3. 如图2,为了测量河两岸A,B两点的距离,在与AB垂直的方向上一点C处测得AC=10米,∠ACB=60°,求A,B两点的距离(结果保留根号).

$10\sqrt{3}$米

【分析】
首先由题意可知AB与AC垂直，因此△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。已知直角边AC的长度和锐角∠ACB的度数，要求另一条直角边AB的长度，我们可以选择正切函数建立边角关系：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，代入已知数值即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，$\tan∠ ACB=\frac{AB}{AC}$，
已知AC=10米，∠ACB=60°，且$\tan60°=\sqrt{3}$，
∴$AB=AC·\tan60°=10×\sqrt{3}=10\sqrt{3}$（米）。
【答案】
$10\sqrt{3}$米
【知识点】
解直角三角形，正切函数，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题的关键是先判断出三角形为直角三角形，再结合已知的边和角选择对应的三角函数建立关系求解，需熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8

4. 如图3，已知从A点经过B点到达C点，总行程为17千米，其中∠ABC=90°，tanA=$\frac{5}{12}$，那么由A点直接到C点的最短距离是多少千米？

13千米

【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠B=90°，已知A经B到C的总行程为AB+BC=17千米，且给出tanA的值。我们可以先利用正切的定义得到BC与AB的长度比，设参数表示两条直角边的长度，结合总行程求出参数的值，得到两条直角边的具体长度后，再用勾股定理求出斜边AC的长度，也就是A点到C点的最短距离。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，$\tan A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{12}$
∴可设$BC=5x$千米，$AB=12x$千米（$x＞0$）
由题意可知从A经B到C总行程为17千米，即$AB+BC=17$，代入得：
$12x+5x=17$
合并同类项得$17x=17$，解得$x=1$
∴$AB=12×1=12$千米，$BC=5×1=5$千米
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
$AC^2=AB^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$
∵$AC＞0$，
∴$AC=\sqrt{169}=13$千米
【答案】
13千米
【知识点】
正切的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用类题目，解题核心是结合锐角三角函数的定义用参数表示直角边长度，再结合已知条件求出边长，最后利用勾股定理计算斜边，掌握相关基础概念就能轻松求解。
【难度系数】
0.8