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知识点一 等式的性质
知识梳理
等式的性质1:等式两边加(或减)
用式子表示:如果$a=b$,那么$a\pm c=b$
等式的性质2:等式两边乘
用式子表示:如果$a=b$,那么$ac=$
如果$a=b,c≠0$,那么$\frac{a}{c}=$
知识梳理
等式的性质1:等式两边加(或减)
同一个数
(或式子),结果仍相等
.用式子表示:如果$a=b$,那么$a\pm c=b$
$\pm c$
.等式的性质2:等式两边乘
同一个数
,或除以同一个不为0的数
,结果仍相等.用式子表示:如果$a=b$,那么$ac=$
$bc$
;如果$a=b,c≠0$,那么$\frac{a}{c}=$
$\frac{b}{c}$
.答案
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
用式子表示:如果$a=b$,那么$a\pm c=b\pm c$.
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
用式子表示:如果$a=b$,那么$ac=bc$;
如果$a=b,c≠0$,那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$.
用式子表示:如果$a=b$,那么$a\pm c=b\pm c$.
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
用式子表示:如果$a=b$,那么$ac=bc$;
如果$a=b,c≠0$,那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$.
解析
【分析】
本题考查等式两条基本性质的识记，解题时需回忆课本中关于等式性质的规范表述：首先梳理等式性质1的核心要点：等式两边做加（减）运算时，必须加（减）同一个数或式子，结果才保持相等，对应式子表示时两边要同时加减同一个c；再梳理等式性质2的核心要点：乘运算时要乘同一个数，除运算时必须除以同一个不为0的数（因为0不能作除数），对应式子表示时两边同时乘或除以同一个非0数，等号仍成立。
【解析】
根据等式的性质规范表述逐一填空：
1. 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；用式子表示：如果$a=b$，那么$a\pm c=b\pm c$。
2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；用式子表示：如果$a=b$，那么$ac=bc$；如果$a=b,c≠0$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$。
【答案】
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
用式子表示:如果$a=b$,那么$a\pm c=b\pm c$.
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
用式子表示:如果$a=b$,那么$ac=bc$;
如果$a=b,c≠0$,那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$.
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是对等式基本性质的直接考查，属于基础概念题型，解题的关键是准确记忆性质的细节内容，尤其要注意等式性质2中“除以同一个不为0的数”的限制条件，等式的性质是后续解方程的核心依据，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查等式两条基本性质的识记，解题时需回忆课本中关于等式性质的规范表述：首先梳理等式性质1的核心要点：等式两边做加（减）运算时，必须加（减）同一个数或式子，结果才保持相等，对应式子表示时两边要同时加减同一个c；再梳理等式性质2的核心要点：乘运算时要乘同一个数，除运算时必须除以同一个不为0的数（因为0不能作除数），对应式子表示时两边同时乘或除以同一个非0数，等号仍成立。
【解析】
根据等式的性质规范表述逐一填空：
1. 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；用式子表示：如果$a=b$，那么$a\pm c=b\pm c$。
2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；用式子表示：如果$a=b$，那么$ac=bc$；如果$a=b,c≠0$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$。
【答案】
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
用式子表示:如果$a=b$,那么$a\pm c=b\pm c$.
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
用式子表示:如果$a=b$,那么$ac=bc$;
如果$a=b,c≠0$,那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$.
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是对等式基本性质的直接考查，属于基础概念题型，解题的关键是准确记忆性质的细节内容，尤其要注意等式性质2中“除以同一个不为0的数”的限制条件，等式的性质是后续解方程的核心依据，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
例1 下列说法错误的是 (
A.若$a = b$，则$a + c = b + c$
B.若$a = b$，则$a - c = b - c$
C.若$ac = bc$，则$a = b$
D.若$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，则$a = b$
【规律方法】
利用等式的性质2进行变形时，一定要注意除数不能为0. 若等式两边除以一个含字母的式子时，则这个式子的值不能为0.
C
)A.若$a = b$，则$a + c = b + c$
B.若$a = b$，则$a - c = b - c$
C.若$ac = bc$，则$a = b$
D.若$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，则$a = b$
【规律方法】
利用等式的性质2进行变形时，一定要注意除数不能为0. 若等式两边除以一个含字母的式子时，则这个式子的值不能为0.
答案
C
解析
【分析】
这道题考查等式的性质的应用，解题时需要逐一结合等式的两个性质判断每个选项的正误：首先回忆等式性质1：等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。判断C、D选项时要重点注意除数是否可能为0的情况。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$a=b$，根据等式性质1，等式两边同时加同一个数$c$，所得结果仍相等，即$a+c = b+c$，该说法正确。
B选项：若$a=b$，根据等式性质1，等式两边同时减同一个数$c$，所得结果仍相等，即$a-c = b-c$，该说法正确。
C选项：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$取何值，等式都成立，此时无法推出$a=b$，该说法错误。
D选项：若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，由分母不为0可知$c≠0$，根据等式性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数$c$，可得$a=b$，该说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；等式变形注意事项
【点评】
本题是等式性质的基础应用题，易错点在于忽略运用等式性质2做除法变形时，除数不能为0的约束条件，解题时遇到含字母的除数要先判断其是否可能为0。
【难度系数】
0.7
这道题考查等式的性质的应用，解题时需要逐一结合等式的两个性质判断每个选项的正误：首先回忆等式性质1：等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。判断C、D选项时要重点注意除数是否可能为0的情况。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$a=b$，根据等式性质1，等式两边同时加同一个数$c$，所得结果仍相等，即$a+c = b+c$，该说法正确。
B选项：若$a=b$，根据等式性质1，等式两边同时减同一个数$c$，所得结果仍相等，即$a-c = b-c$，该说法正确。
C选项：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$取何值，等式都成立，此时无法推出$a=b$，该说法错误。
D选项：若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，由分母不为0可知$c≠0$，根据等式性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数$c$，可得$a=b$，该说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；等式变形注意事项
【点评】
本题是等式性质的基础应用题，易错点在于忽略运用等式性质2做除法变形时，除数不能为0的约束条件，解题时遇到含字母的除数要先判断其是否可能为0。
【难度系数】
0.7
1. 已知$x,y,c$是有理数,则下列说法正确的是 (
A.若$x=y$,则$x+c=y-c$
B.若$x=y$,则$xc=yc$
C.若$x=y$,则$\frac{x}{c}=\frac{y}{c}$
D.若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$,则$2x=3y$
B
)A.若$x=y$,则$x+c=y-c$
B.若$x=y$,则$xc=yc$
C.若$x=y$,则$\frac{x}{c}=\frac{y}{c}$
D.若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$,则$2x=3y$
答案
B
解析
【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题时需结合等式的两个性质逐一判断每个选项：首先明确等式性质1为等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2为等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，判断时尤其要注意除数不能为0的前提条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$x=y$，根据等式性质1，等式两边需同时加或减同一个数，才能保证等式成立，本选项左边加$c$、右边减$c$，不符合等式性质1，故A错误。
B选项：若$x=y$，根据等式性质2，等式两边同时乘同一个数$c$，无论$c$取何有理数，都有$xc=yc$，故B正确。
C选项：若$x=y$，等式两边同时除以$c$的前提是$c≠0$，本选项未说明$c$不为0，若$c=0$，除数为0无意义，故C错误。
D选项：若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$，可知$c≠0$（分母不为0），等式两边同时乘$6c$，左边得$3x$，右边得$2y$，即$3x=2y$，不是$2x=3y$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点在于忽略等式两边作除法运算时除数不能为0的限制，以及去分母时计算错误，解题时要紧扣性质的前提条件判断。
【难度系数】
0.8
本题考查等式的基本性质的应用，解题时需结合等式的两个性质逐一判断每个选项：首先明确等式性质1为等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2为等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，判断时尤其要注意除数不能为0的前提条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$x=y$，根据等式性质1，等式两边需同时加或减同一个数，才能保证等式成立，本选项左边加$c$、右边减$c$，不符合等式性质1，故A错误。
B选项：若$x=y$，根据等式性质2，等式两边同时乘同一个数$c$，无论$c$取何有理数，都有$xc=yc$，故B正确。
C选项：若$x=y$，等式两边同时除以$c$的前提是$c≠0$，本选项未说明$c$不为0，若$c=0$，除数为0无意义，故C错误。
D选项：若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$，可知$c≠0$（分母不为0），等式两边同时乘$6c$，左边得$3x$，右边得$2y$，即$3x=2y$，不是$2x=3y$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点在于忽略等式两边作除法运算时除数不能为0的限制，以及去分母时计算错误，解题时要紧扣性质的前提条件判断。
【难度系数】
0.8
2. 利用等式的性质,用适当的数填空.
(1)若$2x - 3 = -5$,则$2x =$
(2)若$\frac{x}{4} + 3 = 1$,则$x + 12 =$
(1)若$2x - 3 = -5$,则$2x =$
-2
,$x =$-1
;(2)若$\frac{x}{4} + 3 = 1$,则$x + 12 =$
4
,$x =$-8
.答案
(1) -2，-1 (2) 4，-8
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路是根据等式的两条性质对给出的等式逐步变形：①等式性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。求解时先明确每一步要得到的目标形式，确定需要做的运算，两边同步运算即可得到结果。
(1)要得到2x，只需给原等式两边同时加3消去左边的常数项-3；得到2x的结果后，两边同时除以2即可得到x的值；
(2)要得到x+12的形式，观察原等式左边各项分母为4，给等式两边同时乘4即可消去分母得到x+12的结果，再给等式两边同时减12即可得到x的值。
【解析】
(1) 对于等式$2x - 3 = -5$：
根据等式性质1，两边同时加3，得：
$2x - 3 + 3 = -5 + 3$
即$2x = -2$；
再根据等式性质2，两边同时除以2，得：
$\frac{2x}{2} = \frac{-2}{2}$
即$x = -1$。
(2) 对于等式$\frac{x}{4} + 3 = 1$：
根据等式性质2，两边同时乘4，得：
$\frac{x}{4} × 4 + 3 × 4 = 1 × 4$
即$x + 12 = 4$；
再根据等式性质1，两边同时减12，得：
$x + 12 - 12 = 4 - 12$
即$x = -8$。
【答案】
(1) -2，-1；(2) 4，-8
【知识点】
等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等式性质的规范应用，解题时要注意等式两边必须同步进行相同的运算，涉及去分母时不要漏乘不含分母的项，熟练掌握等式性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查等式性质的应用，解题思路是根据等式的两条性质对给出的等式逐步变形：①等式性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。求解时先明确每一步要得到的目标形式，确定需要做的运算，两边同步运算即可得到结果。
(1)要得到2x，只需给原等式两边同时加3消去左边的常数项-3；得到2x的结果后，两边同时除以2即可得到x的值；
(2)要得到x+12的形式，观察原等式左边各项分母为4，给等式两边同时乘4即可消去分母得到x+12的结果，再给等式两边同时减12即可得到x的值。
【解析】
(1) 对于等式$2x - 3 = -5$：
根据等式性质1，两边同时加3，得：
$2x - 3 + 3 = -5 + 3$
即$2x = -2$；
再根据等式性质2，两边同时除以2，得：
$\frac{2x}{2} = \frac{-2}{2}$
即$x = -1$。
(2) 对于等式$\frac{x}{4} + 3 = 1$：
根据等式性质2，两边同时乘4，得：
$\frac{x}{4} × 4 + 3 × 4 = 1 × 4$
即$x + 12 = 4$；
再根据等式性质1，两边同时减12，得：
$x + 12 - 12 = 4 - 12$
即$x = -8$。
【答案】
(1) -2，-1；(2) 4，-8
【知识点】
等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等式性质的规范应用，解题时要注意等式两边必须同步进行相同的运算，涉及去分母时不要漏乘不含分母的项，熟练掌握等式性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
知识点二 利用等式的性质解简单的方程
知识梳理
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为
知识梳理
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为
$x=m$(常数)
的形式. 转化的重要依据是等式的性质
.答案
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为$x=m$(常数)的形式. 转化的重要依据是等式的性质.
解析
【分析】
解题时可从两个角度思考：第一，解方程的最终目标是确定未知数x的取值，因此最终要将方程变形为x单独在等号一侧，另一侧是固定常数的形式；第二，方程是含有未知数的等式，对方程变形时要保证等号始终成立，变形的规则就来自等式的性质，据此即可填出两个空缺内容。
【解析】
解以x为未知数的方程，最终需要得到x的确定值，因此要逐步转化为$x=m$(常数)的形式；方程属于等式，变形过程需遵循等式的性质，因此转化的重要依据是等式的性质。
【答案】
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为$x=m$(常数)的形式. 转化的重要依据是等式的性质.
【知识点】
1. 解方程的本质 2. 等式的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，主要考查对解方程的核心目标以及等式性质作用的理解，熟练掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时可从两个角度思考：第一，解方程的最终目标是确定未知数x的取值，因此最终要将方程变形为x单独在等号一侧，另一侧是固定常数的形式；第二，方程是含有未知数的等式，对方程变形时要保证等号始终成立，变形的规则就来自等式的性质，据此即可填出两个空缺内容。
【解析】
解以x为未知数的方程，最终需要得到x的确定值，因此要逐步转化为$x=m$(常数)的形式；方程属于等式，变形过程需遵循等式的性质，因此转化的重要依据是等式的性质。
【答案】
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为$x=m$(常数)的形式. 转化的重要依据是等式的性质.
【知识点】
1. 解方程的本质 2. 等式的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，主要考查对解方程的核心目标以及等式性质作用的理解，熟练掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例2 利用等式的性质解下列方程，并检验。
(1)$x+3=8$； (2)$-5x=30$；
(3)$-\dfrac{1}{2}x -5=10$.
解：
【规律方法】
用等式的性质解方程的方法
(1)用等式的性质1化去方程左边的常数项.
(2)用等式的性质2把方程左边未知数的系数化为1,最终转化为$x=m$(常数)的形式.
(1)$x+3=8$； (2)$-5x=30$；
(3)$-\dfrac{1}{2}x -5=10$.
解：
【规律方法】
用等式的性质解方程的方法
(1)用等式的性质1化去方程左边的常数项.
(2)用等式的性质2把方程左边未知数的系数化为1,最终转化为$x=m$(常数)的形式.
答案
(1)方程两边减3,得$x+3-3=8-3$,于是$x=5$.
将$x=5$代入方程$x+3=8$的左边,得$5+3=8$.
方程左、右两边的值相等,所以$x=5$是方程$x+3=8$的解.
(2)方程两边除以$-5$,得$\frac{-5x}{-5}=\frac{30}{-5}$,
于是$x=-6$.
将$x=-6$代入方程$-5x=30$的左边,得$-5×(-6)=30$.
方程左、右两边的值相等,所以$x=-6$是方程$-5x=30$的解.
(3)方程两边加5,得$-\frac{1}{2}x-5+5=10+5$,
得$-\frac{1}{2}x=15$.
方程两边乘$-2$,得$-\frac{1}{2}x×(-2)=15×(-2)$,
于是$x=-30$.
将$x=-30$代入方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-30)-5=15-5=10$.
方程左、右两边的值相等,所以$x = -30$是方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的解.
将$x=5$代入方程$x+3=8$的左边,得$5+3=8$.
方程左、右两边的值相等,所以$x=5$是方程$x+3=8$的解.
(2)方程两边除以$-5$,得$\frac{-5x}{-5}=\frac{30}{-5}$,
于是$x=-6$.
将$x=-6$代入方程$-5x=30$的左边,得$-5×(-6)=30$.
方程左、右两边的值相等,所以$x=-6$是方程$-5x=30$的解.
(3)方程两边加5,得$-\frac{1}{2}x-5+5=10+5$,
得$-\frac{1}{2}x=15$.
方程两边乘$-2$,得$-\frac{1}{2}x×(-2)=15×(-2)$,
于是$x=-30$.
将$x=-30$代入方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-30)-5=15-5=10$.
方程左、右两边的值相等,所以$x = -30$是方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的解.
解析
【分析】
本题考查利用等式的性质解一元一次方程，解题思路遵循固定步骤：第一步，利用等式的性质1（等式两边加/减同一个数，等式仍然成立）消去与未知数同侧的常数项；第二步，利用等式的性质2（等式两边乘同一个数/除以同一个不为0的数，等式仍然成立）将未知数的系数化为1，得到$x=m$的形式；最后将求得的$x$代入原方程，验证左右两边是否相等完成检验。对应各小题：(1)左边有常数项+3，两边同时减3即可消去常数项；(2)未知数系数为-5，两边同时除以-5即可将系数化为1；(3)先利用等式性质1消去左边的常数项-5，再利用等式性质2将系数$-\frac{1}{2}$化为1即可。
【解析】
(1)方程两边减3，得$x+3-3=8-3$，于是$x=5$。
将$x=5$代入方程$x+3=8$的左边，得$5+3=8$。
方程左、右两边的值相等，所以$x=5$是方程$x+3=8$的解。
(2)方程两边除以$-5$，得$\frac{-5x}{-5}=\frac{30}{-5}$，于是$x=-6$。
将$x=-6$代入方程$-5x=30$的左边，得$-5×(-6)=30$。
方程左、右两边的值相等，所以$x=-6$是方程$-5x=30$的解。
(3)方程两边加5，得$-\frac{1}{2}x-5+5=10+5$，得$-\frac{1}{2}x=15$。
方程两边乘$-2$，得$-\frac{1}{2}x×(-2)=15×(-2)$，于是$x=-30$。
将$x=-30$代入方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的左边，得$-\frac{1}{2}×(-30)-5=15-5=10$。
方程左、右两边的值相等，所以$x = -30$是方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的解。
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=-6$；(3)$x=-30$
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，方程的检验
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题时每一步变形都要符合等式性质的运算规则，检验环节可有效排查计算错误，是解方程时需要养成的良好解题习惯。
【难度系数】
0.9
本题考查利用等式的性质解一元一次方程，解题思路遵循固定步骤：第一步，利用等式的性质1（等式两边加/减同一个数，等式仍然成立）消去与未知数同侧的常数项；第二步，利用等式的性质2（等式两边乘同一个数/除以同一个不为0的数，等式仍然成立）将未知数的系数化为1，得到$x=m$的形式；最后将求得的$x$代入原方程，验证左右两边是否相等完成检验。对应各小题：(1)左边有常数项+3，两边同时减3即可消去常数项；(2)未知数系数为-5，两边同时除以-5即可将系数化为1；(3)先利用等式性质1消去左边的常数项-5，再利用等式性质2将系数$-\frac{1}{2}$化为1即可。
【解析】
(1)方程两边减3，得$x+3-3=8-3$，于是$x=5$。
将$x=5$代入方程$x+3=8$的左边，得$5+3=8$。
方程左、右两边的值相等，所以$x=5$是方程$x+3=8$的解。
(2)方程两边除以$-5$，得$\frac{-5x}{-5}=\frac{30}{-5}$，于是$x=-6$。
将$x=-6$代入方程$-5x=30$的左边，得$-5×(-6)=30$。
方程左、右两边的值相等，所以$x=-6$是方程$-5x=30$的解。
(3)方程两边加5，得$-\frac{1}{2}x-5+5=10+5$，得$-\frac{1}{2}x=15$。
方程两边乘$-2$，得$-\frac{1}{2}x×(-2)=15×(-2)$，于是$x=-30$。
将$x=-30$代入方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的左边，得$-\frac{1}{2}×(-30)-5=15-5=10$。
方程左、右两边的值相等，所以$x = -30$是方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的解。
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=-6$；(3)$x=-30$
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，方程的检验
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题时每一步变形都要符合等式性质的运算规则，检验环节可有效排查计算错误，是解方程时需要养成的良好解题习惯。
【难度系数】
0.9
