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1. 在Rt△ABC中,若∠C= 90°,a= 10,c= 20,则b=
10√3
,∠A=30°
,∠B=60°
.答案
【解析】：
本题主要考查直角三角形的性质以及三角函数的应用。
在直角三角形中，已知两边长，可以利用勾股定理求出第三边长。
同时，可以利用三角函数（如正弦、余弦、正切）求出各角度。
首先，利用勾股定理求出边$b$的长度。
勾股定理公式为：$a^2 + b^2 = c^2$。
然后，利用正弦函数求出$\angle A$的度数。
正弦函数公式为：$\sin A = \frac{a}{c}$。
最后，利用三角形内角和为$180^\circ$求出$\angle B$的度数。
【答案】：
解：
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$a = 10$，$c = 20$，
根据勾股定理，我们有：
$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{20^{2} - 10^{2}} = 10\sqrt{3}$
接着，利用正弦函数求$\angle A$：
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
查表或利用三角函数性质，可得：
$\angle A = 30^{\circ}$
最后，利用三角形内角和为$180^\circ$求$\angle B$：
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$
故答案为：$b = 10\sqrt{3}$；$\angle A = 30^\circ$；$\angle B = 60^\circ$。
本题主要考查直角三角形的性质以及三角函数的应用。
在直角三角形中，已知两边长，可以利用勾股定理求出第三边长。
同时，可以利用三角函数（如正弦、余弦、正切）求出各角度。
首先，利用勾股定理求出边$b$的长度。
勾股定理公式为：$a^2 + b^2 = c^2$。
然后，利用正弦函数求出$\angle A$的度数。
正弦函数公式为：$\sin A = \frac{a}{c}$。
最后，利用三角形内角和为$180^\circ$求出$\angle B$的度数。
【答案】：
解：
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$a = 10$，$c = 20$，
根据勾股定理，我们有：
$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{20^{2} - 10^{2}} = 10\sqrt{3}$
接着，利用正弦函数求$\angle A$：
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
查表或利用三角函数性质，可得：
$\angle A = 30^{\circ}$
最后，利用三角形内角和为$180^\circ$求$\angle B$：
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$
故答案为：$b = 10\sqrt{3}$；$\angle A = 30^\circ$；$\angle B = 60^\circ$。
2. 在△ABC中,若∠A= 30°,∠B= 45°,AC= $\sqrt{2}$,则BC等于( )
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
A
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
答案
【解析】：
本题主要考察解直角三角形的知识，包括正弦定理的应用以及特殊角的三角函数值。
首先，根据三角形内角和为$180^\circ$，可以求出$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$，但在本题中，我们主要关注$\angle A$ 和 $\angle B$，因为题目给出了与这两个角相关的边长。
由于$\angle A = 30^\circ$ 和 $\angle B = 45^\circ$，可以利用正弦定理来求解$BC$。
正弦定理公式为：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，
其中，$a, b, c$ 是三角形的三边，$A, B, C$ 是与这三边相对的三角形的三个角。
将已知条件代入正弦定理，得到：
$\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ}$，
即：
$\frac{BC}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
化简得：
$BC = 1$。
【答案】：A
本题主要考察解直角三角形的知识，包括正弦定理的应用以及特殊角的三角函数值。
首先，根据三角形内角和为$180^\circ$，可以求出$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$，但在本题中，我们主要关注$\angle A$ 和 $\angle B$，因为题目给出了与这两个角相关的边长。
由于$\angle A = 30^\circ$ 和 $\angle B = 45^\circ$，可以利用正弦定理来求解$BC$。
正弦定理公式为：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，
其中，$a, b, c$ 是三角形的三边，$A, B, C$ 是与这三边相对的三角形的三个角。
将已知条件代入正弦定理，得到：
$\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ}$，
即：
$\frac{BC}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
化简得：
$BC = 1$。
【答案】：A
3. 如图所示,在正方形网格中,∠AOB的正切值是
$\frac{1}{2}$
.答案
1. 首先，利用三角函数的定义：
设每个小正方形的边长为$1$。根据正切函数的定义$\tan\alpha=\frac{y}{x}$（$\alpha$为角，$y$为角$\alpha$终边上一点的纵坐标，$x$为角$\alpha$终边上一点的横坐标），对于$\angle AOB$，我们可以通过构造直角三角形来求解。
过点$B$作$BC\perp OA$的反向延长线于点$C$（利用网格的特点）。
观察网格，我们可以发现：
设$OA$经过的一个格点（除$O$点外）为$D$，$OB$经过的一个格点（除$O$点外）为$E$。我们可以利用相似三角形或者直接数方格的方法来确定直角三角形的边长。
我们可以发现，若以$O$为顶点，$\angle AOB$的对边与邻边的关系可以通过网格来确定。
我们知道$\tan\angle AOB=\frac{1}{2}$（通过构造直角三角形，对边为$1$个单位长度，邻边为$2$个单位长度）。
另一种方法：
根据三角函数的正切公式$\tan\angle AOB = \frac{对边}{邻边}$。在网格中，我们可以将$\angle AOB$放在一个直角三角形中，假设直角三角形的对边$a = 1$（竖直方向的长度），邻边$b = 2$（水平方向的长度）。
根据正切函数定义$\tan\angle AOB=\frac{a}{b}$，这里$a = 1$，$b = 2$。
所以$\angle AOB$的正切值是$\frac{1}{2}$。
设每个小正方形的边长为$1$。根据正切函数的定义$\tan\alpha=\frac{y}{x}$（$\alpha$为角，$y$为角$\alpha$终边上一点的纵坐标，$x$为角$\alpha$终边上一点的横坐标），对于$\angle AOB$，我们可以通过构造直角三角形来求解。
过点$B$作$BC\perp OA$的反向延长线于点$C$（利用网格的特点）。
观察网格，我们可以发现：
设$OA$经过的一个格点（除$O$点外）为$D$，$OB$经过的一个格点（除$O$点外）为$E$。我们可以利用相似三角形或者直接数方格的方法来确定直角三角形的边长。
我们可以发现，若以$O$为顶点，$\angle AOB$的对边与邻边的关系可以通过网格来确定。
我们知道$\tan\angle AOB=\frac{1}{2}$（通过构造直角三角形，对边为$1$个单位长度，邻边为$2$个单位长度）。
另一种方法：
根据三角函数的正切公式$\tan\angle AOB = \frac{对边}{邻边}$。在网格中，我们可以将$\angle AOB$放在一个直角三角形中，假设直角三角形的对边$a = 1$（竖直方向的长度），邻边$b = 2$（水平方向的长度）。
根据正切函数定义$\tan\angle AOB=\frac{a}{b}$，这里$a = 1$，$b = 2$。
所以$\angle AOB$的正切值是$\frac{1}{2}$。
4. 如图所示,在菱形ABCD中,若DE⊥AB,垂足为E,DE= 6,$\sin A= \frac{3}{5}$,则菱形ABCD的面积是
60
.答案
解：在菱形ABCD中，AD=AB。
因为DE⊥AB，所以∠AED=90°。
在Rt△ADE中，sinA=DE/AD=3/5，DE=6，
所以6/AD=3/5，解得AD=10。
故AB=AD=10。
菱形ABCD的面积=AB×DE=10×6=60。
60
因为DE⊥AB，所以∠AED=90°。
在Rt△ADE中，sinA=DE/AD=3/5，DE=6，
所以6/AD=3/5，解得AD=10。
故AB=AD=10。
菱形ABCD的面积=AB×DE=10×6=60。
60
5. 如图所示,若$\sin O= \frac{\sqrt{3}}{3}$,OA= 6,P是射线ON上一动点.当△AOP为直角三角形时,AP=
$2\sqrt{3}$或$3\sqrt{2}$
.答案
1. 首先，分两种情况讨论：
情况一：当$\angle APO = 90^{\circ}$时：
已知$\sin O=\frac{AP}{OA}$（正弦函数的定义：在直角三角形中，$\sin\alpha=\frac{对边}{斜边}$，在$Rt\triangle AOP$中，$\angle APO = 90^{\circ}$，$\angle O$的对边是$AP$，斜边是$OA$）。
因为$\sin O=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$OA = 6$，根据$\sin O=\frac{AP}{OA}$，可得$AP = OA\cdot\sin O$。
把$OA = 6$，$\sin O=\frac{\sqrt{3}}{3}$代入$AP = OA\cdot\sin O$，则$AP = 6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。
情况二：当$\angle OAP = 90^{\circ}$时：
先求$\cos O$，根据$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$（同角三角函数的基本关系），已知$\sin O=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\cos O=\sqrt{1 - \sin^{2}O}$。
计算$\cos O=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
再根据$\cos O=\frac{OA}{OP}$（在$Rt\triangle OAP$中，$\angle OAP = 90^{\circ}$，$\cos O=\frac{OA}{OP}$），$OA = 6$，可得$OP=\frac{OA}{\cos O}=\frac{6}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = 3\sqrt{6}$。
然后根据勾股定理$AP=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}$（在$Rt\triangle OAP$中，$AP=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}$）。
把$OA = 6$，$OP = 3\sqrt{6}$代入$AP=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}$，$AP=\sqrt{(3\sqrt{6})^{2}-6^{2}}=\sqrt{54 - 36}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
所以$AP$的值为$2\sqrt{3}$或$3\sqrt{2}$。
情况一：当$\angle APO = 90^{\circ}$时：
已知$\sin O=\frac{AP}{OA}$（正弦函数的定义：在直角三角形中，$\sin\alpha=\frac{对边}{斜边}$，在$Rt\triangle AOP$中，$\angle APO = 90^{\circ}$，$\angle O$的对边是$AP$，斜边是$OA$）。
因为$\sin O=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$OA = 6$，根据$\sin O=\frac{AP}{OA}$，可得$AP = OA\cdot\sin O$。
把$OA = 6$，$\sin O=\frac{\sqrt{3}}{3}$代入$AP = OA\cdot\sin O$，则$AP = 6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。
情况二：当$\angle OAP = 90^{\circ}$时：
先求$\cos O$，根据$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$（同角三角函数的基本关系），已知$\sin O=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\cos O=\sqrt{1 - \sin^{2}O}$。
计算$\cos O=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
再根据$\cos O=\frac{OA}{OP}$（在$Rt\triangle OAP$中，$\angle OAP = 90^{\circ}$，$\cos O=\frac{OA}{OP}$），$OA = 6$，可得$OP=\frac{OA}{\cos O}=\frac{6}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = 3\sqrt{6}$。
然后根据勾股定理$AP=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}$（在$Rt\triangle OAP$中，$AP=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}$）。
把$OA = 6$，$OP = 3\sqrt{6}$代入$AP=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}$，$AP=\sqrt{(3\sqrt{6})^{2}-6^{2}}=\sqrt{54 - 36}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
所以$AP$的值为$2\sqrt{3}$或$3\sqrt{2}$。
6. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,根据下列条件求直角三角形的其他边长和角的大小.
(1)b= 5,∠A= 60°.
(2)a= 4$\sqrt{5}$,b= 4$\sqrt{15}$.
(3)AC= 6,∠BAC的平分线AD= 4$\sqrt{3}$.
(1)b= 5,∠A= 60°.
(2)a= 4$\sqrt{5}$,b= 4$\sqrt{15}$.
(3)AC= 6,∠BAC的平分线AD= 4$\sqrt{3}$.
答案
(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则∠B=90°-∠A=30°。
因为tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b，所以a=b·tanA=5·tan60°=5√3。
因为cosA=∠A的邻边/斜边=b/c，所以c=b/cosA=5/cos60°=10。
故∠B=30°，a=5√3，c=10。
(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4√5，b=4√15。
c=√(a²+b²)=√[(4√5)²+(4√15)²]=√(80+240)=√320=8√5。
因为tanA=a/b=(4√5)/(4√15)=1/√3=√3/3，所以∠A=30°。
则∠B=90°-∠A=60°。
故∠A=30°，∠B=60°，c=8√5。
(3)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AD平分∠BAC，AD=4√3。
在Rt△ACD中，cos∠CAD=AC/AD=6/(4√3)=√3/2，所以∠CAD=30°。
因为AD平分∠BAC，所以∠BAC=2∠CAD=60°，则∠B=90°-∠BAC=30°。
在Rt△ABC中，AB=AC/cos∠BAC=6/cos60°=12。
BC=AC·tan∠BAC=6·tan60°=6√3。
故∠BAC=60°，∠B=30°，AB=12，BC=6√3。
因为tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b，所以a=b·tanA=5·tan60°=5√3。
因为cosA=∠A的邻边/斜边=b/c，所以c=b/cosA=5/cos60°=10。
故∠B=30°，a=5√3，c=10。
(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4√5，b=4√15。
c=√(a²+b²)=√[(4√5)²+(4√15)²]=√(80+240)=√320=8√5。
因为tanA=a/b=(4√5)/(4√15)=1/√3=√3/3，所以∠A=30°。
则∠B=90°-∠A=60°。
故∠A=30°，∠B=60°，c=8√5。
(3)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AD平分∠BAC，AD=4√3。
在Rt△ACD中，cos∠CAD=AC/AD=6/(4√3)=√3/2，所以∠CAD=30°。
因为AD平分∠BAC，所以∠BAC=2∠CAD=60°，则∠B=90°-∠BAC=30°。
在Rt△ABC中，AB=AC/cos∠BAC=6/cos60°=12。
BC=AC·tan∠BAC=6·tan60°=6√3。
故∠BAC=60°，∠B=30°，AB=12，BC=6√3。
7. 在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为E,如图所示.已知AC= 6,$\cos A= \frac{3}{5}$.
(1)求线段CD的长.
(2)求$\cos\angle DBE$的值.
(1)求线段CD的长.
(2)求$\cos\angle DBE$的值.
答案
(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，cosA=AC/AB=3/5，
∴6/AB=3/5，解得AB=10，
∵D是边AB的中点，
∴CD=1/2AB=5；
(2)解：在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，
∴BC=√(AB²-AC²)=√(10²-6²)=8，
∵D是AB中点，
∴AD=BD=CD=5，
∴∠BCD=∠B，
在Rt△ABC中，cosB=BC/AB=8/10=4/5，
∴cos∠BCD=4/5，
在Rt△BCE中，cos∠BCD=CE/BC=4/5，
∴CE=BC×4/5=8×4/5=32/5，
∵CD=5=25/5，
∴DE=CE-CD=32/5-25/5=7/5，
在Rt△BDE中，cos∠DBE=DE/BD=(7/5)/5=7/25。
∴6/AB=3/5，解得AB=10，
∵D是边AB的中点，
∴CD=1/2AB=5；
(2)解：在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，
∴BC=√(AB²-AC²)=√(10²-6²)=8，
∵D是AB中点，
∴AD=BD=CD=5，
∴∠BCD=∠B，
在Rt△ABC中，cosB=BC/AB=8/10=4/5，
∴cos∠BCD=4/5，
在Rt△BCE中，cos∠BCD=CE/BC=4/5，
∴CE=BC×4/5=8×4/5=32/5，
∵CD=5=25/5，
∴DE=CE-CD=32/5-25/5=7/5，
在Rt△BDE中，cos∠DBE=DE/BD=(7/5)/5=7/25。
