8. 已知$a＜-1$，点$(a-1,y_1),(a,y_2),(a+1,y_3)$都在函数$y=x^2+1$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 （ ）
A. $y_1＜y_2＜y_3$
B. $y_1＜y_3＜y_2$
C. $y_3＜y_2＜y_1$
D. $y_2＜y_1＜y_3$

C

9. 若直线$y=5$与抛物线$y=ax^2+b$交于$A$，$B$两点，且点$A$的坐标为$(-2,c)$，则点$B$的坐标为______．

$(2,5)$

10. (1) 若抛物线 $ y = ax^2 + k $ 的顶点在直线 $ y = -2 $ 上，且当 $ x = 1 $ 时，$ y = -3 $，则 $ a = \_\_\_\_\_\_ $，$ k = \_\_\_\_\_\_ $；
(2) 如果将(1)中的抛物线沿 $ x $ 轴折叠，那么折叠后的抛物线对应的函数解析式为 ______。

$-1$ ; $-2$ ; $y = x^{2}+2$

11. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+4$与$y$轴交于点$A$,过点$A$与$x$轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$于点$B$,$C$,则$BC$的长为______.

8

12. 已知抛物线 $ y = ax^2 + k $ 的顶点坐标是$(0, -2)$，且过点$(1, 1)$。
第11题
（1）求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴。
（2）此抛物线对应的函数 $ y $ 有最大值还是最小值？其值是多少？
（3）若 $ M(x_1, y_1) $，$ N(x_2, y_2) $ 是抛物线上的两点，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $，则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系如何？

解：（1）由题意，得$\begin{cases}k = -2\\a + k = 1\end{cases}，$ 将$k = -2$代入$a + k = 1$得$a-2 = 1，$解得$a = 3。$ 所以此抛物线对应的函数解析式为$y = 3x^{2}-2，$抛物线开口向上，对称轴为$y$轴。 （2）此抛物线对应的函数$y$有最小值，当$x = 0$时，函数$y$取得最小值，为$-2。$ （3）当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小。因为$x_1\lt x_2\lt0，$所以$y_1\gt y_2。$

13. 如图,正比例函数$y=2x$的图象与抛物线$y=ax^2+3$相交于点$A(1,b)$,抛物线$y=ax^2+3$的顶点是$C$.
(1) 求$a$与$b$的值;
(2) 点$B(m,4)$在函数$y=2x$的图象上,求$△ ABC$的面积;
(3) 若$P$是$x$轴上的一个动点,求当$PA+PC$最小时点$P$的坐标.

解：（1）把$A(1,b)$代入$y = 2x，$得$b = 2，$所以$A(1,2)。$ 把$A(1,2)$代入$y = ax^{2}+3，$得$a + 3 = 2，$解得$a = -1。$ （2）把$B(m,4)$代入$y = 2x，$得$2m = 4，$解得$m = 2，$所以$B(2,4)。$ 因为抛物线$y = ax^{2}+3$即$y=-x^{2}+3$的顶点$C$的坐标是$(0,3)，$所以$OC = 3。$ $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OBC}-S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}\times3\times2-\frac{1}{2}\times3\times1=\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}。$ （3）设点$C$关于$x$轴的对称点为$C'，$则点$C'$的坐标为$(0,-3)，$连接$AC'$交$x$轴于点$P，$此时$PA + PC$最小。 设直线$AC'$对应的函数解析式为$y = kx + n。$ 把$C'(0,-3)，$$A(1,2)$代入，得$\begin{cases}n = -3\\k + n = 2\end{cases}，$ 将$n = -3$代入$k + n = 2$得$k-3 = 2，$解得$k = 5。$ 所以$y = 5x - 3。$ 当$y = 0$时，$5x - 3 = 0，$$5x=3，$解得$x=\frac{3}{5}。$ 所以点$P$的坐标是$(\frac{3}{5},0)。$