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典例 填空：
(1)$\frac{a-b}{ab}=\frac{( \quad )}{a^2b}$；
(2)$\frac{x^2+xy}{x^2}=\frac{x+y}{( \quad )}$；
(3)$\frac{x-y}{x+y}=\frac{( \quad )}{(x+y)^2}$；
(4)$\frac{m-n}{m+n}=\frac{( \quad )}{m^2-n^2}(m≠n)$。
温馨提示 (1)分式的分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算；
(2)“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的整式。
举一反三 填空：
(1)$\frac{2x}{x-y}=\frac{( \quad )}{(x-y)(x+y)}(x≠-y)$；
(2)$\frac{y+2}{y^2-4}=\frac{1}{( \quad )}$。
(1)$\frac{a-b}{ab}=\frac{( \quad )}{a^2b}$；
(2)$\frac{x^2+xy}{x^2}=\frac{x+y}{( \quad )}$；
(3)$\frac{x-y}{x+y}=\frac{( \quad )}{(x+y)^2}$；
(4)$\frac{m-n}{m+n}=\frac{( \quad )}{m^2-n^2}(m≠n)$。
温馨提示 (1)分式的分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算；
(2)“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的整式。
举一反三 填空：
(1)$\frac{2x}{x-y}=\frac{( \quad )}{(x-y)(x+y)}(x≠-y)$；
(2)$\frac{y+2}{y^2-4}=\frac{1}{( \quad )}$。
答案
1. a² - ab
2. x
3. x² - y²
4. (m - n)²
解析 (1)将分子也乘$a$，得$a^2 - ab$
(2)
(3)将分子也乘$(x + y)$，得$x^2 - y^2$
(4)将分子也乘$(m - n)$，得$(m - n)^2$
举一反三 1. 2x²+2xy
举一反三 2. y-2
解析
【分析】
解题核心是运用分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先观察等式一侧的分子/分母相比原式发生了什么乘除变化，再将另一侧的分母/分子做完全相同的运算，同时注意运算时要保证乘除的整式不为0即可。
【解析】
典例
(1) 观察分母：原式分母$ab$变为$a^2b$，是乘了$a$，根据分式基本性质，分子$a-b$也需乘$a$，即$(a-b)· a = a^2 - ab$。
(2) 观察分子：原式分子$x^2+xy=x(x+y)$变为$x+y$，是除以了$x$（分式有意义时分母$x^2≠0$，即$x≠0$），根据分式基本性质，分母$x^2$也需除以$x$，即$x^2÷ x = x$。
(3) 观察分母：原式分母$x+y$变为$(x+y)^2$，是乘了$(x+y)$，根据分式基本性质，分子$x-y$也需乘$(x+y)$，即$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$。
(4) 观察分母：原式分母$m+n$变为$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，是乘了$(m-n)$，已知$m≠ n$即$m-n≠0$，根据分式基本性质，分子$m-n$也需乘$(m-n)$，即$(m-n)·(m-n)=(m-n)^2$。
举一反三
(1) 观察分母：原式分母$x-y$变为$(x-y)(x+y)$，是乘了$(x+y)$，已知$x≠ -y$即$x+y≠0$，根据分式基本性质，分子$2x$也需乘$(x+y)$，即$2x·(x+y)=2x^2+2xy$。
(2) 观察分子：原式分子$y+2$变为$1$，是除以了$(y+2)$（分式有意义时分母$y^2-4≠0$，即$y+2≠0$），根据分式基本性质，分母$y^2-4=(y+2)(y-2)$也需除以$(y+2)$，即$(y+2)(y-2)÷(y+2)=y-2$。
【答案】
典例：
1. $a^2 - ab$
2. $x$
3. $x^2 - y^2$
4. $(m-n)^2$
举一反三：
1. $2x^2+2xy$
2. $y-2$
【知识点】
分式的基本性质；分式的通分；分式的约分
【点评】
本题是分式性质应用的基础题型，解题的关键是准确判断分子或分母的变化规律，牢记分式运算时分子分母必须同时对同一个不为0的整式做乘除运算，是后续分式化简、运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
解题核心是运用分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先观察等式一侧的分子/分母相比原式发生了什么乘除变化，再将另一侧的分母/分子做完全相同的运算，同时注意运算时要保证乘除的整式不为0即可。
【解析】
典例
(1) 观察分母：原式分母$ab$变为$a^2b$，是乘了$a$，根据分式基本性质，分子$a-b$也需乘$a$，即$(a-b)· a = a^2 - ab$。
(2) 观察分子：原式分子$x^2+xy=x(x+y)$变为$x+y$，是除以了$x$（分式有意义时分母$x^2≠0$，即$x≠0$），根据分式基本性质，分母$x^2$也需除以$x$，即$x^2÷ x = x$。
(3) 观察分母：原式分母$x+y$变为$(x+y)^2$，是乘了$(x+y)$，根据分式基本性质，分子$x-y$也需乘$(x+y)$，即$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$。
(4) 观察分母：原式分母$m+n$变为$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，是乘了$(m-n)$，已知$m≠ n$即$m-n≠0$，根据分式基本性质，分子$m-n$也需乘$(m-n)$，即$(m-n)·(m-n)=(m-n)^2$。
举一反三
(1) 观察分母：原式分母$x-y$变为$(x-y)(x+y)$，是乘了$(x+y)$，已知$x≠ -y$即$x+y≠0$，根据分式基本性质，分子$2x$也需乘$(x+y)$，即$2x·(x+y)=2x^2+2xy$。
(2) 观察分子：原式分子$y+2$变为$1$，是除以了$(y+2)$（分式有意义时分母$y^2-4≠0$，即$y+2≠0$），根据分式基本性质，分母$y^2-4=(y+2)(y-2)$也需除以$(y+2)$，即$(y+2)(y-2)÷(y+2)=y-2$。
【答案】
典例：
1. $a^2 - ab$
2. $x$
3. $x^2 - y^2$
4. $(m-n)^2$
举一反三：
1. $2x^2+2xy$
2. $y-2$
【知识点】
分式的基本性质；分式的通分；分式的约分
【点评】
本题是分式性质应用的基础题型，解题的关键是准确判断分子或分母的变化规律，牢记分式运算时分子分母必须同时对同一个不为0的整式做乘除运算，是后续分式化简、运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
1. 等式$\frac{a}{a+1} = \frac{a(b+1)}{(a+1)(b+1)}$成立的条件是(
A.$a≠0$,且$b≠0$
B.$a≠1$,且$b≠1$
C.$a≠-1$,且$b≠-1$
D.$a,b$为任意数
C
).A.$a≠0$,且$b≠0$
B.$a≠1$,且$b≠1$
C.$a≠-1$,且$b≠-1$
D.$a,b$为任意数
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查分式等式成立的条件，解题核心是牢记分式基本性质的适用前提：分式的分子分母同乘一个整式时，该整式不能为0，且原分式的分母也不能为0。首先要保证原式的分母有意义，其次要保证变形时乘的整式不为0，据此即可推导a、b的取值范围。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子、分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。
要使等式$\frac{a}{a+1} = \frac{a(b+1)}{(a+1)(b+1)}$成立，需同时满足两个条件：
1. 原分式的分母不为0：$a+1≠0$，解得$a≠-1$；
2. 分子分母同乘的整式不为0：$b+1≠0$，解得$b≠-1$。
因此等式成立的条件是$a≠-1$，且$b≠-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式性质应用的基础题，易错点是容易忽略分子分母同乘的整式不能为0的要求，解题时要注意只要是分式的分母，无论变形前后都不能为0。
【难度系数】
0.8
本题考查分式等式成立的条件，解题核心是牢记分式基本性质的适用前提：分式的分子分母同乘一个整式时，该整式不能为0，且原分式的分母也不能为0。首先要保证原式的分母有意义，其次要保证变形时乘的整式不为0，据此即可推导a、b的取值范围。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子、分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。
要使等式$\frac{a}{a+1} = \frac{a(b+1)}{(a+1)(b+1)}$成立，需同时满足两个条件：
1. 原分式的分母不为0：$a+1≠0$，解得$a≠-1$；
2. 分子分母同乘的整式不为0：$b+1≠0$，解得$b≠-1$。
因此等式成立的条件是$a≠-1$，且$b≠-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式性质应用的基础题，易错点是容易忽略分子分母同乘的整式不能为0的要求，解题时要注意只要是分式的分母，无论变形前后都不能为0。
【难度系数】
0.8
