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知识点 单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘,把它们的
易错提示
1. 系数运算错误. 计算系数乘积时出现错误,或混淆系数相乘与指数运算.
2. 字母遗漏. 遗漏只在一个单项式里含有的字母.
3. 单项式乘单项式,结果一定是单项式.
单项式与单项式相乘,把它们的
系数
、同底数幂
分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数
作为积的一个因式
.易错提示
1. 系数运算错误. 计算系数乘积时出现错误,或混淆系数相乘与指数运算.
2. 字母遗漏. 遗漏只在一个单项式里含有的字母.
3. 单项式乘单项式,结果一定是单项式.
答案
系数 同底数幂 指数 因式
解析
【分析】
本题考查单项式乘单项式运算法则的识记，解题时只需回忆对应法则内容，按空缺顺序匹配填写即可。我们可以结合单项式的构成推导记忆法则：单项式由数字系数、字母及对应指数组成，相乘时先计算系数的乘积，再对两个单项式共有的同底数幂按同底数幂乘法规则运算，仅在一个单项式中出现的字母不能遗漏，要连同它的指数一起作为积的组成部分。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，依次填入对应内容即可。
【答案】
系数 同底数幂 指数 因式
【知识点】
1.单项式乘单项式运算法则
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对单项式乘单项式运算法则的记忆掌握，熟练掌握该法则是后续进行整式乘法运算的基础，学习时需注意规避系数运算错误、字母遗漏等常见问题。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式乘单项式运算法则的识记，解题时只需回忆对应法则内容，按空缺顺序匹配填写即可。我们可以结合单项式的构成推导记忆法则：单项式由数字系数、字母及对应指数组成，相乘时先计算系数的乘积，再对两个单项式共有的同底数幂按同底数幂乘法规则运算，仅在一个单项式中出现的字母不能遗漏，要连同它的指数一起作为积的组成部分。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，依次填入对应内容即可。
【答案】
系数 同底数幂 指数 因式
【知识点】
1.单项式乘单项式运算法则
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对单项式乘单项式运算法则的记忆掌握，熟练掌握该法则是后续进行整式乘法运算的基础，学习时需注意规避系数运算错误、字母遗漏等常见问题。
【难度系数】
0.9
例 计算:(1)$3x^2 · 5x^3$；
(2)$4y · (-2xy^2)$；
(3)$-6x^2y · (a-b)^3 · \frac{1}{3}xy^2 · (b-a)^2$。
解:(1)$3x^2 · 5x^3=(3 × 5) · (x^2 · x^3)=15x^5$。
(2)$4y · (-2xy^2)=(-4 × 2) · x · (y · y^2)=-8xy^3$。
(3)$-6x^2y · (a-b)^3 · \frac{1}{3}xy^2 · (b-a)^2$
$=(-6 × \frac{1}{3})(x^2 · x)(y · y^2)[(a-b)^3 · (a-b)^2]$
$=-2x^3y^3(a-b)^5$。
方法点拨 第(3)小题把$(a-b)$看作一个整体,一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些。
(2)$4y · (-2xy^2)$；
(3)$-6x^2y · (a-b)^3 · \frac{1}{3}xy^2 · (b-a)^2$。
解:(1)$3x^2 · 5x^3=(3 × 5) · (x^2 · x^3)=15x^5$。
(2)$4y · (-2xy^2)=(-4 × 2) · x · (y · y^2)=-8xy^3$。
(3)$-6x^2y · (a-b)^3 · \frac{1}{3}xy^2 · (b-a)^2$
$=(-6 × \frac{1}{3})(x^2 · x)(y · y^2)[(a-b)^3 · (a-b)^2]$
$=-2x^3y^3(a-b)^5$。
方法点拨 第(3)小题把$(a-b)$看作一个整体,一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些。
答案
解：
(1) $3x^2 · 5x^3$
$=(3× 5)· (x^2 · x^3)$
$=15x^5$
(2) $4y · (-2xy^2)$
$=[4× (-2)]· x· (y· y^2)$
$=-8xy^3$
(3) $-6x^2y · (a-b)^3 · \frac{1}{3}xy^2 · (b-a)^2$
$=(-6× \frac{1}{3})· (x^2· x)· (y· y^2)· [(a-b)^3· (a-b)^2]$
$=-2x^3y^3(a-b)^5$
(1) $3x^2 · 5x^3$
$=(3× 5)· (x^2 · x^3)$
$=15x^5$
(2) $4y · (-2xy^2)$
$=[4× (-2)]· x· (y· y^2)$
$=-8xy^3$
(3) $-6x^2y · (a-b)^3 · \frac{1}{3}xy^2 · (b-a)^2$
$=(-6× \frac{1}{3})· (x^2· x)· (y· y^2)· [(a-b)^3· (a-b)^2]$
$=-2x^3y^3(a-b)^5$
解析
【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘单项式的运算法则：1.将各单项式的系数相乘，结果作为积的系数，注意符号的处理；2.相同字母的幂分别按照“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算；3.仅在一个单项式中含有的字母，连同它的指数直接作为积的因式。针对第(3)小题，注意到(b-a)是(a-b)的相反数，且(b-a)的次数是偶数，因此$(b-a)^2=(a-b)^2$，可将(a-b)看作一个整体当作同底数幂参与运算，简化计算过程。
【解析】
(1) $3x^2 · 5x^3$
$=(3× 5)· (x^2 · x^3)$
$=15x^5$
(2) $4y · (-2xy^2)$
$=[4× (-2)]· x· (y· y^2)$
$=-8xy^3$
(3) $-6x^2y · (a-b)^3 · \frac{1}{3}xy^2 · (b-a)^2$
$=(-6× \frac{1}{3})· (x^2· x)· (y· y^2)· [(a-b)^3· (a-b)^2]$
$=-2x^3y^3(a-b)^5$
【答案】
(1) $15x^5$；(2) $-8xy^3$；(3) $-2x^3y^3(a-b)^5$
【知识点】
单项式乘单项式，同底数幂的乘法，整体思想
【点评】
本题重点考察单项式乘单项式的运算规则，计算时要格外注意系数的正负号，遇到底数互为相反数的幂时，可利用偶数次幂的性质先转化为同底数幂再运算，将相同多项式看作整体计算的技巧能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘单项式的运算法则：1.将各单项式的系数相乘，结果作为积的系数，注意符号的处理；2.相同字母的幂分别按照“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算；3.仅在一个单项式中含有的字母，连同它的指数直接作为积的因式。针对第(3)小题，注意到(b-a)是(a-b)的相反数，且(b-a)的次数是偶数，因此$(b-a)^2=(a-b)^2$，可将(a-b)看作一个整体当作同底数幂参与运算，简化计算过程。
【解析】
(1) $3x^2 · 5x^3$
$=(3× 5)· (x^2 · x^3)$
$=15x^5$
(2) $4y · (-2xy^2)$
$=[4× (-2)]· x· (y· y^2)$
$=-8xy^3$
(3) $-6x^2y · (a-b)^3 · \frac{1}{3}xy^2 · (b-a)^2$
$=(-6× \frac{1}{3})· (x^2· x)· (y· y^2)· [(a-b)^3· (a-b)^2]$
$=-2x^3y^3(a-b)^5$
【答案】
(1) $15x^5$；(2) $-8xy^3$；(3) $-2x^3y^3(a-b)^5$
【知识点】
单项式乘单项式，同底数幂的乘法，整体思想
【点评】
本题重点考察单项式乘单项式的运算规则，计算时要格外注意系数的正负号，遇到底数互为相反数的幂时，可利用偶数次幂的性质先转化为同底数幂再运算，将相同多项式看作整体计算的技巧能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
已知单项式$6x^3y$与$-\dfrac{3}{2}x^n y^2$的积为$mx^9 y^3$，则$n$的值为（
A.12
B.9
C.6
D.3
C
）A.12
B.9
C.6
D.3
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆单项式乘单项式的运算法则：两个单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。我们先按法则计算两个已知单项式的积，再将所得积和题目给出的$mx^9y^3$对比，等式两边相同字母的指数一定相等，据此列出关于$n$的方程，求解即可得到$n$的值。
【解析】
先计算$6x^3y$与$-\dfrac{3}{2}x^n y^2$的积：
$\begin{aligned}6x^3y · (-\dfrac{3}{2}x^n y^2) &= [6 × (-\dfrac{3}{2})] · (x^3 · x^n) · (y · y^2) \\&= -9 x^{3+n} y^{1+2} \\&= -9 x^{3+n} y^3\end{aligned}$
由题意可知该积与$mx^9 y^3$相等，因此两个单项式中$x$的指数对应相等，可得：
$3 + n = 9$
解得：$n = 6$
【答案】
C
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；同类项的特征
【点评】
本题是单项式乘法的基础应用题，解题核心是熟练掌握单项式乘法的运算法则和同底数幂的运算性质，通过对应相同字母的指数建立方程即可求解，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆单项式乘单项式的运算法则：两个单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。我们先按法则计算两个已知单项式的积，再将所得积和题目给出的$mx^9y^3$对比，等式两边相同字母的指数一定相等，据此列出关于$n$的方程，求解即可得到$n$的值。
【解析】
先计算$6x^3y$与$-\dfrac{3}{2}x^n y^2$的积：
$\begin{aligned}6x^3y · (-\dfrac{3}{2}x^n y^2) &= [6 × (-\dfrac{3}{2})] · (x^3 · x^n) · (y · y^2) \\&= -9 x^{3+n} y^{1+2} \\&= -9 x^{3+n} y^3\end{aligned}$
由题意可知该积与$mx^9 y^3$相等，因此两个单项式中$x$的指数对应相等，可得：
$3 + n = 9$
解得：$n = 6$
【答案】
C
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；同类项的特征
【点评】
本题是单项式乘法的基础应用题，解题核心是熟练掌握单项式乘法的运算法则和同底数幂的运算性质，通过对应相同字母的指数建立方程即可求解，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
