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分式的基本性质：分式的与乘(或除以)，分式的值不变。
用式子表示：$\frac{A}{B}=$，$\frac{A}{B}=$，其中$A,B,C(C\neq0)$是整式。
用式子表示：$\frac{A}{B}=$，$\frac{A}{B}=$，其中$A,B,C(C\neq0)$是整式。
答案
分子；分母；同一个不等于0的整式；$\frac{A· C}{B· C}$；$\frac{A÷ C}{B÷ C}$
解析
分式的基本性质是分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示为：$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$，其中$A,B,C(C\neq0)$是整式。
【例1】根据分式的基本性质填空：
$\frac{2x + 2}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{2}{( )}$，括号内应填。
$\frac{2x + 2}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{2}{( )}$，括号内应填。
答案
$\frac{2x + 2}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{2}{x - 1}$，故括号内应填$x - 1$。
$x - 1$
$x - 1$
【变式1】在括号内填上适当的整式：
(1)$\frac{a + b}{ab}=\frac{( )}{a^{2}b}$；
(2)$\frac{3}{4y}=\frac{( )}{4y(x + y)}$；
(3)$\frac{x^{2} + xy}{x^{2}}=\frac{x + y}{( )}$。
(1)$\frac{a + b}{ab}=\frac{( )}{a^{2}b}$；
(2)$\frac{3}{4y}=\frac{( )}{4y(x + y)}$；
(3)$\frac{x^{2} + xy}{x^{2}}=\frac{x + y}{( )}$。
答案
(1)
根据分式的基本性质，要使$\frac{a + b}{ab}=\frac{( )}{a^{2}b}$成立，分母由$ab$变为$a^{2}b$，是乘以$a$，则分子也要乘以$a$，即$(a + b)× a=a^{2}+ab$。
所以括号内应填$a^{2}+ab$。
(2)
根据分式的基本性质，要使$\frac{3}{4y}=\frac{( )}{4y(x + y)}$成立，分母由$4y$变为$4y(x + y)$，是乘以$(x + y)$，则分子也要乘以$(x + y)$，即$3×(x + y)=3(x + y)$。
所以括号内应填$3(x + y)$。
(3)
先对分子$x^{2}+xy$提取公因式$x$，得$x^{2}+xy = x(x + y)$，则原式$\frac{x^{2}+xy}{x^{2}}=\frac{x(x + y)}{x^{2}}$。
根据分式的基本性质，要使$\frac{x(x + y)}{x^{2}}=\frac{x + y}{( )}$成立，分子由$x(x + y)$变为$x + y$，是除以$x$，则分母也要除以$x$，即$x^{2}÷ x=x$。
所以括号内应填$x$。
综上，答案依次为：(1)$a^{2}+ab$；(2)$3(x + y)$；(3)$x$。
根据分式的基本性质，要使$\frac{a + b}{ab}=\frac{( )}{a^{2}b}$成立，分母由$ab$变为$a^{2}b$，是乘以$a$，则分子也要乘以$a$，即$(a + b)× a=a^{2}+ab$。
所以括号内应填$a^{2}+ab$。
(2)
根据分式的基本性质，要使$\frac{3}{4y}=\frac{( )}{4y(x + y)}$成立，分母由$4y$变为$4y(x + y)$，是乘以$(x + y)$，则分子也要乘以$(x + y)$，即$3×(x + y)=3(x + y)$。
所以括号内应填$3(x + y)$。
(3)
先对分子$x^{2}+xy$提取公因式$x$，得$x^{2}+xy = x(x + y)$，则原式$\frac{x^{2}+xy}{x^{2}}=\frac{x(x + y)}{x^{2}}$。
根据分式的基本性质，要使$\frac{x(x + y)}{x^{2}}=\frac{x + y}{( )}$成立，分子由$x(x + y)$变为$x + y$，是除以$x$，则分母也要除以$x$，即$x^{2}÷ x=x$。
所以括号内应填$x$。
综上，答案依次为：(1)$a^{2}+ab$；(2)$3(x + y)$；(3)$x$。
【例2】不改变分式的值，把分式$\frac{0.2x + 1}{5 - 0.3x}$的分子、分母中各项的系数化为整数。
答案
要将分式$\frac{0.2x + 1}{5 - 0.3x}$的分子、分母中各项的系数化为整数，观察分子、分母中各项系数$0.2$、$1$、$5$、$-0.3$，其中小数位数最多的是一位小数。根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以$10$，可得：
$\begin{aligned}\frac{(0.2x + 1)×10}{(5 - 0.3x)×10}&=\frac{0.2x×10 + 1×10}{5×10 - 0.3x×10}\\&=\frac{2x + 10}{50 - 3x}\end{aligned}$
结论：$\frac{2x + 10}{50 - 3x}$
$\begin{aligned}\frac{(0.2x + 1)×10}{(5 - 0.3x)×10}&=\frac{0.2x×10 + 1×10}{5×10 - 0.3x×10}\\&=\frac{2x + 10}{50 - 3x}\end{aligned}$
结论：$\frac{2x + 10}{50 - 3x}$
【变式2】不改变分式的值，把分式$\frac{\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}y}{\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y}$的分子、分母中各项的系数化为整数。
答案
$\frac{6x + 3y}{6x - 4y}$
解析
要将分式$\frac{\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}y}{\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y}$的分子、分母中各项系数化为整数，需找到分子、分母中各分数系数分母的最小公倍数。分子中$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{4}$的分母为2、4，分母中$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{3}$的分母为2、3，2、4、3的最小公倍数是12。
根据分式的基本性质，分子分母同乘12：
$\begin{aligned}&\frac{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}y) × 12}{(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y) × 12}\\=&\frac{\frac{1}{2}x × 12 + \frac{1}{4}y × 12}{\frac{1}{2}x × 12 - \frac{1}{3}y × 12}\\=&\frac{6x + 3y}{6x - 4y}\end{aligned}$
根据分式的基本性质，分子分母同乘12：
$\begin{aligned}&\frac{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}y) × 12}{(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y) × 12}\\=&\frac{\frac{1}{2}x × 12 + \frac{1}{4}y × 12}{\frac{1}{2}x × 12 - \frac{1}{3}y × 12}\\=&\frac{6x + 3y}{6x - 4y}\end{aligned}$
【例3】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“$-$”号。
(1)$\frac{-2a}{b}$；(2)$\frac{-4x}{-5y}$；(3)$\frac{3m}{-n}$；(4)$-\frac{2b}{-3c}$。
(1)$\frac{-2a}{b}$；(2)$\frac{-4x}{-5y}$；(3)$\frac{3m}{-n}$；(4)$-\frac{2b}{-3c}$。
答案
(1) 对于 $\frac{-2a}{b}$，根据分式的基本性质，分子分母同乘(或除以)同一个非零数，分式的值不变，所以：
$\frac{-2a}{b} = -\frac{2a}{b}$
(2) 对于 $\frac{-4x}{-5y}$，同样应用分式的基本性质，得：
$\frac{-4x}{-5y} = \frac{4x}{5y}$
(3) 对于 $\frac{3m}{-n}$，应用分式的基本性质，得：
$\frac{3m}{-n} = -\frac{3m}{n}$
(4) 对于 $-\frac{2b}{-3c}$，再次应用分式的基本性质，得：
$-\frac{2b}{-3c} = \frac{2b}{3c}$
$\frac{-2a}{b} = -\frac{2a}{b}$
(2) 对于 $\frac{-4x}{-5y}$，同样应用分式的基本性质，得：
$\frac{-4x}{-5y} = \frac{4x}{5y}$
(3) 对于 $\frac{3m}{-n}$，应用分式的基本性质，得：
$\frac{3m}{-n} = -\frac{3m}{n}$
(4) 对于 $-\frac{2b}{-3c}$，再次应用分式的基本性质，得：
$-\frac{2b}{-3c} = \frac{2b}{3c}$
