三、解答题
12.解方程：
(1)$8-2x=10-4x$； (2)$\frac{3x-1}{3}=\frac{4x-1}{6}-1$

12.解：(1)$x=1$. (2)$x=-\dfrac{5}{2}$.

【分析】
这两道题均为一元一次方程求解，遵循一元一次方程的通用解题思路：
（1）第一题无分母、括号，直接先移项，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项注意变号；再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。
（2）第二题含有分母，第一步先去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数6，注意不要漏乘不含分母的常数项；再去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步计算即可得到解。
【解析】
(1) 解方程$8-2x=10-4x$：
移项，得 $-2x+4x=10-8$
合并同类项，得 $2x=2$
系数化为1，得 $x=1$
(2) 解方程$\frac{3x-1}{3}=\frac{4x-1}{6}-1$：
去分母，两边同乘6，得 $2(3x-1)=4x-1-6$
去括号，得 $6x-2=4x-7$
移项，得 $6x-4x=-7+2$
合并同类项，得 $2x=-5$
系数化为1，得 $x=-\dfrac{5}{2}$
【答案】
(1)$x=1$；(2)$x=-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
一元一次方程求解；移项法则；去分母运算
【点评】
本题是一元一次方程的基础考察题，主要考查解一元一次方程的标准步骤，解题时需注意移项要变号，去分母时不要漏乘无分母的项，避免因细节错误失分。
【难度系数】
0.75

13.已知关于$x$的一元一次方程$\dfrac{3x -1}{2} + m = 3$，且$m$是正整数.
(1)当$m=4$时，求方程的解；
(2)若方程的解为正整数，求$m$的值.

13.解：(1)当$m=4$时，原方程为$\dfrac{3x-1}{2}+4=3$,解得$x=-\dfrac{1}{3}$.
(2)解方程$\dfrac{3x-1}{2}+m=3$,得$x=\dfrac{7-2m}{3}$.
因为方程的解为正整数，$m$是正整数，所以易得$m=2$.

【分析】
（1）第一小问的解题思路：直接把$m=4$代入原一元一次方程，再按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的常规解方程步骤求解即可。
（2）第二小问的解题思路：先把$m$当作常数，解关于$x$的一元一次方程，得到$x$用含$m$的代数式表示的形式，再结合“$x$是正整数、$m$是正整数”的限制条件，推导$7-2m$需要满足的要求，最终筛选出符合条件的$m$的值。
【解析】
(1) 当$m=4$时，代入原方程得：
$\dfrac{3x-1}{2} + 4 = 3$
去分母，两边同乘2：$3x - 1 + 8 = 6$
移项、合并同类项：$3x = -1$
系数化为1：$x = -\dfrac{1}{3}$
(2) 解关于$x$的方程$\dfrac{3x -1}{2} + m = 3$：
去分母，两边同乘2：$3x - 1 + 2m = 6$
移项、合并同类项：$3x = 7 - 2m$
系数化为1：$x = \dfrac{7 - 2m}{3}$
∵ 方程的解$x$为正整数，$m$是正整数
∴ $7-2m$是3的正整数倍，且$7-2m＞0$
当$7-2m=3$时，解得$m=2$，符合正整数要求；
当$7-2m≥6$时，解得$m≤0.5$，不符合$m$是正整数的要求，舍去；
综上，$m$的值为2。
【答案】
(1) $x=-\dfrac{1}{3}$；
(2) $m=2$
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 方程的解的定义
3. 整数解条件应用
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，第一问侧重考察解方程的基础运算能力，第二问结合正整数的取值限制考察参数求解，要求学生熟练掌握解方程的步骤，同时具备基础的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

14.新情境[2026金华期末]下面是兄弟俩的一段对话：
根据以上信息，哥哥买手机的预算是多少元？

14.解：设哥哥买手机的预算是$x$元，
根据题意，得$(x+599)×(1-15\%)=x+59.15$,
解得$x=3\ 000$,此时$(x+599)×15\%=3\ 599×0.15=539.85＜600$,符合条件.
答：哥哥买手机的预算是3 000元.

【分析】
本题要求哥哥买手机的预算，适合用一元一次方程求解，解题思路如下：第一步，设所求的预算为未知数x；第二步，梳理题干中的数量关系：手机原价比预算多599元，即原价为$(x+599)$元；店庆打八五折（即按原价的85%销售）后，花费的金额比预算少59.15元，也就是折后价等于预算加剩余的59.15元，据此找到等量关系列方程；第三步，求解方程，最后验证所得结果是否符合题目的附加限制条件，确认答案有效。
【解析】
解：设哥哥买手机的预算是$x$元，
根据题意，原价为$(x+599)$元，打八五折后的售价为$(x+599)×(1-15\%)$元，折后消费后还剩余59.15元，因此列方程得：
$(x+599)×(1-15\%)=x+59.15$
化简计算：
$0.85x + 509.15 = x + 59.15$
移项得：
$x - 0.85x = 509.15 - 59.15$
合并同类项得：
$0.15x = 450$
系数化为1得：
$x=3000$
检验：此时优惠金额为$(x+599)×15\%=3599×0.15=539.85$元，$539.85＜600$，符合题目优惠规则。
答：哥哥买手机的预算是3000元。
【答案】
3000元
【知识点】
一元一次方程的应用；打折销售问题
【点评】
本题结合生活中的购物打折场景命题，贴近实际，解题的核心是找准打折前后的价格等量关系，求出方程的解后要注意验证是否符合题目的隐含限制条件，保证结果符合实际要求。
【难度系数】
0.7

15. [2026合肥期中]定义:若关于x的方程$ax+b=0(a≠0)$的解与关于y的方程$cy+d=0(c≠0)$的解满足$|x−y|=m(m$为正数$)$,则称方程$ax+b=0(a≠0)$与方程$cy+d=0(c≠0)$是“$m$差解方程”.
(1)若$2x+4=0$与$3x−6=0$是“$n$差解方程”,则$n=$;
(2)若关于$x,y$的两个方程$2x=3m+6$与$2y=m$是“$4$差解方程”,则$m=$.

15.(1)4 (2)1或$-7$

【分析】
本题是新定义类题目，解题核心是先理解“m差解方程”的含义：分别求出两个一元一次方程的解，两个解的差的绝对值等于m。解题步骤为：①分别求解两个一元一次方程，得到两个未知数的解；②根据“差解方程”的定义列绝对值方程；③求解绝对值方程得到答案，注意绝对值等于正数的方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 求解方程$2x+4=0$：
移项得$2x=-4$，系数化为1得$x=-2$；
求解方程$3y-6=0$：
移项得$3y=6$，系数化为1得$y=2$；
根据“n差解方程”的定义，$|x-y|=n$，代入得$|-2-2|=4$，因此$n=4$。
(2) 求解方程$2x=3m+6$：
系数化为1得$x=\frac{3m+6}{2}$；
求解方程$2y=m$：
系数化为1得$y=\frac{m}{2}$；
已知两个方程是“4差解方程”，因此$|x-y|=4$，代入得：
$\left|\frac{3m+6}{2}-\frac{m}{2}\right|=4$
化简绝对值内的式子：$\frac{3m+6 - m}{2}=m+3$，即$|m+3|=4$；
根据绝对值的性质可得：$m+3=4$或$m+3=-4$，
分别解得$m=1$或$m=-7$。
【答案】
(1)4；(2)1或$-7$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，绝对值的性质
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的解法与绝对值的应用，解题关键是将新定义规则转化为常规的等量关系，注意绝对值方程求解时不要漏解。
【难度系数】
0.7

16.如图,数轴上两个动点A,B开始时所表示的数分别为-8,4,A,B两点各自以一定的速度在数轴上匀速运动,且点A的运动速度为每秒2个单位长度.
(1)若A,B两点同时出发相向而行,在原点处相遇,求点B的运动速度.
(2)若A,B两点按(1)中的速度同时出发,向数轴正方向运动,几秒时两点相距6个单位长度?
(3)若A,B两点按(1)中的速度同时出发,向数轴负方向运动,与此同时,点C从原点出发向同方向运动,且在运动过程中,始终有$CB:CA=1:2$.若干秒后,点C在-10所对应的点处,求此时点B的位置.

16.解：(1)设点$B$的运动速度为每秒$x$个单位长度，由题意得，相遇时间为$8÷2=4(\mathrm{s})$,则可列方程$4x=4$,解得$x=1$.
故点$B$的运动速度为每秒1个单位长度.
(2)设$t\ \mathrm{s}$时两点相距6个单位长度，
①当点$A$在点$B$左侧时，$2t-t=(4+8)-6$,解得$t=6$；
②当点$A$在点$B$右侧时，$2t-t=(4+8)+6$,解得$t=18$.
综上，$6\ \mathrm{s}$或$18\ \mathrm{s}$时两点相距6个单位长度.
(3)设点$C$运动的速度为每秒$y$个单位长度，运动时间为$a\ \mathrm{s}$.
由运动过程中始终有$CB:CA=1:2$,
可列方程$8+2a-ay=2×(4+ay-a)$,解得$y=\dfrac{4}{3}$.
当点$C$运动到$-10$所对应的点处时，所用的时间为$\dfrac{10}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{15}{2}(\mathrm{s})$,此时点$B$所表示的数为$4-\dfrac{15}{2}×1=-\dfrac{7}{2}$.
故此时点$B$的位置是$-\dfrac{7}{2}$所对应的点处.

【分析】
(1) 已知两点在原点相遇，先求点A从-8运动到原点的时间，该时间与点B从4运动到原点的时间相等，结合B的运动路程即可列方程求B的速度。
(2) 两点同向向正方向运动时，A速度更快，相距6个单位需分两种情况：一是A未追上B时相距6个单位，二是A追上B后超出B6个单位，分别根据路程差列方程求解即可。
(3) 三者同时向负方向运动，先根据CB:CA=1:2的固定比例列方程求出点C的运动速度，再由点C的位置求出总运动时间，最后计算此时点B的位置即可。
【解析】
(1) 设点B的运动速度为每秒$x$个单位长度。
点A运动到原点的时间为：$8÷2=4(\mathrm{s})$，此时点B运动的路程为4个单位，运动时间与A相同，可列方程：
$4x=4$
解得$x=1$。
(2) 设$t\ \mathrm{s}$时两点相距6个单位长度，A、B初始距离为$4-(-8)=12$个单位。
①当点A在点B左侧时，A比B多走的路程为$12-6$，列方程得：
$2t-t=12-6$
解得$t=6$；
②当点A在点B右侧时，A比B多走的路程为$12+6$，列方程得：
$2t-t=12+6$
解得$t=18$。
(3) 设点C运动的速度为每秒$y$个单位长度，运动时间为$a\ \mathrm{s}$。
运动$a$秒后，$CA=8+2a-ay$，$CB=4+ay-a$，由$CB:CA=1:2$列方程得：
$8+2a-ay=2×(4+ay-a)$
解得$y=\dfrac{4}{3}$。
当点C运动到-10处时，运动时间为$\dfrac{10}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{15}{2}(\mathrm{s})$，此时点B表示的数为：
$4-\dfrac{15}{2}×1=-\dfrac{7}{2}$。
【答案】
(1) 每秒1个单位长度；
(2) $6\ \mathrm{s}$或$18\ \mathrm{s}$；
(3) $-\dfrac{7}{2}$所对应的点处。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 数轴动点问题
3. 行程问题
【点评】
本题综合考查数轴动点与行程问题的结合，解题核心是找准不同运动阶段的等量关系列方程，需要注意分类讨论思想的运用，避免漏解，第三问需抓住运动过程中比例不变的条件突破，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5