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1. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间(单位:分钟):55,57,65,55,65,70,65,78,68,70. 对这组数据判断正确的是 （
A.方差为3
B.平均数为65
C.众数为65
D.中位数为67.5
C
）A.方差为3
B.平均数为65
C.众数为65
D.中位数为67.5
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查常见统计量的判断，解题思路为：首先将已知数据按从小到大排序，再分别计算出这组数据的众数、平均数、中位数、方差，逐一比对选项即可得出正确答案。
【解析】
首先将10个锻炼时间数据从小到大排序：55，55，57，65，65，65，68，70，70，78。
1. 判断众数：65出现的次数最多（共3次），因此众数为65，C选项正确。
2. 计算平均数：所有数据总和为$55+55+57+65+65+65+68+70+70+78=648$，平均数为$648÷10=64.8≠65$，B选项错误。
3. 计算中位数：10个数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$\frac{65+65}{2}=65≠67.5$，D选项错误。
4. 判断方差：各数据与平均数的差值的平方和远大于30，因此方差远大于3，A选项错误。
综上，只有C选项判断正确。
【答案】
C
【知识点】
众数；中位数；平均数与方差
【点评】
本题属于基础题型，考查常见统计量的计算与判断，熟练掌握各统计量的定义及计算方法，逐一验证选项即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查常见统计量的判断，解题思路为：首先将已知数据按从小到大排序，再分别计算出这组数据的众数、平均数、中位数、方差，逐一比对选项即可得出正确答案。
【解析】
首先将10个锻炼时间数据从小到大排序：55，55，57，65，65，65，68，70，70，78。
1. 判断众数：65出现的次数最多（共3次），因此众数为65，C选项正确。
2. 计算平均数：所有数据总和为$55+55+57+65+65+65+68+70+70+78=648$，平均数为$648÷10=64.8≠65$，B选项错误。
3. 计算中位数：10个数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$\frac{65+65}{2}=65≠67.5$，D选项错误。
4. 判断方差：各数据与平均数的差值的平方和远大于30，因此方差远大于3，A选项错误。
综上，只有C选项判断正确。
【答案】
C
【知识点】
众数；中位数；平均数与方差
【点评】
本题属于基础题型，考查常见统计量的计算与判断，熟练掌握各统计量的定义及计算方法，逐一验证选项即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 某班七个合作学习小组人数如下:4,5,5,x,6,7,8,已知这组数据的平均数为6,则这组数据的中位数和众数是 (
A.5,5
B.6,5
C.6,5和6
D.6,5和7
D
)A.5,5
B.6,5
C.6,5和6
D.6,5和7
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先根据平均数的计算公式求出未知数据x的值，再将所有数据按从小到大的顺序排列，由于数据总个数为奇数，中位数就是排序后最中间位置的数；最后统计每个数出现的次数，出现次数最多的数即为众数，注意众数可能不唯一，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 求x的值：
已知这组数据的平均数为6，数据共7个，因此7个数据的总和为$6×7=42$。
已知的6个数据之和为：$4+5+5+6+7+8=35$，因此$x=42-35=7$。
2. 确定完整数据并排序：
完整数据为：4,5,5,6,7,7,8，已按从小到大顺序排列。
3. 求中位数：
数据个数为7（奇数），中位数为排序后第$\frac{7+1}{2}=4$个数据，即6。
4. 求众数：
统计各数据出现次数：4出现1次，5出现2次，6出现1次，7出现2次，8出现1次，出现次数最多的是5和7，因此众数为5和7。
综上，中位数是6，众数是5和7，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算；中位数；众数
【点评】
本题属于统计基础题，核心考查三个常见统计量的计算方法，解题的关键是先通过平均数求出未知数据，再严格按照中位数、众数的定义判断，需注意众数可能有多个。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据平均数的计算公式求出未知数据x的值，再将所有数据按从小到大的顺序排列，由于数据总个数为奇数，中位数就是排序后最中间位置的数；最后统计每个数出现的次数，出现次数最多的数即为众数，注意众数可能不唯一，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 求x的值：
已知这组数据的平均数为6，数据共7个，因此7个数据的总和为$6×7=42$。
已知的6个数据之和为：$4+5+5+6+7+8=35$，因此$x=42-35=7$。
2. 确定完整数据并排序：
完整数据为：4,5,5,6,7,7,8，已按从小到大顺序排列。
3. 求中位数：
数据个数为7（奇数），中位数为排序后第$\frac{7+1}{2}=4$个数据，即6。
4. 求众数：
统计各数据出现次数：4出现1次，5出现2次，6出现1次，7出现2次，8出现1次，出现次数最多的是5和7，因此众数为5和7。
综上，中位数是6，众数是5和7，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算；中位数；众数
【点评】
本题属于统计基础题，核心考查三个常见统计量的计算方法，解题的关键是先通过平均数求出未知数据，再严格按照中位数、众数的定义判断，需注意众数可能有多个。
【难度系数】
0.8
3. 篮球队5名场上队员的身高(单位:cm)分别是:188,190,192,194,195.现用一名身高为191 cm的队员换下身高为195 cm的队员,与换人前相比,场上队员的身高（
A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数变大,方差变小
D.平均数变大,方差变大
A
）A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数变大,方差变小
D.平均数变大,方差变大
答案
3.A
解析
【分析】
要判断换人前后平均数和方差的变化，分两步思考：第一步判断平均数变化，平均数等于所有数据和除以数据个数，换人后数据总个数不变，只需对比数据总和的变化即可；第二步判断方差变化，方差反映数据的离散程度，既可以代入方差公式计算验证，也可以通过观察数据的集中程度快速判断。
【解析】
1. 计算平均数的变化：
换人前5名队员身高总和：$188+190+192+194+195=959\ \mathrm{cm}$，
换人前平均数：$\bar{x}_1=\frac{959}{5}=191.8\ \mathrm{cm}$；
换人后身高总和：$959-195+191=955\ \mathrm{cm}$，
换人后平均数：$\bar{x}_2=\frac{955}{5}=191\ \mathrm{cm}$；
因为$191＜191.8$，所以平均数变小。
2. 计算方差的变化：
方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
换人前方差：
$s_1^2=\frac{1}{5}[(188-191.8)^2+(190-191.8)^2+(192-191.8)^2+(194-191.8)^2+(195-191.8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(14.44+3.24+0.04+4.84+10.24)=\frac{32.8}{5}=6.56$
换人后方差：
$s_2^2=\frac{1}{5}[(188-191)^2+(190-191)^2+(192-191)^2+(194-191)^2+(191-191)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+1+1+9+0)=\frac{20}{5}=4$
因为$4＜6.56$，所以方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题考查平均数和方差的意义与计算，既可以通过公式准确计算得到结果，也可以通过数据特征快速判断：换掉的是最大数值195，换入的191更接近平均水平，数据波动更小，因此方差更小，总和降低所以平均数降低，可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
要判断换人前后平均数和方差的变化，分两步思考：第一步判断平均数变化，平均数等于所有数据和除以数据个数，换人后数据总个数不变，只需对比数据总和的变化即可；第二步判断方差变化，方差反映数据的离散程度，既可以代入方差公式计算验证，也可以通过观察数据的集中程度快速判断。
【解析】
1. 计算平均数的变化：
换人前5名队员身高总和：$188+190+192+194+195=959\ \mathrm{cm}$，
换人前平均数：$\bar{x}_1=\frac{959}{5}=191.8\ \mathrm{cm}$；
换人后身高总和：$959-195+191=955\ \mathrm{cm}$，
换人后平均数：$\bar{x}_2=\frac{955}{5}=191\ \mathrm{cm}$；
因为$191＜191.8$，所以平均数变小。
2. 计算方差的变化：
方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
换人前方差：
$s_1^2=\frac{1}{5}[(188-191.8)^2+(190-191.8)^2+(192-191.8)^2+(194-191.8)^2+(195-191.8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(14.44+3.24+0.04+4.84+10.24)=\frac{32.8}{5}=6.56$
换人后方差：
$s_2^2=\frac{1}{5}[(188-191)^2+(190-191)^2+(192-191)^2+(194-191)^2+(191-191)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+1+1+9+0)=\frac{20}{5}=4$
因为$4＜6.56$，所以方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题考查平均数和方差的意义与计算，既可以通过公式准确计算得到结果，也可以通过数据特征快速判断：换掉的是最大数值195，换入的191更接近平均水平，数据波动更小，因此方差更小，总和降低所以平均数降低，可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
4. “红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分. 评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（
A.中位数
B.众数
C.平均数
D.方差
A
）A.中位数
B.众数
C.平均数
D.方差
答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆中位数、众数、平均数、方差这四个统计量的定义和特点，再逐一分析去掉一个最高分和一个最低分后，各统计量是否发生变化：
1. 先明确7个原始评分排序后，各统计量的位置或计算方式；
2. 再对比去掉最高、最低分后的5个有效评分的统计量，判断是否一定不变。
【解析】
我们先将7个原始评分按从小到大的顺序排列：$a_1 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ a_4 ≤ a_5 ≤ a_6 ≤ a_7$。
1. 分析中位数：7个原始评分的中位数是排序后第4个数，即$a_4$。去掉一个最低分$a_1$和一个最高分$a_7$后，剩下的5个有效评分为$a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$，排序后的中位数仍是第3个数$a_4$，因此中位数一定不变。
2. 分析众数：众数是一组数据中出现次数最多的数，若原始众数恰好是被去掉的最高分或最低分，去掉后众数可能发生变化，因此众数不一定不变。
3. 分析平均数：平均数是所有数据的和除以数据个数，去掉两个数后，总和与个数都发生变化，平均数可能改变，因此平均数不一定不变。
4. 分析方差：方差反映一组数据的波动程度，去掉两个极端值后，数据的波动情况通常会发生变化，因此方差不一定不变。
综上，只有中位数一定不变。
【答案】
A
【知识点】
中位数的概念、众数的概念、统计量的含义
【点评】
本题考查对常见统计量特征的理解，解题的核心是掌握各统计量的计算方法和代表意义，能够结合实际场景判断统计量的变化情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先回忆中位数、众数、平均数、方差这四个统计量的定义和特点，再逐一分析去掉一个最高分和一个最低分后，各统计量是否发生变化：
1. 先明确7个原始评分排序后，各统计量的位置或计算方式；
2. 再对比去掉最高、最低分后的5个有效评分的统计量，判断是否一定不变。
【解析】
我们先将7个原始评分按从小到大的顺序排列：$a_1 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ a_4 ≤ a_5 ≤ a_6 ≤ a_7$。
1. 分析中位数：7个原始评分的中位数是排序后第4个数，即$a_4$。去掉一个最低分$a_1$和一个最高分$a_7$后，剩下的5个有效评分为$a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$，排序后的中位数仍是第3个数$a_4$，因此中位数一定不变。
2. 分析众数：众数是一组数据中出现次数最多的数，若原始众数恰好是被去掉的最高分或最低分，去掉后众数可能发生变化，因此众数不一定不变。
3. 分析平均数：平均数是所有数据的和除以数据个数，去掉两个数后，总和与个数都发生变化，平均数可能改变，因此平均数不一定不变。
4. 分析方差：方差反映一组数据的波动程度，去掉两个极端值后，数据的波动情况通常会发生变化，因此方差不一定不变。
综上，只有中位数一定不变。
【答案】
A
【知识点】
中位数的概念、众数的概念、统计量的含义
【点评】
本题考查对常见统计量特征的理解，解题的核心是掌握各统计量的计算方法和代表意义，能够结合实际场景判断统计量的变化情况。
【难度系数】
0.8
5. 九年级体育素质测试中，某小组5名同学成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖：
那么被遮盖的两个数据依次是（
A.35，2
B.36，4
C.35，3
D.36，5
那么被遮盖的两个数据依次是（
B
）A.35，2
B.36，4
C.35，3
D.36，5
答案
5.B
解析
【分析】
要确定两个被遮盖的数据，第一步先根据平均成绩求出5名同学的总成绩，用总成绩减去已知4名同学的得分，即可得到编号3的得分；第二步再将所有得分代入方差计算公式，求出方差，就能对应得到正确选项。
【解析】
1. 计算编号3的得分：
已知5名同学的平均成绩是37分，因此总成绩为 $ 5 × 37 = 185 $ 分。
已知4名同学得分分别为38、34、37、40，因此编号3的得分为 $ 185 - (38 + 34 + 37 + 40) = 185 - 149 = 36 $ 分。
2. 计算方差：
根据方差公式 $ s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2] $（其中$\overline{x}$为平均数，n为数据个数），代入数据：
$ s^2 = \frac{1}{5}[(38-37)^2 + (34-37)^2 + (36-37)^2 + (37-37)^2 + (40-37)^2] $
$ = \frac{1}{5}[1 + 9 + 1 + 0 + 9] = \frac{20}{5} = 4 $ 分²。
因此两个被遮盖的数据依次是36、4。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算；方差计算
【点评】
本题是统计的基础题型，解题核心是熟练掌握平均数和方差的计算公式，先通过平均数求出缺失的原始数据，再代入计算方差即可。
【难度系数】
0.8
要确定两个被遮盖的数据，第一步先根据平均成绩求出5名同学的总成绩，用总成绩减去已知4名同学的得分，即可得到编号3的得分；第二步再将所有得分代入方差计算公式，求出方差，就能对应得到正确选项。
【解析】
1. 计算编号3的得分：
已知5名同学的平均成绩是37分，因此总成绩为 $ 5 × 37 = 185 $ 分。
已知4名同学得分分别为38、34、37、40，因此编号3的得分为 $ 185 - (38 + 34 + 37 + 40) = 185 - 149 = 36 $ 分。
2. 计算方差：
根据方差公式 $ s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2] $（其中$\overline{x}$为平均数，n为数据个数），代入数据：
$ s^2 = \frac{1}{5}[(38-37)^2 + (34-37)^2 + (36-37)^2 + (37-37)^2 + (40-37)^2] $
$ = \frac{1}{5}[1 + 9 + 1 + 0 + 9] = \frac{20}{5} = 4 $ 分²。
因此两个被遮盖的数据依次是36、4。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算；方差计算
【点评】
本题是统计的基础题型，解题核心是熟练掌握平均数和方差的计算公式，先通过平均数求出缺失的原始数据，再代入计算方差即可。
【难度系数】
0.8
