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3. 利用等式的性质解下列方程，并检验.
(1) $2x - 7 = 9$；
(2) $-\dfrac{1}{2}x - 2 = 3$.
(1) $2x - 7 = 9$；
(2) $-\dfrac{1}{2}x - 2 = 3$.
答案
(1)方程两边加7,得$2x=16$.
方程两边除以2,得$x=8$.
检验:把$x=8$代入方程$2x-7=9$的左边,得$2×8-7=9$. 方程左、右两边的值相等,所以$x=8$是方程$2x-7=9$的解.
(2)方程两边加2,得$-\frac{1}{2}x=5$.
方程两边乘$-2$,得$x=-10$.
检验:把$x=-10$代入方程$-\frac{1}{2}x-2=3$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-10)-2=3$. 方程左、右两边的值相等,所以$x=-10$是方程$-\frac{1}{2}x-2=3$的解.
方程两边除以2,得$x=8$.
检验:把$x=8$代入方程$2x-7=9$的左边,得$2×8-7=9$. 方程左、右两边的值相等,所以$x=8$是方程$2x-7=9$的解.
(2)方程两边加2,得$-\frac{1}{2}x=5$.
方程两边乘$-2$,得$x=-10$.
检验:把$x=-10$代入方程$-\frac{1}{2}x-2=3$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-10)-2=3$. 方程左、右两边的值相等,所以$x=-10$是方程$-\frac{1}{2}x-2=3$的解.
解析
【分析】
解这两个方程需运用等式的性质逐步将方程化简为$x=a$的形式，解题思路如下：1. 先用等式的性质1（等式两边加/减同一个数或式子，等式仍成立），消去方程左边的常数项，得到只含未知数的项在左边、常数项在右边的形式；2. 再用等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立），将未知数的系数化为1，得到方程的解；3. 最后将求得的解代入原方程，分别计算左右两边的值，若相等则该值是方程的解。
【解析】
(1) 解方程$2x - 7 = 9$：
根据等式性质1，方程两边同时加7，得$2x=16$；
根据等式性质2，方程两边同时除以2，得$x=8$。
检验：把$x=8$代入方程$2x-7=9$的左边，得$2×8-7=9$，方程左、右两边的值相等，所以$x=8$是方程$2x-7=9$的解。
(2) 解方程$-\dfrac{1}{2}x - 2 = 3$：
根据等式性质1，方程两边同时加2，得$-\frac{1}{2}x=5$；
根据等式性质2，方程两边同时乘$-2$，得$x=-10$。
检验：把$x=-10$代入方程$-\frac{1}{2}x-2=3$的左边，得$-\frac{1}{2}×(-10)-2=3$，方程左、右两边的值相等，所以$x=-10$是方程$-\frac{1}{2}x-2=3$的解。
【答案】
(1) $x=8$；(2) $x=-10$
【知识点】
等式的性质、一元一次方程的解法、方程的检验
【点评】
本题是运用等式性质解方程的基础题型，需注意每一步变形都要保证等式两边同时进行相同运算，检验时需分别计算方程左右两边的值再判断是否相等，避免直接默认相等的错误。
【难度系数】
0.9
解这两个方程需运用等式的性质逐步将方程化简为$x=a$的形式，解题思路如下：1. 先用等式的性质1（等式两边加/减同一个数或式子，等式仍成立），消去方程左边的常数项，得到只含未知数的项在左边、常数项在右边的形式；2. 再用等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立），将未知数的系数化为1，得到方程的解；3. 最后将求得的解代入原方程，分别计算左右两边的值，若相等则该值是方程的解。
【解析】
(1) 解方程$2x - 7 = 9$：
根据等式性质1，方程两边同时加7，得$2x=16$；
根据等式性质2，方程两边同时除以2，得$x=8$。
检验：把$x=8$代入方程$2x-7=9$的左边，得$2×8-7=9$，方程左、右两边的值相等，所以$x=8$是方程$2x-7=9$的解。
(2) 解方程$-\dfrac{1}{2}x - 2 = 3$：
根据等式性质1，方程两边同时加2，得$-\frac{1}{2}x=5$；
根据等式性质2，方程两边同时乘$-2$，得$x=-10$。
检验：把$x=-10$代入方程$-\frac{1}{2}x-2=3$的左边，得$-\frac{1}{2}×(-10)-2=3$，方程左、右两边的值相等，所以$x=-10$是方程$-\frac{1}{2}x-2=3$的解。
【答案】
(1) $x=8$；(2) $x=-10$
【知识点】
等式的性质、一元一次方程的解法、方程的检验
【点评】
本题是运用等式性质解方程的基础题型，需注意每一步变形都要保证等式两边同时进行相同运算，检验时需分别计算方程左右两边的值再判断是否相等，避免直接默认相等的错误。
【难度系数】
0.9
例3 已知$3b-2a-1=3a-2b$，请利用等式的性质比较$a$与$b$的大小.
解:
【规律方法】
两个字母比较大小的两种方法:
(1)可以利用等式的性质先将一个字母用另一个字母表示出来,再比较大小.
(2)可以转化为比较两个字母之差与0的大小.
解:
【规律方法】
两个字母比较大小的两种方法:
(1)可以利用等式的性质先将一个字母用另一个字母表示出来,再比较大小.
(2)可以转化为比较两个字母之差与0的大小.
答案
$b＞a$.
解析
【分析】
要比较a和b的大小，我们可以借助等式的性质对已知等式变形，思路如下：首先利用等式的性质1，将所有含b的项移到等号左侧，含a的项和常数项移到等号右侧，合并同类项后再利用等式的性质2化简，最后通过判断b与a的差和0的大小关系，即可得出a、b的大小。
【解析】
已知$3b-2a-1=3a-2b$，
根据等式的性质1，等式两边同时加上$2a+2b+1$，得：
$3b-2a-1+2a+2b+1=3a-2b+2a+2b+1$
合并同类项得：$5b=5a+1$
根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$b=a+\frac{1}{5}$
因此$b-a=\frac{1}{5}＞0$，可得$b＞a$。
【答案】
$b＞a$
【知识点】
等式的性质，作差法比较大小
【点评】
本题考查等式性质的灵活运用，通过变形得到两个字母的差与0的关系是解题的核心，熟练掌握等式的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要比较a和b的大小，我们可以借助等式的性质对已知等式变形，思路如下：首先利用等式的性质1，将所有含b的项移到等号左侧，含a的项和常数项移到等号右侧，合并同类项后再利用等式的性质2化简，最后通过判断b与a的差和0的大小关系，即可得出a、b的大小。
【解析】
已知$3b-2a-1=3a-2b$，
根据等式的性质1，等式两边同时加上$2a+2b+1$，得：
$3b-2a-1+2a+2b+1=3a-2b+2a+2b+1$
合并同类项得：$5b=5a+1$
根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$b=a+\frac{1}{5}$
因此$b-a=\frac{1}{5}＞0$，可得$b＞a$。
【答案】
$b＞a$
【知识点】
等式的性质，作差法比较大小
【点评】
本题考查等式性质的灵活运用，通过变形得到两个字母的差与0的关系是解题的核心，熟练掌握等式的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
例4 已知$5x^2 -5x -3=7$,求$x^2 -x +1$的值.
解:
【规律方法】
整体代入法求多项式的值:
利用等式的性质把已知等式变形,得到与所求多项式中所含字母的部分相同的式子,然后将变形后的式子整体代入即可求值.
变式训练
解:
【规律方法】
整体代入法求多项式的值:
利用等式的性质把已知等式变形,得到与所求多项式中所含字母的部分相同的式子,然后将变形后的式子整体代入即可求值.
变式训练
答案
3.
解析
【分析】
观察已知等式和所求代数式的结构，发现已知等式中含字母的部分为$5x^2-5x$，恰好是所求代数式中$x^2-x$的5倍，因此无需直接求解x的值，可先利用等式的性质对已知等式变形，求出$x^2-x$的值，再将其整体代入所求代数式即可算出结果。
【解析】
1. 对已知等式进行变形：
已知$5x^2 -5x -3=7$，根据等式的性质1，等式两边同时加3，得：
$5x^2 -5x =7+3$
即$5x^2 -5x =10$
2. 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$x^2 -x =2$
3. 将$x^2 -x =2$整体代入$x^2 -x +1$中计算：
$x^2 -x +1=2 + 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
1.等式的性质 2.整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题核心是发现已知条件和所求代数式之间的倍数关系，借助整体代入思想避免求解未知数，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
观察已知等式和所求代数式的结构，发现已知等式中含字母的部分为$5x^2-5x$，恰好是所求代数式中$x^2-x$的5倍，因此无需直接求解x的值，可先利用等式的性质对已知等式变形，求出$x^2-x$的值，再将其整体代入所求代数式即可算出结果。
【解析】
1. 对已知等式进行变形：
已知$5x^2 -5x -3=7$，根据等式的性质1，等式两边同时加3，得：
$5x^2 -5x =7+3$
即$5x^2 -5x =10$
2. 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$x^2 -x =2$
3. 将$x^2 -x =2$整体代入$x^2 -x +1$中计算：
$x^2 -x +1=2 + 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
1.等式的性质 2.整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题核心是发现已知条件和所求代数式之间的倍数关系，借助整体代入思想避免求解未知数，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
4. 若$2a - 1 = 2b + 1$，则$a$
＞
$b$（填“＞”“＜”或“=”）答案
＞
解析
【分析】
要比较a和b的大小，可利用等式的性质对已知等式进行变形，推导出a与b的数量关系。解题时先运用等式的性质1消去等式左边的常数项，再运用等式的性质2将a的系数化为1，即可得到a和b的直接关系，进而判断大小。
【解析】
已知$2a - 1 = 2b + 1$，
根据等式的性质1，等式两边同时加1，得：
$2a - 1 + 1 = 2b + 1 + 1$，
化简得$2a = 2b + 2$，
再根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$a = b + 1$，
由$a = b + 1$可知$a$比$b$大1，因此$a ＞ b$。
【答案】
＞
【知识点】
等式的性质；代数式大小比较
【点评】
本题是基础题型，核心考查等式性质的灵活运用，通过逐步对等式变形得到两个未知数的关系，即可快速判断大小，熟练掌握等式的两条性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要比较a和b的大小，可利用等式的性质对已知等式进行变形，推导出a与b的数量关系。解题时先运用等式的性质1消去等式左边的常数项，再运用等式的性质2将a的系数化为1，即可得到a和b的直接关系，进而判断大小。
【解析】
已知$2a - 1 = 2b + 1$，
根据等式的性质1，等式两边同时加1，得：
$2a - 1 + 1 = 2b + 1 + 1$，
化简得$2a = 2b + 2$，
再根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$a = b + 1$，
由$a = b + 1$可知$a$比$b$大1，因此$a ＞ b$。
【答案】
＞
【知识点】
等式的性质；代数式大小比较
【点评】
本题是基础题型，核心考查等式性质的灵活运用，通过逐步对等式变形得到两个未知数的关系，即可快速判断大小，熟练掌握等式的两条性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
5. 若$x+2y=3$,求$3x+6y-1$的值.
答案
8.
解析
【分析】
拿到题目后首先观察已知条件和所求代数式的关系：已知是二元一次方程，仅一个方程无法单独求出x、y的具体值，因此考虑整体代入法。观察所求代数式3x+6y-1，发现前两项3x+6y提取公因式3后可变形为3(x+2y)，恰好是已知等式左边x+2y的3倍，因此可以将x+2y看作一个整体代入计算，即可快速得到结果。
【解析】
已知$x+2y=3$，先对所求代数式变形：
$3x+6y-1=3(x+2y)-1$
把$x+2y=3$整体代入上式，得：
$3×3 -1=9-1=8$
【答案】
8
【知识点】
代数式求值、整体代入法、等式的性质
【点评】
本题是基础的代数式求值题型，解题关键是观察代数式的结构特点，灵活运用整体代入的思想简化运算，无需单独求解未知数，有效降低计算量。
【难度系数】
0.9
拿到题目后首先观察已知条件和所求代数式的关系：已知是二元一次方程，仅一个方程无法单独求出x、y的具体值，因此考虑整体代入法。观察所求代数式3x+6y-1，发现前两项3x+6y提取公因式3后可变形为3(x+2y)，恰好是已知等式左边x+2y的3倍，因此可以将x+2y看作一个整体代入计算，即可快速得到结果。
【解析】
已知$x+2y=3$，先对所求代数式变形：
$3x+6y-1=3(x+2y)-1$
把$x+2y=3$整体代入上式，得：
$3×3 -1=9-1=8$
【答案】
8
【知识点】
代数式求值、整体代入法、等式的性质
【点评】
本题是基础的代数式求值题型，解题关键是观察代数式的结构特点，灵活运用整体代入的思想简化运算，无需单独求解未知数，有效降低计算量。
【难度系数】
0.9
