备的性质即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若$∠ BAD=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
B. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
C. 若$AB^2 + BC^2 = AC^2$，由勾股定理的逆定理可得$∠ ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
D. 平行四边形的性质本身就是对角相等，即$∠ B=∠ D$是$□ ABCD$本来就具备的性质，无法推出它是矩形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的性质、勾股定理逆定理
【点评】
本题主要考查矩形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的性质以及矩形相对于平行四边形的特殊判定条件，不要将平行四边形的固有性质当作矩形的判定依据。
【难度系数】
0.8
3.数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（
A.测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量三个角是否都为直角
D
）A.测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量三个角是否都为直角
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查矩形的判定相关知识，解题思路如下：首先回忆矩形的判定定理以及平行四边形和矩形的关系，再逐一分析每个选项对应的图形判定结论，排除不符合矩形判定要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们结合矩形、平行四边形的判定定理逐一分析选项：
A. 对角线互相平分是平行四边形的判定条件，仅能说明该四边形是平行四边形，无法证明是矩形，故A错误；
B. 两组对边分别相等也是平行四边形的判定条件，仅能说明该四边形是平行四边形，无法证明是矩形，故B错误；
C. 一组对角为直角的四边形，无法保证其余两个角的度数，可能是不规则四边形，不一定是矩形，故C错误；
D. 根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，因此测量三个角都为直角时，该四边形门框一定是矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是区分平行四边形和矩形的判定条件，熟练掌握相关定理即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查矩形的判定相关知识，解题思路如下：首先回忆矩形的判定定理以及平行四边形和矩形的关系，再逐一分析每个选项对应的图形判定结论，排除不符合矩形判定要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们结合矩形、平行四边形的判定定理逐一分析选项：
A. 对角线互相平分是平行四边形的判定条件，仅能说明该四边形是平行四边形，无法证明是矩形，故A错误；
B. 两组对边分别相等也是平行四边形的判定条件，仅能说明该四边形是平行四边形，无法证明是矩形，故B错误；
C. 一组对角为直角的四边形，无法保证其余两个角的度数，可能是不规则四边形，不一定是矩形，故C错误；
D. 根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，因此测量三个角都为直角时，该四边形门框一定是矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是区分平行四边形和矩形的判定条件，熟练掌握相关定理即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,D为斜边AC的中点.若$∠ A=25°$,则$∠ BDC=$
50
°.答案
4.50
解析
【分析】
拿到题目首先观察题干特征：出现直角三角形和斜边中点，优先回忆直角三角形斜边中线的性质，可得BD与AD长度相等，进而得到△ABD为等腰三角形，再结合已知的∠A的度数，利用三角形外角的性质即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，D为斜边AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$BD=AD=\frac{1}{2}AC$，
∴$△ABD$为等腰三角形，$∠ ABD=∠ A=25°$，
∵$∠ BDC$是$△ABD$的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=25°+25°=50°$。
【答案】
50
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用直角三角形斜边中线的性质得到线段相等关系，再结合角度计算的相关性质求解，是三角形部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先观察题干特征：出现直角三角形和斜边中点，优先回忆直角三角形斜边中线的性质，可得BD与AD长度相等，进而得到△ABD为等腰三角形，再结合已知的∠A的度数，利用三角形外角的性质即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，D为斜边AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$BD=AD=\frac{1}{2}AC$，
∴$△ABD$为等腰三角形，$∠ ABD=∠ A=25°$，
∵$∠ BDC$是$△ABD$的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=25°+25°=50°$。
【答案】
50
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用直角三角形斜边中线的性质得到线段相等关系，再结合角度计算的相关性质求解，是三角形部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
5.【本土素材】如图,在内蒙古某草原景区,有一个矩形的文化展示墙ABCD,用于展示那达慕大会的精彩图片,点E,F在展示墙下方的边BC上,连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.
(1)求证:△ABE≌△DCF;
(2)当AB=12,DF=13时,求BE的长.
数学
(1)求证:△ABE≌△DCF;
(2)当AB=12,DF=13时,求BE的长.
数学
答案
5.(1)证明:在矩形 ABCD 中,$AB=CD$,
$∠B=∠C=90°$.
在$△ ABE$和$△ DCF$中,
$\begin{cases}∠BAE=∠CDF,\\AB=DC,\\∠B=∠C=90°,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DCF(\mathrm{ASA}).$
(2)解:由(1)知$△ ABE≌△ DCF$,
$\therefore AE=DF=13.$
$\because AB=12,$
$\therefore BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5.$
$∠B=∠C=90°$.
在$△ ABE$和$△ DCF$中,
$\begin{cases}∠BAE=∠CDF,\\AB=DC,\\∠B=∠C=90°,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DCF(\mathrm{ASA}).$
(2)解:由(1)知$△ ABE≌△ DCF$,
$\therefore AE=DF=13.$
$\because AB=12,$
$\therefore BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5.$
解析
【分析】
（1）要证明△ABE≌△DCF，首先结合矩形的性质获取相等的边和角：矩形对边相等可得AB=CD，矩形四个角都是直角可得∠B=∠C=90°，再结合题目已知的∠BAE=∠CDF，满足角边角（ASA）的全等判定条件，即可证明两三角形全等。
（2）由（1）的全等结论可得对应边AE=DF，已知DF长度即可得到AE的长度，此时△ABE是直角三角形，已知AB和AE的长度，运用勾股定理即可求出BE的长度。
【解析】
(1) 证明：在矩形ABCD中，$AB=CD$，$∠B=∠C=90°$。
在$△ABE$和$△DCF$中，
$\begin{cases}∠BAE=∠CDF,\\AB=DC,\\∠B=∠C=90°,\end{cases}$
$\therefore △ABE≌△DCF(\mathrm{ASA}).$
(2) 解：由(1)知$△ABE≌△DCF$，
$\therefore AE=DF=13.$
$\because AB=12,∠B=90°$，
$\therefore \mathrm{在}\mathrm{Rt}△ ABE\mathrm{中},BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5.$
【答案】
(1) 已证△ABE≌△DCF；(2) BE的长为5。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将矩形性质、全等判定及勾股定理相结合，考查对基础几何定理的掌握和应用能力，解题时只要找准已知条件和定理的对应关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ABE≌△DCF，首先结合矩形的性质获取相等的边和角：矩形对边相等可得AB=CD，矩形四个角都是直角可得∠B=∠C=90°，再结合题目已知的∠BAE=∠CDF，满足角边角（ASA）的全等判定条件，即可证明两三角形全等。
（2）由（1）的全等结论可得对应边AE=DF，已知DF长度即可得到AE的长度，此时△ABE是直角三角形，已知AB和AE的长度，运用勾股定理即可求出BE的长度。
【解析】
(1) 证明：在矩形ABCD中，$AB=CD$，$∠B=∠C=90°$。
在$△ABE$和$△DCF$中，
$\begin{cases}∠BAE=∠CDF,\\AB=DC,\\∠B=∠C=90°,\end{cases}$
$\therefore △ABE≌△DCF(\mathrm{ASA}).$
(2) 解：由(1)知$△ABE≌△DCF$，
$\therefore AE=DF=13.$
$\because AB=12,∠B=90°$，
$\therefore \mathrm{在}\mathrm{Rt}△ ABE\mathrm{中},BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5.$
【答案】
(1) 已证△ABE≌△DCF；(2) BE的长为5。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将矩形性质、全等判定及勾股定理相结合，考查对基础几何定理的掌握和应用能力，解题时只要找准已知条件和定理的对应关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
