原题1:已知二次函数的图象经过点A(-2,0),B(1,4),若:
(1)图象还经过点C(-1,-8),求这个二次函数的表达式。
(2)B是顶点,求这个二次函数的表达式。
(3)图象的对称轴是直线$x=2$,求这个二次函数的表达式。
【解析】求二次函数表达式的方法一般为
①一般式:代入已知三点,列三元一次方程组,求解$a,b,c$的值;
②顶点式:在已知二次函数顶点或对称轴时,设顶点式求解;
③其他:也可用交点式列式求解,如已知二次函数与$x$轴交点的横坐标为$x_1,x_2$,可设$y=a(x-x_1)(x-x_2)$。
条件变式:如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$和$B(0,\frac{5}{2})$,顶点为$C$。
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式。
(2)求顶点$C$的坐标。
(3)当$y≥\frac{5}{2}$时,直接写出$x$的取值范围。
问题变式:华罗庚说:"复杂的问题要善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到最原始而不失重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。"可见,复杂的问题有时需要"退"到本质上再研究。如图,已知抛物线$y=-x^2+2x-1$的图象与$f$的图象关于直线$y=x$对称,我们把探索线的变化规律"退"到探索点的变化规律上再研究,可以得到图象$f$所对应的关于$x$与$y$的关系式为$x=-y^2+2y-1$。若抛物线$y=-x^2+2x-1$与$g$的图象关于$y=-x$对称,则图象$g$所对应的关于$x$与$y$的关系式为。

原题1:
(1)设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c$,代入点 A,B,C 的坐标,得$\begin{cases}4a-2b+c=0,\\a+b+c=4,\\a-b+c=-8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{14}{3},\\b=6,\\c=-\frac{20}{3},\end{cases}$ 所以二次函数的表达式为$y=\frac{14}{3}x^2+6x-\frac{20}{3}$。
(2)因为 B 为顶点,可设表达式为$y=a(x-1)^2+4$,再代入点 A(-2,0),得到$9a+4=0,a=-\frac{4}{9}$。所以二次函数的表达式为$y=-\frac{4}{9}(x-1)^2+4$。
(3)因为图象的对称轴为直线$x=2$,且经过点 A(-2,0),则图象与 x 轴的另一个交点的坐标为(6,0),可设表达式为$y=a(x+2)(x-6)$,代入点 B(1,4),得$3×(-5)a=4$,解得$a=-\frac{4}{15}$,所以二次函数的表达式为$y=-\frac{4}{15}(x+2)(x-6)$。
条件变式:
(1)因为抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$和$B(0,\frac{5}{2})$,所以$\begin{cases}-\frac{1}{2}-b+c=0,\\c=\frac{5}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=\frac{5}{2},\end{cases}$ 所以这条抛物线所对应的二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{5}{2}$。
(2)因为$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{9}{2}$,顶点 C 的坐标为$(2,\frac{9}{2})$。
(3)当$y=\frac{5}{2}$时,则$-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$,解得$x=0$或 4,根据图象得当$y≥\frac{5}{2}$时,$0≤x≤4$。
问题变式:$x=y^2+2y+1$

原题2:已知$(-1,y_1),(-2,y_2),(-4,y_3)$是抛物线$y=-2x^2 -8x +m$上的点,则
()

A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
C.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
D.$y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$
【解析】二次函数增减性与对称轴息息相关。当$a＞0$时,$x$取值越接近对称轴,$y$值越小;当$a＜0$时,$x$取值越接近对称轴,$y$值越大。

C