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1.下列选项中,正比例函数$y=-3x$的大致图象是（
C
）答案
1.C 正比例函数$y=-3x$的图象是经过原点的一条直线,当x=1时,y=-3,即该直线经过点$(1,-3)$.故选C.
2.「2026江苏南通启秀中学月考」若正比例函数的图象经过点$(-5,6)$，则这个图象必经过点（
A.$(5,-6)$
B.$(-6,5)$
C.$(5,6)$
D.$(-5,-6)$
A
）A.$(5,-6)$
B.$(-6,5)$
C.$(5,6)$
D.$(-5,-6)$
答案
2.A 设该正比例函数的表达式为$y=kx(k≠0)$,把$(-5,6)$代入$y=kx$,得$-5k=6$,解得$k=-\frac{6}{5}$,
$\therefore y=-\frac{6}{5}x$,将选项中点的坐标分别代入,当x=5,y=-6时,等式成立.故选A.
$\therefore y=-\frac{6}{5}x$,将选项中点的坐标分别代入,当x=5,y=-6时,等式成立.故选A.
3.「2026江苏南通海安期末」正比例函数$y=kx$的图象经过点$(1,-2)$，则$k$的值是
-2
。答案
3.答案 -2
解析 将$x=1,y=-2$代入函数表达式$y=kx$,得$-2=k$,即$k=-2$.
解析 将$x=1,y=-2$代入函数表达式$y=kx$,得$-2=k$,即$k=-2$.
4.正比例函数$y=-x$的图象平分第
二、四
象限。答案
4.答案 二、四
解析 设点$P(a,b)$为$y=-x$图象上任意一点,则$b=-a$,即$P(a,-a)$,则点$P$到$x$轴的距离与到$y$轴的距离相等,$\therefore$点$P$在象限角平分线上.当$a＞0$时,$-a＜0$,点$P$在第四象限;当$a=0$时,$-a=0$,点$P$为原点;当$a＜0$时,$-a＞0$,点$P$在第二象限.综上所述,$y=-x$图象上任意一点都在第二、四象限角平分线上,$\therefore$直线$y=-x$为第二、四象限角平分线.
解析 设点$P(a,b)$为$y=-x$图象上任意一点,则$b=-a$,即$P(a,-a)$,则点$P$到$x$轴的距离与到$y$轴的距离相等,$\therefore$点$P$在象限角平分线上.当$a＞0$时,$-a＜0$,点$P$在第四象限;当$a=0$时,$-a=0$,点$P$为原点;当$a＜0$时,$-a＞0$,点$P$在第二象限.综上所述,$y=-x$图象上任意一点都在第二、四象限角平分线上,$\therefore$直线$y=-x$为第二、四象限角平分线.
5. 学科特色教材变式 在同一平面直角坐标系中,画出函数$y=\frac{1}{5}x,y=x,y=5x$的图象,然后比较哪一个与x轴正方向所成的锐角最小,由此你得到什么猜想？
答案
5.解析 列表、描点、连线如下:
| $x$ | $\dots$ | $0$ | $1$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{1}{5}x$ | $\dots$ | $0$ | $\frac{1}{5}$ | $\dots$ |
| $y=x$ | $\dots$ | $0$ | $1$ | $\dots$ |
| $y=5x$ | $\dots$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
由三个函数的图象可知函数$y=5x$的图象与$x$轴正方向所成的锐角最大,由此可知正比例函数$y=kx(k＞0)$中,$k$越大,图象与$x$轴正方向所成的锐角越大.
技巧归纳 直线$y=x$为第一、三象限角平分线,直线$y=-x$为第二、四象限角平分线,即两条直线和$x$轴所成锐角均为$45°$.
知识拓展 $|k|$的大小决定直线$y=kx$的倾斜程度:$|k|$越大,直线与$x$轴所夹锐角越大,直线越陡;$|k|$越小,直线与$x$轴所夹锐角越小,直线越缓.
6.「2026福建厦门三中月考，★☆」如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,-3)$,$△ OAB$沿直线$y=-\dfrac{3}{4}x$平移后得到$△ O'A'B'$,点A的对应点$A'$落在$x$轴上,则点B与其对应点$B'$间的距离为（
A.$\dfrac{9}{4}$
B.3
C.4
D.5
D
）A.$\dfrac{9}{4}$
B.3
C.4
D.5
答案
6.D 连接$AA',BB'$(图略),由平移得$O'A'// OA,O'A'=OA=3,BB'=AA'=OO'$,$\because$点$A'$在$x$轴上,$\therefore$点$O'$的纵坐标为3,$\because$点$O'$在直线$y=-\frac{3}{4}x$上,$\therefore$令$y=-\frac{3}{4}x=3$,解得$x=-4$,$\therefore O'(-4,3)$,$\therefore A'O=4,O'A'=3$,$\therefore OO'=\sqrt{A'O^2+O'A'^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$,$\therefore BB'=5$.故选D.
7.「★☆」如图,已知四边形ABCD是正方形,点B,C分别在两条直线y=2x和y=kx上,A,D是x轴上两点.
(1)若此正方形的边长为2,则k=
(2)若此正方形的边长为a,k的值是否会发生变化?若不会发生变化,说明理由;若会发生变化,试用含a的代数式表示k.
(1)若此正方形的边长为2,则k=
$\frac{2}{3}$
.(2)若此正方形的边长为a,k的值是否会发生变化?若不会发生变化,说明理由;若会发生变化,试用含a的代数式表示k.
答案
7.解析 (1)$\frac{2}{3}$.
详解:$\because$正方形的边长为2,$\therefore AB=AD=2$,
在直线$y=2x$中,当$y=2$时,$x=1$,
$\therefore OA=1$,$\therefore OD=OA+AD=1+2=3$,$\therefore C(3,2)$,
将$(3,2)$代入$y=kx$,得$2=3k$,$\therefore k=\frac{2}{3}$.
(2)$k$的值不会发生变化.
理由:$\because$正方形的边长为$a$,$\therefore AB=AD=a$,
在直线$y=2x$中,当$y=a$时,$x=\frac{a}{2}$,
$\therefore OA=\frac{a}{2}$,$\therefore OD=OA+AD=\frac{a}{2}+a=\frac{3}{2}a$,$\therefore C(\frac{3}{2}a,a)$,
将$(\frac{3}{2}a,a)$代入$y=kx$,得$a=k×\frac{3}{2}a$,$\therefore k=\frac{2}{3}$,即$k$的值不发生变化.
详解:$\because$正方形的边长为2,$\therefore AB=AD=2$,
在直线$y=2x$中,当$y=2$时,$x=1$,
$\therefore OA=1$,$\therefore OD=OA+AD=1+2=3$,$\therefore C(3,2)$,
将$(3,2)$代入$y=kx$,得$2=3k$,$\therefore k=\frac{2}{3}$.
(2)$k$的值不会发生变化.
理由:$\because$正方形的边长为$a$,$\therefore AB=AD=a$,
在直线$y=2x$中,当$y=a$时,$x=\frac{a}{2}$,
$\therefore OA=\frac{a}{2}$,$\therefore OD=OA+AD=\frac{a}{2}+a=\frac{3}{2}a$,$\therefore C(\frac{3}{2}a,a)$,
将$(\frac{3}{2}a,a)$代入$y=kx$,得$a=k×\frac{3}{2}a$,$\therefore k=\frac{2}{3}$,即$k$的值不发生变化.
