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12.如图2,点E在AC的延长线上.给出下列条件:①$∠ 1=∠ 2$;②$∠ 3=∠ 4$;③$∠ A=∠ DCE$;④$∠ D=∠ DCE$;⑤$∠ A+∠ ABD=180°$;⑥$∠ A+∠ ACD=180°$.其中能判断出$AC// BD$的条件有（
A.①③⑥
B.①④
C.②⑤
D.②④⑤
D
）A.①③⑥
B.①④
C.②⑤
D.②④⑤
答案
12.D
解析
【分析】
要判断AC//BD，需根据平行线的判定定理，寻找AC、BD被第三条直线所截形成的同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的条件。我们逐个分析给出的6个条件，排除能判定AB//CD的不符合条件，筛选出能判定AC//BD的条件，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据平行线的判定定理逐一分析：
①∠1=∠2：是AB、CD被BC所截的内错角，可判定AB//CD，不能判定AC//BD，不符合要求；
②∠3=∠4：是BD、AC被BC所截的内错角，内错角相等，两直线平行，可判定AC//BD，符合要求；
③∠A=∠DCE：是AB、CD被AE所截的同位角，可判定AB//CD，不能判定AC//BD，不符合要求；
④∠D=∠DCE：是BD、AC被CD所截的内错角，内错角相等，两直线平行，可判定AC//BD，符合要求；
⑤∠A+∠ABD=180°：是AC、BD被AB所截的同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可判定AC//BD，符合要求；
⑥∠A+∠ACD=180°：是AB、CD被AC所截的同旁内角，可判定AB//CD，不能判定AC//BD，不符合要求。
综上，能判定AC//BD的是②④⑤，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；内错角；同旁内角
【点评】
本题核心考查平行线的判定，解题的关键是准确区分角是由哪两条直线被哪条截线所截形成的，避免混淆被截线导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断AC//BD，需根据平行线的判定定理，寻找AC、BD被第三条直线所截形成的同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的条件。我们逐个分析给出的6个条件，排除能判定AB//CD的不符合条件，筛选出能判定AC//BD的条件，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据平行线的判定定理逐一分析：
①∠1=∠2：是AB、CD被BC所截的内错角，可判定AB//CD，不能判定AC//BD，不符合要求；
②∠3=∠4：是BD、AC被BC所截的内错角，内错角相等，两直线平行，可判定AC//BD，符合要求；
③∠A=∠DCE：是AB、CD被AE所截的同位角，可判定AB//CD，不能判定AC//BD，不符合要求；
④∠D=∠DCE：是BD、AC被CD所截的内错角，内错角相等，两直线平行，可判定AC//BD，符合要求；
⑤∠A+∠ABD=180°：是AC、BD被AB所截的同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可判定AC//BD，符合要求；
⑥∠A+∠ACD=180°：是AB、CD被AC所截的同旁内角，可判定AB//CD，不能判定AC//BD，不符合要求。
综上，能判定AC//BD的是②④⑤，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；内错角；同旁内角
【点评】
本题核心考查平行线的判定，解题的关键是准确区分角是由哪两条直线被哪条截线所截形成的，避免混淆被截线导致判断错误。
【难度系数】
0.7
13.图3是一张宽度相同的纸条，折叠后，若∠ABC=120°,则∠1的度数为
60°
.答案
13.60°
解析
【分析】
解题时先明确两个基础条件：一是宽度相同的纸条上下两条边互相平行，二是折叠前后对应角的大小相等。第一步先利用平行线的内错角相等性质，找到与∠ABC相等的角，这个角刚好是两个和∠1相等的角的和；第二步结合折叠的等角性质，就能推出∠1是这个角的一半，计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵纸条的上下两边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴折叠后与∠ABC为内错角的角的度数为120°，
又
∵折叠前后对应角相等，该120°的角由两个大小与∠1相等的角组成，
∴2∠1=120°，
解得∠1=60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，角的运算
【点评】
本题结合生活中纸条折叠的场景，考查几何基础性质的应用，解题的关键是准确找到平行线形成的等角以及折叠产生的等角关系，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个基础条件：一是宽度相同的纸条上下两条边互相平行，二是折叠前后对应角的大小相等。第一步先利用平行线的内错角相等性质，找到与∠ABC相等的角，这个角刚好是两个和∠1相等的角的和；第二步结合折叠的等角性质，就能推出∠1是这个角的一半，计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵纸条的上下两边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴折叠后与∠ABC为内错角的角的度数为120°，
又
∵折叠前后对应角相等，该120°的角由两个大小与∠1相等的角组成，
∴2∠1=120°，
解得∠1=60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，角的运算
【点评】
本题结合生活中纸条折叠的场景，考查几何基础性质的应用，解题的关键是准确找到平行线形成的等角以及折叠产生的等角关系，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.7
14.如图4,已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点.若长方形纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交构成∠1,∠2,则∠2−∠1=
90°
.答案
14.90°
解析
【分析】
解题时首先利用长方形对边平行的性质，找到与∠2互补的角，再结合直角顶点处三个角的和为平角180°，其中一个角是直角90°，将∠1和∠2代入到角度和的等式中，化简即可得到∠2与∠1的差值。思考时要先回忆平行线的性质和特殊角的度数，找到两个角的关联桥梁。
【解析】
解：设与∠2为同旁内角的角为∠3，
∵长方形的对边互相平行，
∴∠2 + ∠3 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠3 = 180° - ∠2。
∵直角三角形的直角为90°，且直角顶点处三个角的和为平角180°，
∴∠1 + ∠3 + 90° = 180°。
将∠3 = 180° - ∠2代入上式可得：
∠1 + (180° - ∠2) + 90° = 180°，
移项整理得：∠2 - ∠1 = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
平行线的性质，角的和差运算，直角的性质
【点评】
本题属于基础的角度运算题，将长方形、直角三角形的性质和平行线的性质结合考查，解题的关键是找到∠1和∠2之间的中间关联角，利用特殊角的度数建立等式推导，解题时要熟练运用平行线的性质和角的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用长方形对边平行的性质，找到与∠2互补的角，再结合直角顶点处三个角的和为平角180°，其中一个角是直角90°，将∠1和∠2代入到角度和的等式中，化简即可得到∠2与∠1的差值。思考时要先回忆平行线的性质和特殊角的度数，找到两个角的关联桥梁。
【解析】
解：设与∠2为同旁内角的角为∠3，
∵长方形的对边互相平行，
∴∠2 + ∠3 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠3 = 180° - ∠2。
∵直角三角形的直角为90°，且直角顶点处三个角的和为平角180°，
∴∠1 + ∠3 + 90° = 180°。
将∠3 = 180° - ∠2代入上式可得：
∠1 + (180° - ∠2) + 90° = 180°，
移项整理得：∠2 - ∠1 = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
平行线的性质，角的和差运算，直角的性质
【点评】
本题属于基础的角度运算题，将长方形、直角三角形的性质和平行线的性质结合考查，解题的关键是找到∠1和∠2之间的中间关联角，利用特殊角的度数建立等式推导，解题时要熟练运用平行线的性质和角的和差关系。
【难度系数】
0.7
15.如图5,一个零件ABCD需要AB边与CD边平行.现只有一个量角器,测得拐角∠ABC=120°,∠BCD=60°,这个零件
合格
.(填“合格”或“不合格”)答案
15.合格
解析
【分析】
要判断零件是否合格，本质是判断AB边与CD边是否平行。已知∠ABC和∠BCD的度数，这两个角是直线AB、CD被直线BC所截形成的同旁内角，根据平行线的判定规则：同旁内角互补，两直线平行，我们只需要计算两个角的和是否为180°，即可判定AB和CD是否平行，进而得到零件是否合格的结论。
【解析】
已知∠ABC=120°，∠BCD=60°，
则∠ABC + ∠BCD = 120° + 60° = 180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出AB//CD，满足零件AB边与CD边平行的要求。
【答案】
合格
【知识点】
平行线的判定、同旁内角
【点评】
本题是平行线判定的实际应用类题目，解题核心是准确识别角的位置关系，结合简单的角度计算即可得到结论，贴合生活应用场景。
【难度系数】
0.9
要判断零件是否合格，本质是判断AB边与CD边是否平行。已知∠ABC和∠BCD的度数，这两个角是直线AB、CD被直线BC所截形成的同旁内角，根据平行线的判定规则：同旁内角互补，两直线平行，我们只需要计算两个角的和是否为180°，即可判定AB和CD是否平行，进而得到零件是否合格的结论。
【解析】
已知∠ABC=120°，∠BCD=60°，
则∠ABC + ∠BCD = 120° + 60° = 180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出AB//CD，满足零件AB边与CD边平行的要求。
【答案】
合格
【知识点】
平行线的判定、同旁内角
【点评】
本题是平行线判定的实际应用类题目，解题核心是准确识别角的位置关系，结合简单的角度计算即可得到结论，贴合生活应用场景。
【难度系数】
0.9
16.如图6,经过平移,四边形ABCD的顶点A移到点$A'$,作出平移后的四边形. 
答案
解：作法：
1. 分别过点B、C、D作线段BB'、CC'、DD'，使BB'//AA'，CC'//AA'，DD'//AA'，且满足BB'=AA'，CC'=AA'，DD'=AA'；
2. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，得到的四边形A'B'C'D'即为平移后的四边形。
1. 分别过点B、C、D作线段BB'、CC'、DD'，使BB'//AA'，CC'//AA'，DD'//AA'，且满足BB'=AA'，CC'=AA'，DD'=AA'；
2. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，得到的四边形A'B'C'D'即为平移后的四边形。
解析
【分析】
解决平移作图问题首先要依据平移的性质：图形平移后，对应点的连线互相平行且相等。本题已知点A的对应点为A'，因此可确定平移的方向是射线AA'的方向，平移距离是线段AA'的长度。接下来只需按照该方向和距离，依次找到B、C、D的对应点B'、C'、D'，再顺次连接各对应点即可得到平移后的图形。
【解析】
1. 分别过点B、C、D作线段BB'、CC'、DD'，使BB'//AA'，CC'//AA'，DD'//AA'，且满足BB'=AA'，CC'=AA'，DD'=AA'；
2. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，得到的四边形A'B'C'D'即为平移后的四边形。
【答案】
1. 分别过点B、C、D作线段BB'、CC'、DD'，使BB'//AA'，CC'//AA'，DD'//AA'，且满足BB'=AA'，CC'=AA'，DD'=AA'；
2. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，得到的四边形A'B'C'D'即为平移后的四边形。
【知识点】
平移的性质、平移作图
【点评】
本题属于平移作图的基础题型，解题核心是利用平移前后对应点连线平行且相等的性质确定各顶点的对应点，是平移性质的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解决平移作图问题首先要依据平移的性质：图形平移后，对应点的连线互相平行且相等。本题已知点A的对应点为A'，因此可确定平移的方向是射线AA'的方向，平移距离是线段AA'的长度。接下来只需按照该方向和距离，依次找到B、C、D的对应点B'、C'、D'，再顺次连接各对应点即可得到平移后的图形。
【解析】
1. 分别过点B、C、D作线段BB'、CC'、DD'，使BB'//AA'，CC'//AA'，DD'//AA'，且满足BB'=AA'，CC'=AA'，DD'=AA'；
2. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，得到的四边形A'B'C'D'即为平移后的四边形。
【答案】
1. 分别过点B、C、D作线段BB'、CC'、DD'，使BB'//AA'，CC'//AA'，DD'//AA'，且满足BB'=AA'，CC'=AA'，DD'=AA'；
2. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，得到的四边形A'B'C'D'即为平移后的四边形。
【知识点】
平移的性质、平移作图
【点评】
本题属于平移作图的基础题型，解题核心是利用平移前后对应点连线平行且相等的性质确定各顶点的对应点，是平移性质的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
17.如图7，l表示一条弯曲的小河，m表示一条笔直的公路，点A，B表示两个村庄.
(1)在小河哪处架桥可以使A村和B村之间的路程最短？作出图形，并将桥的位置记为点P；
(2)为了方便A村村民出行，现计划在公路边新建一个公交站点，使得A村到该公交站点的距离最短，作出图形，并将公交站点的位置记为点Q.
(1)在小河哪处架桥可以使A村和B村之间的路程最短？作出图形，并将桥的位置记为点P；
(2)为了方便A村村民出行，现计划在公路边新建一个公交站点，使得A村到该公交站点的距离最短，作出图形，并将公交站点的位置记为点Q.
答案
解：
(1) 根据“两点之间，线段最短”，连接点A和点B，线段AB与小河l的交点即为所求点P，点P就是使A、B两村之间路程最短的架桥位置。
(2) 根据“垂线段最短”，过点A作直线m的垂线，垂足即为所求点Q，点Q就是使A村到站点距离最短的公交站点位置。
（按上述描述画出对应连线、垂线，标注点P、Q即可完成作图）
(1) 根据“两点之间，线段最短”，连接点A和点B，线段AB与小河l的交点即为所求点P，点P就是使A、B两村之间路程最短的架桥位置。
(2) 根据“垂线段最短”，过点A作直线m的垂线，垂足即为所求点Q，点Q就是使A村到站点距离最短的公交站点位置。
（按上述描述画出对应连线、垂线，标注点P、Q即可完成作图）
解析
【分析】
（1）要使A村和B村之间的路程最短，需用到“两点之间，线段最短”的原理，因此只要连接A、B两点，线段与小河的交点就是最合适的架桥位置，此时两村的路程就是线段AB的长度，是最短的。
（2）要使A村到公路边公交站点的距离最短，需用到“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”的性质，因此只要过A点向公路m作垂线，垂足就是公交站点的位置，此时A到站点的距离最短。
【解析】
（1）①用直尺连接点A和点B，得到线段AB；
②找到线段AB与小河l的交点，将该交点标记为P，点P即为所求的架桥位置。
（2）①将三角板的一条直角边与公路m重合，沿公路m平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点A；
②沿着经过点A的直角边画直线，该直线与公路m的交点标记为Q，点Q即为所求的公交站点位置。
【答案】
(1) 连接A、B，线段AB与小河l的交点即为架桥位置点P；
(2) 过点A作公路m的垂线，垂足即为公交站点位置点Q。（作图略）
【知识点】
两点之间线段最短；垂线段最短
【点评】
本题结合生活实际考查最短路径的基础应用，解题核心是准确将实际问题对应到已学的几何最短路径模型，掌握两个基本的最短路径结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）要使A村和B村之间的路程最短，需用到“两点之间，线段最短”的原理，因此只要连接A、B两点，线段与小河的交点就是最合适的架桥位置，此时两村的路程就是线段AB的长度，是最短的。
（2）要使A村到公路边公交站点的距离最短，需用到“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”的性质，因此只要过A点向公路m作垂线，垂足就是公交站点的位置，此时A到站点的距离最短。
【解析】
（1）①用直尺连接点A和点B，得到线段AB；
②找到线段AB与小河l的交点，将该交点标记为P，点P即为所求的架桥位置。
（2）①将三角板的一条直角边与公路m重合，沿公路m平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点A；
②沿着经过点A的直角边画直线，该直线与公路m的交点标记为Q，点Q即为所求的公交站点位置。
【答案】
(1) 连接A、B，线段AB与小河l的交点即为架桥位置点P；
(2) 过点A作公路m的垂线，垂足即为公交站点位置点Q。（作图略）
【知识点】
两点之间线段最短；垂线段最短
【点评】
本题结合生活实际考查最短路径的基础应用，解题核心是准确将实际问题对应到已学的几何最短路径模型，掌握两个基本的最短路径结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
18. 如图8，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB.(1)若$∠ EOC:∠ COA=7:3$，求$∠ BOD$的度数；(2)从点O出发在$∠ AOD$内部引射线OF，若$∠ AOC$与$∠ EOF$互补，则OD与OF有什么位置关系？并说明理由.
答案
18.(1)$∠BOD=27°$
(2)$OD⊥OF$,理由略.
(2)$OD⊥OF$,理由略.
解析
【分析】
(1) 首先由OE⊥AB可得∠EOA=90°，已知∠EOC与∠COA的比例关系，二者和为90°，可按比例求出∠COA的度数，再根据对顶角相等的性质，即可求出和∠COA为对顶角的∠BOD的度数。
(2) 判断OD与OF的位置关系只需验证∠DOF是否为90°即可。先根据互补的定义得到∠AOC与∠EOF的和为180°，结合OE⊥AB得到的∠EOA=90°，推导得出∠AOC与∠AOF的和为90°，再结合平角定义和对顶角相等的性质，即可求出∠DOF=90°，得到OD与OF的位置关系。
【解析】
(1) 解：
∵ $OE⊥ AB$，
∴ $∠ EOA=90°$，即$∠ EOC+∠ COA=90°$。
∵ $∠ EOC:∠ COA=7:3$，设$∠ EOC=7x$，$∠ COA=3x$，
则$7x+3x=90°$，解得$x=9°$，
∴ $∠ COA=3×9°=27°$。
∵ 直线AB、CD交于点O，$∠ BOD$与$∠ COA$是对顶角，
∴ $∠ BOD=∠ COA=27°$。
(2) $OD⊥ OF$，理由如下：
∵ $∠ AOC$与$∠ EOF$互补，
∴ $∠ AOC+∠ EOF=180°$。
∵ $OE⊥ AB$，
∴ $∠ EOA=90°$，且$∠ EOF=∠ EOA+∠ AOF=90°+∠ AOF$，
代入得：$∠ AOC+90°+∠ AOF=180°$，
∴ $∠ AOC+∠ AOF=90°$。
∵ $∠ BOD=∠ AOC$（对顶角相等），且$∠ BOD+∠ DOF+∠ AOF=180°$（平角的定义），
∴ $∠ AOC+∠ AOF+∠ DOF=180°$，
将$∠ AOC+∠ AOF=90°$代入得：$90°+∠ DOF=180°$，
∴ $∠ DOF=90°$，即$OD⊥ OF$。
【答案】
(1) $\boxed{27°}$；(2) $\boxed{OD⊥ OF}$
【知识点】
对顶角相等；垂直的定义；补角的性质
【点评】
本题属于相交线的基础综合题，解题关键是准确识别图形中角的位置关系，结合垂直、对顶角、补角的性质推导角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先由OE⊥AB可得∠EOA=90°，已知∠EOC与∠COA的比例关系，二者和为90°，可按比例求出∠COA的度数，再根据对顶角相等的性质，即可求出和∠COA为对顶角的∠BOD的度数。
(2) 判断OD与OF的位置关系只需验证∠DOF是否为90°即可。先根据互补的定义得到∠AOC与∠EOF的和为180°，结合OE⊥AB得到的∠EOA=90°，推导得出∠AOC与∠AOF的和为90°，再结合平角定义和对顶角相等的性质，即可求出∠DOF=90°，得到OD与OF的位置关系。
【解析】
(1) 解：
∵ $OE⊥ AB$，
∴ $∠ EOA=90°$，即$∠ EOC+∠ COA=90°$。
∵ $∠ EOC:∠ COA=7:3$，设$∠ EOC=7x$，$∠ COA=3x$，
则$7x+3x=90°$，解得$x=9°$，
∴ $∠ COA=3×9°=27°$。
∵ 直线AB、CD交于点O，$∠ BOD$与$∠ COA$是对顶角，
∴ $∠ BOD=∠ COA=27°$。
(2) $OD⊥ OF$，理由如下：
∵ $∠ AOC$与$∠ EOF$互补，
∴ $∠ AOC+∠ EOF=180°$。
∵ $OE⊥ AB$，
∴ $∠ EOA=90°$，且$∠ EOF=∠ EOA+∠ AOF=90°+∠ AOF$，
代入得：$∠ AOC+90°+∠ AOF=180°$，
∴ $∠ AOC+∠ AOF=90°$。
∵ $∠ BOD=∠ AOC$（对顶角相等），且$∠ BOD+∠ DOF+∠ AOF=180°$（平角的定义），
∴ $∠ AOC+∠ AOF+∠ DOF=180°$，
将$∠ AOC+∠ AOF=90°$代入得：$90°+∠ DOF=180°$，
∴ $∠ DOF=90°$，即$OD⊥ OF$。
【答案】
(1) $\boxed{27°}$；(2) $\boxed{OD⊥ OF}$
【知识点】
对顶角相等；垂直的定义；补角的性质
【点评】
本题属于相交线的基础综合题，解题关键是准确识别图形中角的位置关系，结合垂直、对顶角、补角的性质推导角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
