4. 如图，有一块直角三角形木板，已知$∠ C = 90°$，$BC = 3\ \mathrm{cm}$，$AC = 4\ \mathrm{cm}$. 根据需要，要把它加工成一个正方形木板，应怎样裁剪才能使正方形木板的面积最大？最大面积为多少？

4. 解：方案一，如图①，正方形CDEF的边CD，CF分别在CA，CB上，点E在AB上. 设正方形CDEF的边长为$x$ cm.
$\because∠ EFB=∠ C=90°$，$∠ B=∠ B$，
$\therefore△ EFB∽△ ACB$.
$\therefore\dfrac{EF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}$.
$\because BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore\dfrac{x}{4}=\dfrac{3-x}{3}$，
即 $3x=12-4x$.
解得 $x=\dfrac{12}{7}$.
此时，$S_{\mathrm{正方形}CDEF}=(\dfrac{12}{7})^2=\dfrac{144}{49}(\mathrm{cm}^2)$.
方案二，如图②，正方形DEFG的边EF在AB上，点D，G分别在AC和BC上.
作$CH⊥ AB$，交DG于点M. 设正方形DEFG的边长为$x$ cm.
$\because DG// AB$，
$\therefore∠ CDG=∠ A$，$∠ CGD=∠ B$，$CM⊥ DG$，
$\therefore△ CDG∽△ CAB$.
$\therefore\dfrac{DG}{AB}=\dfrac{CM}{CH}$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=5(\mathrm{cm})$.
又$\because\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CH$，
$\therefore AC· BC=AB· CH$.
$\therefore4×3=5· CH$.
$\therefore CH=\dfrac{12}{5}(\mathrm{cm})$.
$\therefore CM=CH-MH=\dfrac{12}{5}-x(\mathrm{cm})$.
$\therefore\dfrac{x}{5}=\dfrac{\dfrac{12}{5}-x}{\dfrac{12}{5}}$.
解得 $x=\dfrac{60}{37}$.
此时，$S_{\mathrm{正方形}DEFG}=(\dfrac{60}{37})^2=\dfrac{3\ 600}{1\ 369}(\mathrm{cm}^2)$.
$\because\dfrac{144}{49}＞\dfrac{3\ 600}{1\ 369}$，
$\therefore$方案一裁剪出的正方形木板的面积最大，最大面积为$\dfrac{144}{49}\ \mathrm{cm}^2$.

5. 小明和其他几名同学做手影游戏时发现，对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关. 因此，他们认为：可以借助物体影子的长度计算光源到物体的距离.
(1)如图①，地面上放着一个正方形框架ABCD，AB＝30 cm，在其上方点P处有一灯泡，在灯光的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6 cm. 求灯泡距地面的高度PM.
(2)不改变图①中灯泡的高度，将两个边长为30 cm的正方形框架按图②所示的方式摆放. 求此时正方形框架横向影子A′B，D′C的长度和.

5. 解：(1)$\because AD// A'D'$，
$\therefore△ PAD∽△ PA'D'$.
$\therefore\dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{PN}{PM}$.
$\because A'B$，$D'C$的长度和为6 cm，
$AD=BC=AB=30\ \mathrm{cm}$，
$\therefore A'D'=A'B+BC+D'C=36(\mathrm{cm})$.
$\therefore\dfrac{30}{36}=\dfrac{PM-30}{PM}$.
解得 $PM=180(\mathrm{cm})$.
$\therefore$灯泡距地面的高度$PM$为180 cm.
(2)设此时正方形框架横向影子$A'B$，$D'C$的长度和为$x$ cm.
同理可得$△ PAD∽△ PA'D'$.
$\therefore\dfrac{AD}{A'D'}=\dfrac{PN}{PM}$，
即$\dfrac{60}{60+x}=\dfrac{180-30}{180}$.
解得 $x=12$.
$\therefore$此时正方形框架横向影子$A'B$，$D'C$的长度和为12 cm.