典例1 有下列 3 个代数式：$x^4 + 3xy - 2xy^4 -5x^3y^3 -1,2027,-x.$
(1)单项式的个数是.
(2)2 027 的次数是，$-x$ 的系数是.
(3)$x^4 + 3xy - 2xy^4 -5x^3y^3 -1$是次项式，其中二次项为，常数项为.

典例1 答案(1)2 (2)0 -1 (3)六 五 $3xy$ $-1$

【分析】首先回忆整式相关基础概念：①单项式：由数或字母的积构成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；②单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数和，单独常数的次数为0；单项式的系数是单项式中的数字因数；③多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，多项式的项数是多项式中单项式的总个数，不含字母的项叫常数项。解题时对应概念逐一判断即可：
(1)逐个判断3个代数式是否符合单项式定义，统计个数；
(2)根据常数的次数、单项式系数的定义直接作答；
(3)先计算多项式中每一项的次数，找到最高次数确定多项式的次数，再数总项数，同时找到二次项和常数项。
【解析】
(1)根据单项式定义判断：$x^4 + 3xy - 2xy^4 -5x^3y^3 -1$是多个单项式的和，属于多项式；2027是单独的数，属于单项式；$-x$是数-1与字母x的积，属于单项式，因此单项式共有2个。
(2)常数的次数为0，因此2027的次数是0；$-x$的数字因数是-1，因此系数是-1。
(3)计算多项式$x^4 + 3xy - 2xy^4 -5x^3y^3 -1$中各单项的次数：$x^4$次数为4，$3xy$次数为$1+1=2$，$-2xy^4$次数为$1+4=5$，$-5x^3y^3$次数为$3+3=6$，$-1$是常数项，次数为0。最高次数为6，共由5个单项式组成，因此是六次五项式；其中次数为2的项是$3xy$，不含字母的常数项是$-1$。
【答案】(1)2 (2)0；-1 (3)六；五；$3xy$；$-1$
【知识点】单项式的定义；单项式的系数与次数；多项式的相关概念
【点评】本题是整式概念的基础考察题，解题核心是准确掌握单项式、多项式的各类定义，注意不要混淆多项式次数和单项式次数，单独带负号的字母的系数不要漏写负号，常数项的次数为0。
【难度系数】0.85

典例2 先化简，再求值：$-\dfrac{1}{6}(3x^3 + 6x^2 + 18) + \dfrac{1}{2}(x^3 - 4x^2 + 4)$，其中 $x = -\dfrac{1}{3}$。

典例2 解 $-\dfrac{1}{6}(3x^3 + 6x^2 + 18) + \dfrac{1}{2}(x^3 - 4x^2 + 4)$
$=-\dfrac{1}{2}x^3 - x^2 - 3 + \dfrac{1}{2}x^3 - 2x^2 + 2$
$=-3x^2 -1.$
当 $x = -\dfrac{1}{3}$ 时，原式 $=-3 × (-\dfrac{1}{3})^2 -1 = -\dfrac{1}{3} -1 = -\dfrac{4}{3}.$

【分析】
这是整式化简求值类题目，解题思路分两步：第一步先化简整式，先利用乘法分配律将括号外的系数乘到括号内的每一项，去括号时注意不要漏乘项、不要弄错符号；再合并同类项，把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式。第二步将x的取值代入最简整式计算，相比直接代入原式计算更简便，能降低计算出错的概率。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&-\dfrac{1}{6}(3x^3 + 6x^2 + 18) + \dfrac{1}{2}(x^3 - 4x^2 + 4)\\=&-\dfrac{1}{2}x^3 - x^2 - 3 + \dfrac{1}{2}x^3 - 2x^2 + 2\\=&(-\dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{2}x^3)+(-x^2-2x^2)+(-3+2)\\=&-3x^2 -1\end{aligned}$
再代入$x = -\dfrac{1}{3}$计算：
$\begin{aligned}原式&=-3 × (-\dfrac{1}{3})^2 -1\\&=-3 × \dfrac{1}{9} -1\\&=-\dfrac{1}{3} -1\\&=-\dfrac{4}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{4}{3}}$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查去括号和合并同类项的掌握程度，解题时注意去括号时系数要乘遍括号内所有项，代入负数计算乘方时要给负数加括号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

典例3 张叔叔承包了一片土地用于草莓种植. 土地平面示意图如下(图中长度单位:m),请根据示意图回答下列问题:

(1)用含a,b的式子表示出这片土地的总面积S.
(2)由于各个地块土壤条件存在差异,地块①和地块②平均每平方米可种植9株草莓,剩下的地块平均每平方米可种植11株草莓,则张叔叔总共可种植多少株草莓?(用含a,b的式子表示)
典例解析

典例3 解 (1)这片土地的总面积 $S = 40 × (a + 30) - b × (40 -16 -20) = (40a -4b +1200)(\mathrm{m}^2).$
(2)地块①的面积为 $40a \ \mathrm{m}^2$，地块②的面积为 $(30 - b) × (40 -20) = (600 -20b)(\mathrm{m}^2).$
因为地块①和地块②平均每平方米可种植9株草莓，
所以地块①和地块②可种植的草莓数量为 $(40a +600 -20b) ×9 = (360a -180b +5400)(\mathrm{株}).$
除地块①和地块②外，剩下地块的面积为 $30 ×20 +16b = (600 +16b)(\mathrm{m}^2),$
因为剩下的地块平均每平方米可种植11株草莓，所以剩下的地块可种植的草莓数量为 $(600 +16b) ×11 = (6600 +176b)(\mathrm{株}).$
张叔叔总共可种植的草莓为 $360a -180b +5400 +6600 +176b = (360a -4b +12000)(\mathrm{株}).$
(3)当 $a =20, b=15$ 时，$360a -4b +12000 =360 ×20 -4 ×15 +12000 =19140.$
即张叔叔种植草莓的数量为19140株。

【分析】
(1)求土地总面积可采用补形法：将不规则图形补成一个长为$(a+30)\mathrm{m}$、宽为$40\mathrm{m}$的完整大长方形，再减去右下角缺失的小长方形的面积即可得到总面积$S$。其中缺失的小长方形宽为$b\mathrm{m}$，高为$(40-20-16)\mathrm{m}$，按此思路列式化简即可。
(2)分别计算地块①、②的面积之和，乘以每平方米9株的种植量，再计算地块③、④的面积之和，乘以每平方米11株的种植量，将两部分结果相加，按照整式加减的运算法则化简就能得到总种植株数。
【解析】
(1) 补全后的大长方形面积为：$40×(a+30)$
缺失小长方形的高度为：$40-20-16=4(\mathrm{m})$，面积为$4b\ \mathrm{m}^2$
因此总面积$S=40(a+30)-4b=40a+1200-4b=(40a-4b+1200)\mathrm{m}^2$
(2) ① 先算地块①、②的总种植量：
地块①面积为$40a\ \mathrm{m}^2$；
地块②的长为$(30-b)\mathrm{m}$，宽为$40-20=20\mathrm{m}$，面积为$20(30-b)=(600-20b)\mathrm{m}^2$；
地块①②总面积为$40a+600-20b$，可种植草莓数量为：
$9×(40a+600-20b)=360a+5400-180b$（株）
② 再算剩余地块的总种植量：
地块④面积为$30×20=600\mathrm{m}^2$，地块③面积为$16b\ \mathrm{m}^2$，剩余地块总面积为$600+16b\ \mathrm{m}^2$，可种植草莓数量为：
$11×(600+16b)=6600+176b$（株）
③ 总种植株数为两部分之和：
$(360a+5400-180b)+(6600+176b)=360a-4b+12000$（株）
(3) 当$a=20$，$b=15$时，代入总株数的式子得：
$360×20-4×15+12000=7200-60+12000=19140$（株）
【答案】
(1) $S=(40a-4b+1200)\mathrm{m}^2$
(2) 总共可种植$(360a-4b+12000)$株草莓
(3) 当$a=20,b=15$时，种植草莓总数量为19140株
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合实际场景考查代数式相关应用，解题的关键是准确识别图形各部分的边长，正确计算各地块的面积，再根据数量关系列式，化简时注意合并同类项的规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.7