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8. 在联欢晚会上，有A，B，C三名同学分别站在一个三角形的三个顶点的位置. 他们在玩一个游戏：要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，凳子应放在$△ ABC$的三条
垂直平分
线的交点最适当.答案
8. 垂直平分
解析
【分析】
首先将实际问题转化为数学问题：要让三名同学抢凳子的机会相等，本质是找一个到△ABC三个顶点A、B、C距离都相等的点。再回忆相关几何性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此同时到三个顶点距离相等的点，需要同时在三条边的垂直平分线上，即三条边垂直平分线的交点，由此推导答案。
【解析】
要使A、B、C三名同学抢坐到凳子的机会相等，需满足凳子到三名同学的距离相等，即凳子所在的点到△ABC的三个顶点的距离相等。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
可知：到A、B两点距离相等的点在AB边的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点在BC边的垂直平分线上，到A、C两点距离相等的点在AC边的垂直平分线上，三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，因此凳子应放在△ABC三条边的垂直平分线的交点处。
【答案】
垂直平分
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外心的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题关键是将实际问题转化为“求到三角形三个顶点距离相等的点”的数学问题，要求学生能熟练运用线段垂直平分线的性质解决实际问题。
【难度系数】
0.8
首先将实际问题转化为数学问题：要让三名同学抢凳子的机会相等，本质是找一个到△ABC三个顶点A、B、C距离都相等的点。再回忆相关几何性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此同时到三个顶点距离相等的点，需要同时在三条边的垂直平分线上，即三条边垂直平分线的交点，由此推导答案。
【解析】
要使A、B、C三名同学抢坐到凳子的机会相等，需满足凳子到三名同学的距离相等，即凳子所在的点到△ABC的三个顶点的距离相等。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
可知：到A、B两点距离相等的点在AB边的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点在BC边的垂直平分线上，到A、C两点距离相等的点在AC边的垂直平分线上，三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，因此凳子应放在△ABC三条边的垂直平分线的交点处。
【答案】
垂直平分
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外心的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题关键是将实际问题转化为“求到三角形三个顶点距离相等的点”的数学问题，要求学生能熟练运用线段垂直平分线的性质解决实际问题。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标均为整数，过A，B，C三点作圆，并求此圆的半径。
答案
9. $\frac{\sqrt{10}}{2}$（图略）
解析
【分析】
首先根据平面直角坐标系的坐标定义，确定A、B、C三点的坐标。由于不在同一直线上的三点确定一个圆，该圆的圆心（外心）到三个点的距离相等，因此我们可以设圆心坐标为(x,y)，利用圆心到三点距离相等列方程求解圆心坐标，再用勾股定理计算圆心到任意一点的距离，即可得到圆的半径。
【解析】
第一步：确定三点坐标，由图可得：$ A(1,3) $，$ B(2,4) $，$ C(4,2) $。
第二步：设过A、B、C三点的圆的圆心为$ M(x,y) $，根据圆心到圆上各点距离相等，可得$ MA=MB=MC $，即$ MA^2=MB^2 $，$ MB^2=MC^2 $。
列方程$ MA^2=MB^2 $：
$ (x-1)^2 + (y-3)^2 = (x-2)^2 + (y-4)^2 $
展开化简得：$ x + y = 5 $ ①
列方程$ MB^2=MC^2 $：
$ (x-2)^2 + (y-4)^2 = (x-4)^2 + (y-2)^2 $
展开化简得：$ x = y $ ②
联立①②，解得$ x=\frac{5}{2} $，$ y=\frac{5}{2} $，即圆心$ M(\frac{5}{2},\frac{5}{2}) $。
第三步：计算半径$ r=MA $：
$ r=\sqrt{(\frac{5}{2}-1)^2 + (\frac{5}{2}-3)^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2} $
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
三点定圆，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题型，解题核心是掌握外心到三个顶点距离相等的性质，通过坐标法列方程求出圆心坐标，再结合勾股定理计算半径，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
首先根据平面直角坐标系的坐标定义，确定A、B、C三点的坐标。由于不在同一直线上的三点确定一个圆，该圆的圆心（外心）到三个点的距离相等，因此我们可以设圆心坐标为(x,y)，利用圆心到三点距离相等列方程求解圆心坐标，再用勾股定理计算圆心到任意一点的距离，即可得到圆的半径。
【解析】
第一步：确定三点坐标，由图可得：$ A(1,3) $，$ B(2,4) $，$ C(4,2) $。
第二步：设过A、B、C三点的圆的圆心为$ M(x,y) $，根据圆心到圆上各点距离相等，可得$ MA=MB=MC $，即$ MA^2=MB^2 $，$ MB^2=MC^2 $。
列方程$ MA^2=MB^2 $：
$ (x-1)^2 + (y-3)^2 = (x-2)^2 + (y-4)^2 $
展开化简得：$ x + y = 5 $ ①
列方程$ MB^2=MC^2 $：
$ (x-2)^2 + (y-4)^2 = (x-4)^2 + (y-2)^2 $
展开化简得：$ x = y $ ②
联立①②，解得$ x=\frac{5}{2} $，$ y=\frac{5}{2} $，即圆心$ M(\frac{5}{2},\frac{5}{2}) $。
第三步：计算半径$ r=MA $：
$ r=\sqrt{(\frac{5}{2}-1)^2 + (\frac{5}{2}-3)^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2} $
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
三点定圆，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题型，解题核心是掌握外心到三个顶点距离相等的性质，通过坐标法列方程求出圆心坐标，再结合勾股定理计算半径，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知$A(0,4)$，$B(4,4)$，$C(6,2)$。
(1) 求经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标和圆的半径；
(2) 判断点$D(5,-2)$与$\odot M$的位置关系。
(1) 求经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标和圆的半径；
(2) 判断点$D(5,-2)$与$\odot M$的位置关系。
答案
10. 解 （1）如图，圆心M的坐标为(2，0).
因为A(0，4)，M(2，0)，所以$MA=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，即$\odot M$的半径为$2\sqrt{5}$.
（2）因为D(5，−2)，M(2，0)，所以$DM=\sqrt{(5-2)^2+2^2}=\sqrt{13}$. 因为$\sqrt{13}＜2\sqrt{5}$，所以点D在$\odot M$内.
解析
【分析】
(1) 求过三点的圆弧的圆心，依据圆的性质：圆心到圆上各点距离相等，且在任意弦的垂直平分线上。首先观察A、B两点纵坐标相同，可知AB是水平线段，其垂直平分线为竖直线x=2，因此圆心横坐标为2，设圆心M坐标为(2,m)，再利用MA=MC列方程求解即可得到M的纵坐标，最后用两点间距离公式计算半径。
(2) 判断点与圆的位置关系，只需计算点到圆心的距离，再与半径比较：距离小于半径时，点在圆内；等于半径时，点在圆上；大于半径时，点在圆外。
【解析】
(1) 已知A(0,4)，B(4,4)，两点纵坐标相等，线段AB平行于x轴，因此AB的垂直平分线为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$，即圆心M在直线$x=2$上，设$M(2,m)$。
由圆心到圆上点的距离相等，得$MA=MC$，即$MA^2=MC^2$，代入坐标得：
$(2-0)^2+(m-4)^2=(2-6)^2+(m-2)^2$
展开化简：
$4+m^2-8m+16=16+m^2-4m+4$
移项计算得$m=0$，因此圆心M的坐标为$(2,0)$。
半径$r=MA=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$。
(2) 计算点D(5,-2)到圆心M的距离：
$DM=\sqrt{(5-2)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
因为$2\sqrt{5}=\sqrt{20}$，$\sqrt{13}＜\sqrt{20}$，即$DM＜r$，因此点D在$\odot M$内。
【答案】
（1）圆心M的坐标为(2，0)，$\odot M$的半径为$2\sqrt{5}$。
（2）点D在$\odot M$内。
【知识点】
垂径定理，两点间距离公式，点与圆的位置关系判定
【点评】
本题侧重基础方法的考查，解题关键是利用弦的垂直平分线交点为圆心的性质确定圆心位置，通过距离比较判断点和圆的位置关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 求过三点的圆弧的圆心，依据圆的性质：圆心到圆上各点距离相等，且在任意弦的垂直平分线上。首先观察A、B两点纵坐标相同，可知AB是水平线段，其垂直平分线为竖直线x=2，因此圆心横坐标为2，设圆心M坐标为(2,m)，再利用MA=MC列方程求解即可得到M的纵坐标，最后用两点间距离公式计算半径。
(2) 判断点与圆的位置关系，只需计算点到圆心的距离，再与半径比较：距离小于半径时，点在圆内；等于半径时，点在圆上；大于半径时，点在圆外。
【解析】
(1) 已知A(0,4)，B(4,4)，两点纵坐标相等，线段AB平行于x轴，因此AB的垂直平分线为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$，即圆心M在直线$x=2$上，设$M(2,m)$。
由圆心到圆上点的距离相等，得$MA=MC$，即$MA^2=MC^2$，代入坐标得：
$(2-0)^2+(m-4)^2=(2-6)^2+(m-2)^2$
展开化简：
$4+m^2-8m+16=16+m^2-4m+4$
移项计算得$m=0$，因此圆心M的坐标为$(2,0)$。
半径$r=MA=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$。
(2) 计算点D(5,-2)到圆心M的距离：
$DM=\sqrt{(5-2)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
因为$2\sqrt{5}=\sqrt{20}$，$\sqrt{13}＜\sqrt{20}$，即$DM＜r$，因此点D在$\odot M$内。
【答案】
（1）圆心M的坐标为(2，0)，$\odot M$的半径为$2\sqrt{5}$。
（2）点D在$\odot M$内。
【知识点】
垂径定理，两点间距离公式，点与圆的位置关系判定
【点评】
本题侧重基础方法的考查，解题关键是利用弦的垂直平分线交点为圆心的性质确定圆心位置，通过距离比较判断点和圆的位置关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
