6. 利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程.
(1)$5x - 3 = 7$；
(2)$4x - 1 = 3x + 3$.

6. 解 (1)原方程两边同时加 3，得$5x=10$，方程两边同时除以 5，得$x=2$.
检验：当 $x=2$ 时，左边 $=10-3=7$，方程左、右两边的值相等，所以 $x=2$ 是原方程的解.
(2)原方程两边同时加上 1，得 $4x=3x+4$，两边同时减去 $3x$，得 $x=4$.
检验：当 $x=4$ 时，左边 $=16-1=15$，右边 $=12+3=15$，方程左、右两边的值相等，所以 $x=4$ 是原方程的解.

【分析】
解此类方程需要运用等式的性质逐步将方程变形为“x=a”的形式，再代入原方程检验解是否正确。对于(1)，首先利用等式性质1，两边同时加3消去左边的常数项-3，得到仅含x项的等式，再利用等式性质2两边同时除以x的系数5，即可求出x的值；对于(2)，先利用等式性质1两边加1消去左边的-1，再利用等式性质1两边减3x，将含x的项统一移到左边，即可求出x的值。检验时只需将求得的x的值代入原方程左右两边，若两边计算结果相等，则该值是方程的解。
【解析】
(1)原方程两边同时加3，得$5x=10$，方程两边同时除以5，得$x=2$。
检验：当 $x=2$ 时，左边 $=10-3=7$，方程左、右两边的值相等，所以 $x=2$ 是原方程的解。
(2)原方程两边同时加上1，得 $4x=3x+4$，两边同时减去 $3x$，得 $x=4$。
检验：当 $x=4$ 时，左边 $=16-1=15$，右边 $=12+3=15$，方程左、右两边的值相等，所以 $x=4$ 是原方程的解。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=4$
【知识点】
等式的性质，一元一次方程的解法，方程的检验
【点评】
本题是利用等式性质解一元一次方程的基础题型，重点考查等式性质的规范运用，检验环节能有效验证解的正确性，解题时注意每一步变形都要保证等式两边同时进行相同运算，避免出现变形错误。
【难度系数】
0.9

7. 利用等式的性质解决下列问题：
(1)若$2m+3=n-7$，求$2m-n$的值；
(2)若$a-2=2b+5$，求$2a-4b$的值。

7. 解 (1)根据等式的性质 1，将 $2m+3=n-7$ 的两边同时加 $(-3-n)$，得 $2m-n=-10$.
(2)根据等式的性质 1，将 $a-2=2b+5$ 的两边同时加 $(2-2b)$，得 $a-2b=7$. 再根据等式的性质 2，将 $a-2b=7$ 的两边同时乘 2，得 $2a-4b=14$.

【分析】
本题需结合等式的性质，根据待求代数式的结构对已知等式进行变形求解：
(1) 目标代数式为$2m-n$，观察已知等式$2m+3=n-7$，只需将含$n$的项移到等式左侧，常数项移到等式右侧，利用等式的性质1即可直接求出结果；
(2) 目标代数式为$2a-4b$，可先变形为$2(a-2b)$，先利用等式的性质1对已知等式$a-2=2b+5$变形得到$a-2b$的值，再利用等式的性质2将所得等式两边同时乘2，即可求出$2a-4b$的值。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，将$2m+3=n-7$的两边同时加$(-3-n)$（即同时减3、减n），得：
$2m+3-3-n=n-7-3-n$
化简后得$2m-n=-10$。
(2) 根据等式的性质1，将$a-2=2b+5$的两边同时加$(2-2b)$（即同时加2、减2b），得：
$a-2+2-2b=2b+5+2-2b$
化简后得$a-2b=7$；
再根据等式的性质2，将$a-2b=7$的两边同时乘2，得：
$2×(a-2b)=2×7$
即$2a-4b=14$。
【答案】
(1) $\boxed{-10}$；(2) $\boxed{14}$
【知识点】
等式的性质，代数式求值
【点评】
本题考查等式性质的灵活运用，解题核心是根据待求式的结构对已知等式进行合理变形，要注意等式变形时两边需同时进行相同的运算，避免出现漏运算的错误。
【难度系数】
0.8

8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x - 2m + 1 = 0 $与 $ 2 = x - m $ 的解互为相反数，试求 $ m $ 的值.

8. 解 方程 $x-2m+1=0$ 两边同时加 $(2m-1)$，得 $x=2m-1$. 方程 $2=x-m$，即 $x-m=2$，两边同时加 $m$，得 $x=2+m$.
因为关于 $x$ 的方程 $x-2m+1=0$ 与 $2=x-m$ 的解互为相反数，所以 $2m-1+2+m=0$，整理得 $3m+1=0$，方程两边同时减 1，得 $3m=-1$，方程两边同时除以 3，得 $m=-\frac{1}{3}$.

【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：第一步，先根据等式的性质，分别把两个方程中的x用含m的代数式表示出来，也就是求出两个方程的解；第二步，回忆相反数的性质：互为相反数的两个数相加得0，结合题目给出的“两个方程的解互为相反数”的条件，就能列出关于m的一元一次方程；第三步，解这个新的一元一次方程，就能求出m的值。
【解析】
首先解第一个方程$x - 2m + 1 = 0$：
根据等式的性质1，等式两边同时加$(2m - 1)$，可得$x = 2m - 1$。
再解第二个方程$2 = x - m$：
先把方程变形为$x - m = 2$，根据等式的性质1，等式两边同时加m，可得$x = 2 + m$。
已知两个方程的解互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$(2m - 1) + (2 + m) = 0$
合并同类项得：$3m + 1 = 0$
根据等式的性质1，两边同时减1，得：$3m = -1$
根据等式的性质2，两边同时除以3，得：$m = -\frac{1}{3}$
【答案】
$m = -\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程的解
3. 相反数的性质
【点评】
本题核心是将方程的解的关系转化为关于参数m的方程，解题时需要熟练运用等式的性质求解一元一次方程，同时准确运用相反数的性质建立等量关系，整体逻辑清晰，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8

1. 下列各方程合并同类项中，不正确的是 ()

A.由 $4x - 2x = 4$，得 $2x = 4$
B.由 $2x - 3x = 3$，得 $-x = 3$
C.由 $5x - 2x + 3x = 12$，得 $x = 12$
D.由 $-7x + 2x = 5$，得 $-5x = 5$

1. C 解析 C项，$5x - 2x + 3x = 12$，合并同类项得 $6x = 12$，原选项错误，符合题意。

【分析】
本题要求选出合并同类项错误的选项，解题核心是掌握合并同类项的法则：合并同类项时，仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。我们只需逐个计算每个选项等号左侧同类项合并后的结果，再与选项给出的结果对比即可找到答案。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：$4x - 2x = (4-2)x = 2x$，因此可得$2x=4$，该选项合并正确，不符合题意；
B选项：$2x - 3x = (2-3)x = -x$，因此可得$-x=3$，该选项合并正确，不符合题意；
C选项：$5x - 2x + 3x = (5-2+3)x = 6x$，因此合并后应为$6x=12$，不是$x=12$，该选项合并错误，符合题意；
D选项：$-7x + 2x = (-7+2)x = -5x$，因此可得$-5x=5$，该选项合并正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查合并同类项的运算规则，解题时需要注意系数加减时的符号问题，熟练掌握合并同类项法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 关于$x$的方程$2mx + 3m = -1$与$3x + 6x = -3$的解相同，则$m$的值为()

A.$\frac{3}{7}$
B.$-\frac{3}{7}$
C.$\frac{7}{3}$
D.$-\frac{7}{3}$

2. B 解析 由 $3x + 6x = -3$，解得$x=-\frac{1}{3}$。根据题意，$x=-\frac{1}{3}$也是方程$2mx + 3m = -1$的解，所以 $-\frac{2}{3} m + 3m = -1$，解得 $m=-\frac{3}{7}$。

【分析】
已知两个方程的解相同，即两个方程的未知数$x$的取值完全一致。解题时先求解不含参数$m$的第二个方程，得到$x$的具体数值，再将该数值代入第一个含$m$的方程，就能得到仅关于$m$的一元一次方程，求解该方程即可得到$m$的值。
【解析】
1. 求解方程$3x + 6x = -3$：
合并同类项得$9x = -3$，
系数化为1得$x = -\frac{1}{3}$。
2. 由于两个方程解相同，将$x = -\frac{1}{3}$代入方程$2mx + 3m = -1$得：
$2m×(-\frac{1}{3}) + 3m = -1$，
化简左边得$-\frac{2}{3}m + \frac{9}{3}m = \frac{7}{3}m$，
即$\frac{7}{3}m = -1$，
系数化为1得$m = -\frac{3}{7}$。
【答案】
B
【知识点】
同解方程的性质，解一元一次方程，方程的解的定义
【点评】
本题属于同解方程的基础应用题型，解题关键是先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程求解未知量，需要熟练掌握一元一次方程的求解步骤，注意计算过程中符号的正确性。
【难度系数】
0.7

3. 下列方程移项正确的是 ()

A.$4x - 2 = -5$ 移项，得 $4x = 5 - 2$
B.$4x - 2 = -5$ 移项，得 $4x = -5 - 2$
C.$3x + 2 = 4x$ 移项，得 $3x - 4x = 2$
D.$3x + 2 = 4x$ 移项，得 $3x - 4x = -2$

3. D

【分析】
解题的核心是牢记移项的基本规则：把方程中的某一项从等号的一边移到另一边时，必须改变该项的符号。我们只需按照这个规则逐一验证每个选项的移项过程是否正确，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确移项法则：方程中的项从等号一侧移动到另一侧时，符号要变为相反符号。
选项A：方程$4x - 2 = -5$，将左边的$-2$移到右边应变号为$+2$，正确移项结果为$4x = -5 + 2$，A中$-2$移项未变号，还错误改动了$-5$的符号，故A错误。
选项B：方程$4x - 2 = -5$，移项后结果应为$4x = -5 + 2$，B中$-2$移项未变号，故B错误。
选项C：方程$3x + 2 = 4x$，将$+2$移到右边应变号为$-2$，$4x$移到左边应变号为$-4x$，正确移项结果为$3x - 4x = -2$，C中$2$移项未变号，故C错误。
选项D：移项过程符合“移项变号”的规则，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
移项法则、解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题目，重点考查移项的操作规则，易错点是移项时遗漏改变对应项的符号，牢记“移项必变号”的核心要求即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8