登录
14. 陕西有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候,是特色茶叶产区,汉中仙毫、柴阳富硒茶等均产自陕西. 某商场计划购进 A,B 两种茶叶,已知 A 种茶叶每盒的进价比 B 种茶叶每盒的进价少 20 元. 若购进 A 种茶叶 6 盒,B 种茶叶 5 盒,则共需要 1 200 元.
(1)A,B 两种茶叶每盒的进价分别是多少元?
(2)该商场采购了 A,B 两种茶叶共 500 盒. 若 A 种茶叶的标价是进价的 2 倍,每盒 B 种茶叶按标价出售可获得利润 180 元.“五一”期间,商场对这两种茶叶进行优惠促销活动:A 种茶叶每盒降价 40 元,B 种茶叶打八折出售. 将这 500 盒茶叶卖完后,总利润不低于 40 000 元,求至少需要采购 B 种茶叶多少盒?
(1)A,B 两种茶叶每盒的进价分别是多少元?
(2)该商场采购了 A,B 两种茶叶共 500 盒. 若 A 种茶叶的标价是进价的 2 倍,每盒 B 种茶叶按标价出售可获得利润 180 元.“五一”期间,商场对这两种茶叶进行优惠促销活动:A 种茶叶每盒降价 40 元,B 种茶叶打八折出售. 将这 500 盒茶叶卖完后,总利润不低于 40 000 元,求至少需要采购 B 种茶叶多少盒?
答案
(1)设A种茶叶每盒的进价为x元,B种茶叶每盒的进价为y元,由题意,得$\begin{cases} y-x=20,\\ 6x+5y=1\ 200, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=100,\\ y=120. \end{cases}$ 答:A种茶叶每盒的进价为100元,B种茶叶每盒的进价为120元.
(2)设采购B种茶叶m盒,则购进A种茶叶$(500-m)$盒,根据题意,得$(2×100-100-40)(500-m)+[(120+180)×0.8-120]m≥40\ 000$,解得$m≥\dfrac{500}{3}$. $\because m$为整数,$\therefore m$的最小值为167.答:至少需要采购B种茶叶167盒.
(2)设采购B种茶叶m盒,则购进A种茶叶$(500-m)$盒,根据题意,得$(2×100-100-40)(500-m)+[(120+180)×0.8-120]m≥40\ 000$,解得$m≥\dfrac{500}{3}$. $\because m$为整数,$\therefore m$的最小值为167.答:至少需要采购B种茶叶167盒.
解析
【分析】
（1）求解A、B两种茶叶的进价，存在两个未知量，可根据题干给出的两个等量关系列二元一次方程组求解：①B种茶叶每盒进价比A种多20元；②购进6盒A种茶叶、5盒B种茶叶共花费1200元。
（2）求解至少采购B种茶叶的数量，属于最值类实际问题，需根据“总利润不低于40000元”的不等关系列一元一次不等式求解。首先先分别计算促销后A、B两种茶叶每盒的实际利润，再设采购B种茶叶m盒，用含m的式子表示A种茶叶的数量，结合总利润的计算方法列不等式，最后结合m为正整数的实际要求取最小值即可。
【解析】
(1)设A种茶叶每盒的进价为x元，B种茶叶每盒的进价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} y-x=20\\ 6x+5y=1200 \end{cases}$
将$y=x+20$代入第二个方程得：
$6x+5(x+20)=1200$
$11x=1100$
解得$x=100$，则$y=100+20=120$。
(2)设采购B种茶叶m盒，则购进A种茶叶$(500-m)$盒。
促销后A种茶叶单盒利润：$2×100-40-100=60$元
促销后B种茶叶单盒利润：$(120+180)×0.8-120=120$元
根据总利润要求列不等式：
$60(500-m)+120m≥40000$
化简得$60m≥10000$，解得$m≥\dfrac{500}{3}\approx166.67$
∵m为茶叶盒数，是正整数，
∴m的最小值为167。
【答案】
(1)A种茶叶每盒进价为100元，B种茶叶每盒进价为120元；
(2)至少需要采购B种茶叶167盒。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查方程与不等式的综合应用，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系列式计算，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，比如本题中茶叶盒数为正整数，最终结果要取符合范围的最小整数。
【难度系数】
0.7
（1）求解A、B两种茶叶的进价，存在两个未知量，可根据题干给出的两个等量关系列二元一次方程组求解：①B种茶叶每盒进价比A种多20元；②购进6盒A种茶叶、5盒B种茶叶共花费1200元。
（2）求解至少采购B种茶叶的数量，属于最值类实际问题，需根据“总利润不低于40000元”的不等关系列一元一次不等式求解。首先先分别计算促销后A、B两种茶叶每盒的实际利润，再设采购B种茶叶m盒，用含m的式子表示A种茶叶的数量，结合总利润的计算方法列不等式，最后结合m为正整数的实际要求取最小值即可。
【解析】
(1)设A种茶叶每盒的进价为x元，B种茶叶每盒的进价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} y-x=20\\ 6x+5y=1200 \end{cases}$
将$y=x+20$代入第二个方程得：
$6x+5(x+20)=1200$
$11x=1100$
解得$x=100$，则$y=100+20=120$。
(2)设采购B种茶叶m盒，则购进A种茶叶$(500-m)$盒。
促销后A种茶叶单盒利润：$2×100-40-100=60$元
促销后B种茶叶单盒利润：$(120+180)×0.8-120=120$元
根据总利润要求列不等式：
$60(500-m)+120m≥40000$
化简得$60m≥10000$，解得$m≥\dfrac{500}{3}\approx166.67$
∵m为茶叶盒数，是正整数，
∴m的最小值为167。
【答案】
(1)A种茶叶每盒进价为100元，B种茶叶每盒进价为120元；
(2)至少需要采购B种茶叶167盒。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查方程与不等式的综合应用，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系列式计算，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，比如本题中茶叶盒数为正整数，最终结果要取符合范围的最小整数。
【难度系数】
0.7
15. 互联网时代,外卖行业得到了迅速发展. 某知名外卖平台招聘外卖骑手,并提供了如下两种日工资方案:
方案一:每日底薪50元,每完成一单外卖业务再提成3元;
方案二:每日底薪80元,外卖业务的前30单没有提成,超过30单的部分,每完成一单提成5元.
设骑手每日完成的外卖业务量为$x$单($x$为正整数且$x＞30$),方案一、方案二中骑手的日工资分别为$y_1,y_2$(单位:元).
(1)分别写出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式;
(2)若小强是该外卖平台的一名骑手,从日工资收入的角度考虑,他应该选择哪种日工资方案?并说明理由.
方案一:每日底薪50元,每完成一单外卖业务再提成3元;
方案二:每日底薪80元,外卖业务的前30单没有提成,超过30单的部分,每完成一单提成5元.
设骑手每日完成的外卖业务量为$x$单($x$为正整数且$x＞30$),方案一、方案二中骑手的日工资分别为$y_1,y_2$(单位:元).
(1)分别写出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式;
(2)若小强是该外卖平台的一名骑手,从日工资收入的角度考虑,他应该选择哪种日工资方案?并说明理由.
答案
(1)由题意,得$y_1=50+3x$. $y_2=80+5(x-30)=5x-70$.
(2)当$y_1=y_2$时,即$50+3x=5x-70$,解得$x=60$,当$x=60$时,两种方案日工资相同;当$y_1＞y_2$时,即$50+3x＞5x-70$,解得$x＜60$,又$\because x$为正整数且$x＞30$,$\therefore$ 当$30＜x＜60$时,选择方案一;当$y_1＜y_2$时,即$50+3x＜5x-70$,解得$x＞60$,当$x＞60$时,选择方案二.
(2)当$y_1=y_2$时,即$50+3x=5x-70$,解得$x=60$,当$x=60$时,两种方案日工资相同;当$y_1＞y_2$时,即$50+3x＞5x-70$,解得$x＜60$,又$\because x$为正整数且$x＞30$,$\therefore$ 当$30＜x＜60$时,选择方案一;当$y_1＜y_2$时,即$50+3x＜5x-70$,解得$x＞60$,当$x＞60$时,选择方案二.
解析
【分析】
（1）求两个日工资的函数表达式，只需根据两种方案的工资计算规则提取等量关系即可：方案一日工资由固定底薪加每单提成乘以完成单量构成，直接代入对应数值列出表达式；方案二因题目限定$x＞30$，超过30单的部分才有提成，因此提成部分需按$(x-30)$单计算，再加上底薪后化简即可得到$y_2$的表达式。
（2）要选择更合适的工资方案，本质是比较两个一次函数值的大小，分三种情况讨论：$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$、$y_1＜y_2$，分别列方程或不等式求解，再结合$x＞30$且为正整数的取值范围，就能得到不同完成单量对应的最优方案。
【解析】
(1) 由题意可知，方案一的日工资为底薪加全部订单的提成，因此：
$y_1=50+3x$
方案二因$x＞30$，仅超过30单的部分有提成，因此：
$y_2=80+5(x-30)=5x-70$
(2) 分三种情况讨论日工资的大小关系：
① 当$y_1=y_2$时，两种方案日工资相同，列方程得：
$50+3x=5x-70$
解得$x=60$，即当日完成单量为60时，两种方案收入一致。
② 当$y_1＞y_2$时，方案一收入更高，列不等式得：
$50+3x＞5x-70$
解得$x＜60$，结合题设$x$为正整数且$x＞30$，因此当$30＜x＜60$时，选择方案一。
③ 当$y_1＜y_2$时，方案二收入更高，列不等式得：
$50+3x＜5x-70$
解得$x＞60$，因此当$x＞60$时，选择方案二。
【答案】
(1) $y_1=3x+50$，$y_2=5x-70$（$x$为正整数且$x＞30$）；
(2) 当每日完成60单时，两种方案均可；当$30＜x＜60$时选择方案一；当$x＞60$时选择方案二。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用；分类讨论思想
【点评】
本题结合外卖行业工资计算的生活场景，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题时需注意自变量的取值限制，通过分类讨论函数值的大小关系得到对应方案，能够很好地锻炼学生的逻辑思维和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求两个日工资的函数表达式，只需根据两种方案的工资计算规则提取等量关系即可：方案一日工资由固定底薪加每单提成乘以完成单量构成，直接代入对应数值列出表达式；方案二因题目限定$x＞30$，超过30单的部分才有提成，因此提成部分需按$(x-30)$单计算，再加上底薪后化简即可得到$y_2$的表达式。
（2）要选择更合适的工资方案，本质是比较两个一次函数值的大小，分三种情况讨论：$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$、$y_1＜y_2$，分别列方程或不等式求解，再结合$x＞30$且为正整数的取值范围，就能得到不同完成单量对应的最优方案。
【解析】
(1) 由题意可知，方案一的日工资为底薪加全部订单的提成，因此：
$y_1=50+3x$
方案二因$x＞30$，仅超过30单的部分有提成，因此：
$y_2=80+5(x-30)=5x-70$
(2) 分三种情况讨论日工资的大小关系：
① 当$y_1=y_2$时，两种方案日工资相同，列方程得：
$50+3x=5x-70$
解得$x=60$，即当日完成单量为60时，两种方案收入一致。
② 当$y_1＞y_2$时，方案一收入更高，列不等式得：
$50+3x＞5x-70$
解得$x＜60$，结合题设$x$为正整数且$x＞30$，因此当$30＜x＜60$时，选择方案一。
③ 当$y_1＜y_2$时，方案二收入更高，列不等式得：
$50+3x＜5x-70$
解得$x＞60$，因此当$x＞60$时，选择方案二。
【答案】
(1) $y_1=3x+50$，$y_2=5x-70$（$x$为正整数且$x＞30$）；
(2) 当每日完成60单时，两种方案均可；当$30＜x＜60$时选择方案一；当$x＞60$时选择方案二。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用；分类讨论思想
【点评】
本题结合外卖行业工资计算的生活场景，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题时需注意自变量的取值限制，通过分类讨论函数值的大小关系得到对应方案，能够很好地锻炼学生的逻辑思维和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
