1. 作已知角的平分线
典例1 如图，已知∠AOB内一点C及线段a，在∠AOB内求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等，且PC=a.

作法 如图.
O
M
A
D
N
C
P
B

【分析】
要找到同时满足两个条件的点P，可采用轨迹交集法分步思考：①根据角平分线的判定定理，到角两边OA、OB距离相等的点，都在∠AOB的角平分线上，因此点P一定落在∠AOB的角平分线上；②到点C的距离等于a的点，都在以C为圆心、a为半径的圆上，因此点P也在这个圆上。两个轨迹的交点就是同时满足两个要求的点P。
【解析】
作法步骤：
1. 用尺规作∠AOB的角平分线OD；
2. 以点C为圆心，取线段a的长度为半径画弧，该弧与OD的交点即为所求作的点P。
【答案】
作法：①作∠AOB的平分线OD；②以C为圆心，a的长为半径画弧，交OD于点P，点P即为所求（作图略）。
【知识点】
角平分线的判定；尺规作图；圆的定义
【点评】
本题属于基础尺规作图综合题，解题核心是将双条件问题拆解为两个独立的点的轨迹，通过找轨迹的公共交点确定所求点，既考查了基础作图技能，也能锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7

举一反三 如图，$∠ A = 90°$. 利用直尺和圆规，在边AC上找一点P，使点P到边AB和BC的距离相等。
2 角的平分线的性质

1. 作法 如图.
(1)以点 B 为圆心,适当长为半径作弧,交 BA 于点 M,交 BC 于点 N;
(2)分别以点 M,N 为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$ 的长为半径作弧,两弧在$∠ ABC$内部相交于点 D;
(3)作射线 BD,交 AC 于点 P. 点 P 就是所求作的点.

【分析】
要找到符合要求的点P，先明确点P需要满足两个条件：①在边AC上；②到AB、BC两边的距离相等。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P一定在∠ABC的角平分线上。因此我们只需用尺规作出∠ABC的角平分线，该角平分线与AC边的交点就是所求的点P。
【解析】
具体作图步骤如下：
(1)以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交BA边于点M、交BC边于点N；
(2)分别以点M、N为圆心，取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC的内部交于点D；
(3)过点B、D作射线BD，射线BD与AC边的交点即为所求的点P。
【答案】
1. 作法 如图.
(1)以点 B 为圆心,适当长为半径作弧,交 BA 于点 M,交 BC 于点 N;
(2)分别以点 M,N 为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$ 的长为半径作弧,两弧在$∠ ABC$内部相交于点 D;
(3)作射线 BD,交 AC 于点 P. 点 P 就是所求作的点.
【知识点】
角平分线的性质；尺规作角平分线
【点评】
本题是基础的尺规作图题，核心考查角平分线性质的应用，解题时要学会将几何条件转化为对应的作图操作，牢记尺规作角平分线的标准步骤，注意作图要规范符合要求。
【难度系数】
0.8

典例2 如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3 cm，BC＝10 cm，求△DBC的面积。

1. 解 如图,过点D作DE⊥BC于点E,
∵∠A＝90°,BD平分∠ABC,
∴DE＝AD＝3 cm.
∵BC＝10 cm,
∴△DBC的面积＝$\frac{1}{2}$×10×3＝15(cm²).

【分析】
要求△DBC的面积，已知底BC的长度，只需先求出BC边上的高即可。已知BD是∠ABC的角平分线，且∠A=90°即DA垂直AB，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可过点D作DE垂直BC于E，此时DE就是BC边上的高，且DE与AD长度相等，最后代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝AD＝3 cm，
已知BC＝10 cm，
则△DBC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×DE=$\frac{1}{2}$×10×3=15(cm²)。
【答案】
$\boxed{15\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题解题的突破口是构造BC边上的高，利用角平分线的性质将已知线段AD转化为所求三角形的高，熟练掌握角平分线的性质可快速简化此类面积计算问题的求解步骤。
【难度系数】
0.8

举一反三 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$，$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=28\ \mathrm{cm}^2$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，求$DE$的长。

2. 解 $\because AD$ 平分$∠ BAC,DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore DE=DF.$
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB × DE + \frac{1}{2} AC × DF = \frac{1}{2}(AB+AC)× DE,$
即$\frac{1}{2}×(16+12)× DE=28,$
$\therefore DE=2\ \mathrm{cm}.$

【分析】
解题时首先根据已知条件联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF；再观察△ABC的面积构成，它是△ABD和△ACD的面积之和，两个小三角形的底分别为AB、AC，对应高分别为DE、DF，结合DE=DF的结论，将已知的面积、AB、AC的长度代入整合后的面积公式，即可求出DE的长度。
【解析】
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF$，
将DE=DF代入得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC)·DE$，
代入$S_{△ABC}=28\ \mathrm{cm}^2$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，
得$\frac{1}{2}×(16+12)×DE=28$，
即$14DE=28$，
解得$DE=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$DE=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等量代换
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是将大三角形面积拆分为两个小三角形的面积和，结合角平分线性质得到等线段关系后建立方程求解，是平面几何中结合面积求线段长度的典型考法。
【难度系数】
0.8