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7.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交
于点0.
求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆
心的同一个圆上.
于点0.
求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆
心的同一个圆上.
答案
【解析】：
本题考查点和圆的位置关系，要证明A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，根据圆的定义，需要证明这四个点到点O的距离相等，即证明$OA=OB=OC=OD$，我们可以利用矩形的性质来证明。
【答案】：
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
根据矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，
∴$AC = BD$，且$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA = OB$，
同理可得$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB=OC=OD$，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，$OA$长为半径的圆上。
本题考查点和圆的位置关系，要证明A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，根据圆的定义，需要证明这四个点到点O的距离相等，即证明$OA=OB=OC=OD$，我们可以利用矩形的性质来证明。
【答案】：
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
根据矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，
∴$AC = BD$，且$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA = OB$，
同理可得$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB=OC=OD$，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，$OA$长为半径的圆上。
8.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A= 45°,
BC= 4,求⊙0的直径.
BC= 4,求⊙0的直径.
答案
解：连接OB，OC。
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°。
∵OB=OC，BC=4，
∴△BOC是等腰直角三角形。
设OB=OC=R，由勾股定理得：
OB²+OC²=BC²，即R²+R²=4²，
2R²=16，R²=8，R=2√2（负值舍去）。
∴⊙O的直径为2R=4√2。
答：⊙O的直径为4√2。
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°。
∵OB=OC，BC=4，
∴△BOC是等腰直角三角形。
设OB=OC=R，由勾股定理得：
OB²+OC²=BC²，即R²+R²=4²，
2R²=16，R²=8，R=2√2（负值舍去）。
∴⊙O的直径为2R=4√2。
答：⊙O的直径为4√2。
【例题1】用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分.
思路导引 运用反证法证明,首先要假设命题的结论不成立,然后再进行推理得出一个矛盾的结果,故此题先由题意画出图形,写出已知、求证,再依反证法的思想及步骤进行证明.
已知：如图,$AB$,$CD是\odot O$内两条非直径的弦,且$AB与CD交于点P$.
求证：$AB与CD$不能互相平分.
思路导引 运用反证法证明,首先要假设命题的结论不成立,然后再进行推理得出一个矛盾的结果,故此题先由题意画出图形,写出已知、求证,再依反证法的思想及步骤进行证明.
已知：如图,$AB$,$CD是\odot O$内两条非直径的弦,且$AB与CD交于点P$.
求证：$AB与CD$不能互相平分.
答案
证明：假设$AB与CD$能互相平分,则$P既是AB$的中点,又是$CD$的中点. 连接$OP$,由垂径定理知$OP\perp AB$,$OP\perp CD$,即过点$P就有AB与CD两条不同的直线与OP$垂直.这与“在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
∴假设不成立,即$AB与CD$不能互相平分.
【例题2】用反证法证明：若关于$x的一元二次方程8x^2-(m - 1)x + m - 7 = 0$有两个不相等的实数根,则两根不可能互为倒数.
答案
思路导引 (1) 已知一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$. 当$\Delta＞0$时,方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时,方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时,方程没有实数根.
(2) 设$x_1$,$x_2是一元二次方程ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$的两根,由根与系数的关系有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$,$x_1x_2 = \frac{c}{a}$.
(3) 两根互为倒数时,$x_1· x_2 = 1$；两根互为相反数时,$x_1 + x_2 = 0$. 运用上述知识不难证明原命题是正确的.
证明：假设原方程存在两个互为倒数的根为$x_1$,$x_2$,则$x_1· x_2 = 1$. 又$x_1$,$x_2是方程8x^2-(m - 1)x + m - 7 = 0$的两根,由根与系数的关系有$x_1 + x_2 = \frac{m - 1}{8}$,$x_1· x_2 = \frac{m - 7}{8}$,
∴$x_1· x_2 = \frac{m - 7}{8}= 1$. ∴$m = 15$. 当$m = 15$时,方程为$8x^2 - 14x + 8 = 0$. 化简,得$4x^2 - 7x + 4 = 0$,此时$\Delta = (-7)^2 - 4×4×4 = -15＜0$.
∴原方程无实数根. 这与原方程有两个不相等的实数根相矛盾. ∴假设存在两个互为倒数的根是错误的. 故原方程的两根不可能互为倒数.
