6. 已知线段a，b，点A，P位置如图所示.
（1）画射线AP，请用圆规在射线AP上依次截取AB＝a，BC＝b，点A，C在点B的两侧；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作图形中，若M，N分别为AB，BC的中点，在图形中标出点M，N的位置.
A
P

6. 解 (1)如图所示，射线 $AP$、线段 $AB$、线段 $BC$ 即为所求.


(2)点 $M$，$N$ 的位置如上图所示.

【分析】
本题是基础尺规作图题，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先明确射线的定义，射线有1个端点，可向一端无限延伸，因此先以A为端点，过点P画出射线AP；接下来用尺规截取等长线段：先将圆规两脚对齐线段a的两端，固定开度后以A为圆心画弧，和射线AP的交点就是B，保证AB=a；再将圆规开度调整为线段b的长度，以B为圆心，在B点远离A的一侧画弧，和射线AP的交点就是C，即可满足A、C在B两侧且BC=b的要求。
2. 解决第(2)问：线段中点是把线段分成两条相等线段的点，用尺规作中点的方法为：分别以线段两端点为圆心，取大于线段一半长度为半径画弧，两弧的两个交点的连线与原线段的交点就是中点，按照该方法分别作出AB的中点M和BC的中点N即可。
【解析】
(1) ① 画射线AP：将直尺边缘对齐点A和点P，以A为端点，沿A指向P的方向画出射线；
② 截取AB=a：把圆规两脚张开，使两个脚尖分别对准线段a的两个端点，保持圆规开度不变，将圆规带针尖的脚固定在点A，旋转圆规画弧，弧与射线AP的交点记为B，此时AB=a；
③ 截取BC=b：调整圆规开度，使两个脚尖对准线段b的两个端点，保持开度不变，将圆规带针尖的脚固定在点B，在点B远离A的一侧画弧，弧与射线AP的交点记为C，此时BC=b，且A、C在点B的两侧，符合题目要求。
(2) 作AB的中点M：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别在AB的上下方各有一个交点，连接这两个交点，连线与AB的交点即为AB的中点M；
作BC的中点N：同理，分别以B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧交点的连线与BC的交点即为BC的中点N。
【答案】
(1)如图所示，射线 $AP$、线段 $AB$、线段 $BC$ 即为所求.

(2)点 $M$，$N$ 的位置如下图所示.

【知识点】
射线的画法，尺规作等长线段，作线段的中点
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，主要考察尺规作图的基本操作方法，熟练掌握射线、等长线段、线段中点的作图步骤是解题的关键，作图时要注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.9

7. 如图，两根木条的长度分别为7 cm和12 cm，在它们的中点处各打一个小孔M，N(木条的厚度、宽度以及小孔大小均忽略不计). 将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离MN= cm.

7. 2.5 或 9.5 解析 分别用线段 $AB$、线段 $CD$ 代表 $7\ \mathrm{cm}$、$12\ \mathrm{cm}$ 的小木条，点 $M$、点 $N$ 分别是线段 $AB$、线段 $CD$ 的中点，分两种情况讨论：
①当 $A$，$C$(或 $B$，$D$)重合，且剩余两端点在重合点同侧时，如图①.

$MN=CN-AM=\frac{1}{2}CD-\frac{1}{2}AB=6-3.5=2.5(\mathrm{cm}).$
②当 $A$，$C$(或 $B$，$D$)重合，且剩余两端点在重合点两侧时，如图②.

$MN=CN+AM=\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}AB=6+3.5=9.5(\mathrm{cm}).$ 故两根木条的小圆孔之间的距离 $MN$ 是 $2.5\ \mathrm{cm}$ 或 $9.5\ \mathrm{cm}.$

【分析】
解题时首先明确需要结合线段中点的性质，同时注意两根木条摆放存在两种位置情况，需分类讨论：第一步先计算出两根木条的中点到各自端点的长度，第二步分别分析剩余端点在重合端同侧、两侧时两小孔距离的计算方法，最后分别计算结果即可。
【解析】
设长7cm的木条为线段$AB$，长12cm的木条为线段$CD$，点$M$是$AB$的中点，点$N$是$CD$的中点。
根据线段中点的定义可得：
$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=3.5\ \mathrm{cm}$，$CN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
①当重合端（如$A$和$C$）的剩余两端点在重合点同侧时，如图①：

$MN=CN-AM=6-3.5=2.5(\mathrm{cm})$；
②当重合端（如$A$和$C$）的剩余两端点在重合点两侧时，如图②：

$MN=CN+AM=6+3.5=9.5(\mathrm{cm})$。
【答案】
2.5或9.5
【知识点】
线段中点、线段和差计算、分类讨论
【点评】
本题是线段运算的典型易错题，解题的关键是考虑到两根木条摆放的两种位置情况，避免漏解，熟练掌握线段中点的性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7

8. 如图，已知点B，C在线段AD上，且AB＝CD.
(1)比较线段的大小：AC BD；(填“＞”“＝”或“＜”)
(2)当AD＝18，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点时，求线段MN的长度.
(3)在(2)中其他条件不变，当AD＝a，BC＝b时，求线段MN的长度.(用含a，b的式子表示)

8. 解 (1) $=$
(2) 因为 $AD=18$，$BC=12$，所以 $AB+CD=AD-BC=18-12=6.$ 因为 $M$ 是 $AB$ 中点，$N$ 是 $CD$ 中点，所以 $MB=\frac{1}{2}AB$，$CN=\frac{1}{2}CD$，所以 $MB+CN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}×6=3,$
所以 $MN=MB+CN+BC=3+12=15.$
(3) 因为 $AD=a$，$BC=b$，所以 $AB+CD=AD-BC=a-b$，因为 $M$ 是 $AB$ 中点，$N$ 是 $CD$ 中点，所以 $MB=\frac{1}{2}AB$，$CN=\frac{1}{2}CD$，所以 $MB+CN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}(a-b)$，所以 $MN=MB+CN+BC=\frac{1}{2}(a-b)+b=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+b}{2}.$

【分析】
(1) 观察线段AC和BD的组成：AC=AB+BC，BD=CD+BC，已知AB=CD，两个式子加相等的公共部分BC，结果仍相等，即可判断AC和BD的大小关系。
(2) 先求AB与CD的长度和：用总线段AD的长度减去公共部分BC的长度即可得到；再根据线段中点的性质，得MB是AB的一半、CN是CD的一半，可求出MB与CN的长度和；最后MN由MB、CN、BC三部分组成，相加即可算出结果。
(3) 解题思路和第(2)问完全一致，仅把具体数值替换为字母a、b，按照相同的推导步骤即可得到用a、b表示的MN的长度。
【解析】
(1)
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD。
(2) 已知AD=18，BC=12，
∴AB+CD=AD-BC=18-12=6，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴$MB=\frac{1}{2}AB$，$CN=\frac{1}{2}CD$，
∴$MB+CN=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}×6=3$，
∴$MN=MB+CN+BC=3+12=15$。
(3) 当AD=a，BC=b时，
∴AB+CD=AD-BC=a-b，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴$MB=\frac{1}{2}AB$，$CN=\frac{1}{2}CD$，
∴$MB+CN=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}(a-b)$，
∴$MN=MB+CN+BC=\frac{1}{2}(a-b)+b=\frac{a+b}{2}$。
【答案】
(1) $=$；(2) $15$；(3) $\frac{a+b}{2}$
【知识点】
线段的和差运算；线段中点的定义；列代数式
【点评】
本题采用递进式设问，从具体数值计算到一般代数式推导，核心考察线段和差的拆分方法与中点性质的应用，解题时只需理清所求线段和已知线段的组成关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.8