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2. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AB=CD,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连结DB,DB平分∠ABC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作DC的垂线,分别交AB,AE于点F,G,若AG=3,AD=4,求四边形ABCD的面积.
(1)求证:四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作DC的垂线,分别交AB,AE于点F,G,若AG=3,AD=4,求四边形ABCD的面积.
答案
(1)证明:
∵ AB//CD,AB=CD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形,∠ABD=∠CDB.
∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠ABD=∠CBD.
∴ ∠CDB=∠CBD.
∴ CD=CB.
∴ 平行四边形ABCD是菱形.
(2)由(1)可知,四边形ABCD是菱形,
∴ AB=AD=4,AD//BC.
∵ AE⊥BC,
∴ AE⊥AD.
∴ ∠DAG=90°.
∴ DG=$\sqrt{AG^2+AD^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5.
∵ AB//CD,DG⊥DC,
∴ DG⊥AB.
∴ $S_{△ ADG}=\frac{1}{2}DG· AF=\frac{1}{2}AD· AG$.
∴ $AF=\frac{AD· AG}{DG}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$.
∴ $DF=\sqrt{AD^2-AF^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$.
∴ $S_{菱形ABCD}=AB· DF=4×\frac{16}{5}=\frac{64}{5}$.
∵ AB//CD,AB=CD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形,∠ABD=∠CDB.
∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠ABD=∠CBD.
∴ ∠CDB=∠CBD.
∴ CD=CB.
∴ 平行四边形ABCD是菱形.
(2)由(1)可知,四边形ABCD是菱形,
∴ AB=AD=4,AD//BC.
∵ AE⊥BC,
∴ AE⊥AD.
∴ ∠DAG=90°.
∴ DG=$\sqrt{AG^2+AD^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5.
∵ AB//CD,DG⊥DC,
∴ DG⊥AB.
∴ $S_{△ ADG}=\frac{1}{2}DG· AF=\frac{1}{2}AD· AG$.
∴ $AF=\frac{AD· AG}{DG}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$.
∴ $DF=\sqrt{AD^2-AF^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$.
∴ $S_{菱形ABCD}=AB· DF=4×\frac{16}{5}=\frac{64}{5}$.
3.“学以致用,知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识,更重要的是将所学知识应用到实际生活中,从而实现知行合一的境界.生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度,为了测量出这些距离和角度,项目学习小组进行了如下探究:
(1)项目一中,利用了全等三角形的性质.通过证明△AOB≌△DOC,就可以得到AB=CD=9 cm.判定△AOB≌△DOC的方法是
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
(2)项目二中,如图3是简化的测量方案示意图,其中,MC//OA,MD//OB,请你证明:∠CMD=∠O.
(1)项目一中,利用了全等三角形的性质.通过证明△AOB≌△DOC,就可以得到AB=CD=9 cm.判定△AOB≌△DOC的方法是
A
(填字母序号);A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
(2)项目二中,如图3是简化的测量方案示意图,其中,MC//OA,MD//OB,请你证明:∠CMD=∠O.
答案
(1)A
(2)证明:
∵ MC//OA,
∴ ∠O=∠OBM.
∵ MD//OB,
∴ ∠CMD=∠OBM.
∴ ∠CMD=∠O.
(2)证明:
∵ MC//OA,
∴ ∠O=∠OBM.
∵ MD//OB,
∴ ∠CMD=∠OBM.
∴ ∠CMD=∠O.
