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10. 小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为$ m(m＞10) $，选择在甲窗口排队取餐。他观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐。
(1)2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队轮到他取餐所需时间为
(2)在(1)的条件下，若小明在乙窗口取到餐所需时间比不换队伍继续在甲窗口排队轮到他取餐所需时间少，不考虑其他因素，则$ m $的最小值为
(1)2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队轮到他取餐所需时间为
$\frac{m-4}{6}$
(用含$ m $的式子表示)；(2)在(1)的条件下，若小明在乙窗口取到餐所需时间比不换队伍继续在甲窗口排队轮到他取餐所需时间少，不考虑其他因素，则$ m $的最小值为
17
。答案
(1) $\frac{m-4}{6}$ (2) 17
解析
【分析】
(1) 先计算2分钟后乙窗口的剩余排队人数：用初始人数m减去2分钟内乙窗口服务的人数，再加上2分钟内乙窗口新增的排队人数，得到此时乙窗口的总排队人数，再除以乙窗口的取餐速度，就能得到小明在乙窗口的排队等待时间。
(2) 先计算小明继续留在甲窗口的剩余等待时间：用初始人数m减去2分钟内甲窗口服务的人数，再除以甲窗口的取餐速度，得到甲窗口的剩余等待时间；再根据“乙窗口等待时间小于甲窗口剩余等待时间”列一元一次不等式，求解不等式后取符合条件的最小正整数即可。
【解析】
(1) 2分钟内，乙窗口服务的人数为$6×2=12$人，新增排队人数为$4×2=8$人
则2分钟后乙窗口的排队总人数为：$m-12+8=m-4$
小明在乙窗口排队轮到他取餐的时间为总人数除以取餐速度，即$\frac{m-4}{6}$分钟。
(2) 若小明不换队伍，2分钟内甲窗口服务的人数为$4×2=8$人
此时甲窗口剩余排队人数为$m-8$，小明在甲窗口的剩余等待时间为$\frac{m-8}{4}$分钟
根据题意列不等式：
$\frac{m-4}{6}＜\frac{m-8}{4}$
两边同时乘12（正数，不等号方向不变）得：
$2(m-4)＜3(m-8)$
展开得：$2m-8＜3m-24$
移项合并同类项得：$m＞16$
因为$m$为正整数，所以$m$的最小值为17。
【答案】
(1) $\frac{m-4}{6}$；(2) $17$
【知识点】
列代数式；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中的排队场景，考查了代数式的列写和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出代数式和不等关系。
【难度系数】
0.7
(1) 先计算2分钟后乙窗口的剩余排队人数：用初始人数m减去2分钟内乙窗口服务的人数，再加上2分钟内乙窗口新增的排队人数，得到此时乙窗口的总排队人数，再除以乙窗口的取餐速度，就能得到小明在乙窗口的排队等待时间。
(2) 先计算小明继续留在甲窗口的剩余等待时间：用初始人数m减去2分钟内甲窗口服务的人数，再除以甲窗口的取餐速度，得到甲窗口的剩余等待时间；再根据“乙窗口等待时间小于甲窗口剩余等待时间”列一元一次不等式，求解不等式后取符合条件的最小正整数即可。
【解析】
(1) 2分钟内，乙窗口服务的人数为$6×2=12$人，新增排队人数为$4×2=8$人
则2分钟后乙窗口的排队总人数为：$m-12+8=m-4$
小明在乙窗口排队轮到他取餐的时间为总人数除以取餐速度，即$\frac{m-4}{6}$分钟。
(2) 若小明不换队伍，2分钟内甲窗口服务的人数为$4×2=8$人
此时甲窗口剩余排队人数为$m-8$，小明在甲窗口的剩余等待时间为$\frac{m-8}{4}$分钟
根据题意列不等式：
$\frac{m-4}{6}＜\frac{m-8}{4}$
两边同时乘12（正数，不等号方向不变）得：
$2(m-4)＜3(m-8)$
展开得：$2m-8＜3m-24$
移项合并同类项得：$m＞16$
因为$m$为正整数，所以$m$的最小值为17。
【答案】
(1) $\frac{m-4}{6}$；(2) $17$
【知识点】
列代数式；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中的排队场景，考查了代数式的列写和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出代数式和不等关系。
【难度系数】
0.7
11. 解下列一元一次不等式,并把解集表示在数轴上.
(1) $4x+1＞2(x-1)$；
(2) $\dfrac{2+x}{2}≤ \dfrac{1+2x}{3}+1$.
(1) $4x+1＞2(x-1)$；
(2) $\dfrac{2+x}{2}≤ \dfrac{1+2x}{3}+1$.
答案
(1) $x＞-\dfrac{3}{2}$,将解集表示在数轴上略.
(2) $x≥ -2$,将解集表示在数轴上略.
(2) $x≥ -2$,将解集表示在数轴上略.
解析
【分析】
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时需注意两个核心要点：①去分母时不要漏乘不含分母的常数项；②系数化为1时，若不等式两边同时乘或除以负数，不等号方向需要改变。本题两个小题按照上述步骤逐步求解即可，最后可按要求把解集表示在数轴上。
【解析】
(1) 解不等式$4x+1＞2(x-1)$
第一步：去括号，得 $4x+1＞2x-2$
第二步：移项，得 $4x-2x＞-2-1$
第三步：合并同类项，得 $2x＞-3$
第四步：系数化为1，得 $x＞-\dfrac{3}{2}$
解集在数轴上表示略。
(2) 解不等式$\dfrac{2+x}{2}≤ \dfrac{1+2x}{3}+1$
第一步：去分母，两边同时乘分母2和3的最小公倍数6，得 $3(2+x)≤2(1+2x)+6$
第二步：去括号，得 $6+3x≤2+4x+6$
第三步：移项，得 $3x-4x≤2+6-6$
第四步：合并同类项，得 $-x≤2$
第五步：系数化为1，两边同时乘-1，不等号方向改变，得 $x≥-2$
解集在数轴上表示略。
【答案】
(1) $x＞-\dfrac{3}{2}$，解集表示在数轴上略；
(2) $x≥ -2$，解集表示在数轴上略。
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质，不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式求解的基础题型，重点考查求解步骤的规范性，解题时容易出错的点是去分母漏乘常数项、系数化为1时忘记改变不等号方向，数轴表示解集时要注意区分空心点/实心点以及解集的延伸方向。
【难度系数】
0.85
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时需注意两个核心要点：①去分母时不要漏乘不含分母的常数项；②系数化为1时，若不等式两边同时乘或除以负数，不等号方向需要改变。本题两个小题按照上述步骤逐步求解即可，最后可按要求把解集表示在数轴上。
【解析】
(1) 解不等式$4x+1＞2(x-1)$
第一步：去括号，得 $4x+1＞2x-2$
第二步：移项，得 $4x-2x＞-2-1$
第三步：合并同类项，得 $2x＞-3$
第四步：系数化为1，得 $x＞-\dfrac{3}{2}$
解集在数轴上表示略。
(2) 解不等式$\dfrac{2+x}{2}≤ \dfrac{1+2x}{3}+1$
第一步：去分母，两边同时乘分母2和3的最小公倍数6，得 $3(2+x)≤2(1+2x)+6$
第二步：去括号，得 $6+3x≤2+4x+6$
第三步：移项，得 $3x-4x≤2+6-6$
第四步：合并同类项，得 $-x≤2$
第五步：系数化为1，两边同时乘-1，不等号方向改变，得 $x≥-2$
解集在数轴上表示略。
【答案】
(1) $x＞-\dfrac{3}{2}$，解集表示在数轴上略；
(2) $x≥ -2$，解集表示在数轴上略。
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质，不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式求解的基础题型，重点考查求解步骤的规范性，解题时容易出错的点是去分母漏乘常数项、系数化为1时忘记改变不等号方向，数轴表示解集时要注意区分空心点/实心点以及解集的延伸方向。
【难度系数】
0.85
12. 当$x$取何值时，代数式$\frac{2+x}{2}$的值满足下列要求？
(1)大于$\frac{2x-1}{3}$的值；
(2)不小于3.
(1)大于$\frac{2x-1}{3}$的值；
(2)不小于3.
答案
(1) $x＜8$. (2) $x≥ 4$.
解析
【分析】
本题需要先将文字描述的不等关系转化为对应的一元一次不等式，再按照解一元一次不等式的步骤求解即可。对于(1)，“大于”直接用“＞”连接两个代数式；对于(2)，“不小于”即大于等于，用“≥”连接代数式和3，解不等式时注意遵循去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，系数化为1时若两边同乘/除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 根据题意，可列不等式：
$\frac{2+x}{2}＞\frac{2x-1}{3}$
去分母，两边同时乘6（不等号方向不变），得：
$3(2+x)＞2(2x-1)$
去括号，得：
$6+3x＞4x-2$
移项，得：
$3x-4x＞-2-6$
合并同类项，得：
$-x＞-8$
系数化为1，两边同时除以-1（不等号方向改变），得：
$x＜8$
(2) 根据题意，“不小于3”即大于等于3，可列不等式：
$\frac{2+x}{2}≥3$
去分母，两边同时乘2（不等号方向不变），得：
$2+x≥6$
移项、合并同类项，得：
$x≥4$
【答案】
(1) $x＜8$；(2) $x≥4$
【知识点】
列一元一次不等式、解一元一次不等式、不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解不等关键词的含义，将文字关系转化为数学不等式，解题时要特别注意解不等式过程中系数化为1时，不等号方向的变化规则，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.8
本题需要先将文字描述的不等关系转化为对应的一元一次不等式，再按照解一元一次不等式的步骤求解即可。对于(1)，“大于”直接用“＞”连接两个代数式；对于(2)，“不小于”即大于等于，用“≥”连接代数式和3，解不等式时注意遵循去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，系数化为1时若两边同乘/除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 根据题意，可列不等式：
$\frac{2+x}{2}＞\frac{2x-1}{3}$
去分母，两边同时乘6（不等号方向不变），得：
$3(2+x)＞2(2x-1)$
去括号，得：
$6+3x＞4x-2$
移项，得：
$3x-4x＞-2-6$
合并同类项，得：
$-x＞-8$
系数化为1，两边同时除以-1（不等号方向改变），得：
$x＜8$
(2) 根据题意，“不小于3”即大于等于3，可列不等式：
$\frac{2+x}{2}≥3$
去分母，两边同时乘2（不等号方向不变），得：
$2+x≥6$
移项、合并同类项，得：
$x≥4$
【答案】
(1) $x＜8$；(2) $x≥4$
【知识点】
列一元一次不等式、解一元一次不等式、不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解不等关键词的含义，将文字关系转化为数学不等式，解题时要特别注意解不等式过程中系数化为1时，不等号方向的变化规则，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.8
13. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y - x = 2, ① \\ 3x - y = 4a ② \end{cases}$的解满足不等式$x + y ＜ 12$.
(1) 求实数$a$的取值范围；
(2) 当$a$为正整数时，求不等式$3x - ax ＞ 2a - 6$的负整数解.
(1) 求实数$a$的取值范围；
(2) 当$a$为正整数时，求不等式$3x - ax ＞ 2a - 6$的负整数解.
答案
(1) $a＜2$.
(2)不等式$3x-ax＞2a-6$的负整数解为$-1$.
(2)不等式$3x-ax＞2a-6$的负整数解为$-1$.
解析
【分析】
（1）求解a的取值范围时，可先通过加减消元法解二元一次方程组，用含a的代数式分别表示x、y，再将x、y代入不等式x+y＜12，得到关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到a的取值范围；（2）先结合a＜2且a为正整数的条件确定a的具体值，再将a代入所求不等式，解不等式得到x的取值范围，最后在取值范围内找出负整数解即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} y - x = 2 ① \\ 3x - y = 4a ② \end{cases}$：
将①+②，得：$2x = 2 + 4a$，解得$x = 2a + 1$。
把$x = 2a + 1$代入①式，得：$y - (2a + 1) = 2$，解得$y = 2a + 3$。
将$x=2a+1$、$y=2a+3$代入$x + y ＜ 12$，得：
$2a + 1 + 2a + 3 ＜ 12$
合并同类项，得$4a + 4 ＜ 12$
移项、系数化为1，得$a ＜ 2$。
(2) $\because a ＜ 2$且a为正整数，$\therefore a = 1$。
将$a=1$代入不等式$3x - ax ＞ 2a - 6$，得：
$3x - x ＞ 2×1 - 6$
化简得$2x ＞ -4$
系数化为1，得$x ＞ -2$。
大于$-2$的负整数只有$-1$，因此该不等式的负整数解为$-1$。
【答案】
(1) $a ＜ 2$；(2) 负整数解为$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，不等式的整数解
【点评】
本题是方程组与不等式的综合基础题，解题核心是先用参数表示方程组的解，再结合不等式条件求解参数范围，最后根据限制条件筛选符合要求的解，要求学生熟练掌握方程组和不等式的基本运算方法。
【难度系数】
0.7
（1）求解a的取值范围时，可先通过加减消元法解二元一次方程组，用含a的代数式分别表示x、y，再将x、y代入不等式x+y＜12，得到关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到a的取值范围；（2）先结合a＜2且a为正整数的条件确定a的具体值，再将a代入所求不等式，解不等式得到x的取值范围，最后在取值范围内找出负整数解即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} y - x = 2 ① \\ 3x - y = 4a ② \end{cases}$：
将①+②，得：$2x = 2 + 4a$，解得$x = 2a + 1$。
把$x = 2a + 1$代入①式，得：$y - (2a + 1) = 2$，解得$y = 2a + 3$。
将$x=2a+1$、$y=2a+3$代入$x + y ＜ 12$，得：
$2a + 1 + 2a + 3 ＜ 12$
合并同类项，得$4a + 4 ＜ 12$
移项、系数化为1，得$a ＜ 2$。
(2) $\because a ＜ 2$且a为正整数，$\therefore a = 1$。
将$a=1$代入不等式$3x - ax ＞ 2a - 6$，得：
$3x - x ＞ 2×1 - 6$
化简得$2x ＞ -4$
系数化为1，得$x ＞ -2$。
大于$-2$的负整数只有$-1$，因此该不等式的负整数解为$-1$。
【答案】
(1) $a ＜ 2$；(2) 负整数解为$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，不等式的整数解
【点评】
本题是方程组与不等式的综合基础题，解题核心是先用参数表示方程组的解，再结合不等式条件求解参数范围，最后根据限制条件筛选符合要求的解，要求学生熟练掌握方程组和不等式的基本运算方法。
【难度系数】
0.7
