6. 如果$(9^n)^2=3^{12}$，那么$n$的值是（）

A.4
B.3
C.2
D.1

6.B

【分析】
解题的核心思路是把等式两边的幂统一为同底数幂，再利用同底数幂相等时指数相等的性质列方程求解。首先观察到等式左侧底数为9，右侧底数为3，可先将9转化为$3^2$，再运用幂的乘方法则化简左侧式子，最后通过指数相等建立关于n的方程，即可求出n的值。
【解析】
1. 统一底数：因为$9=3^2$，所以将等式左侧的底数替换为3，可得：
$(9^n)^2=[(3^2)^n]^2$
2. 运用幂的乘方法则（$(a^m)^n=a^{mn}$，其中$a≠0$，m、n为正整数）逐步化简左侧：
先计算内层：$(3^2)^n=3^{2× n}=3^{2n}$
再计算外层：$(3^{2n})^2=3^{2n×2}=3^{4n}$
3. 此时等式转化为$3^{4n}=3^{12}$，由于底数3不为0也不为1，同底数幂相等时指数相等，因此可得方程：
$4n=12$
解得$n=3$
【答案】
B
【知识点】
1. 幂的乘方运算
2. 同底数幂的性质
【点评】
本题属于幂的乘方相关的基础题型，重点考查底数统一的转化思想，只要熟练掌握幂的乘方运算法则，就能快速完成求解，是幂运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8

7. 若$8^{2+m}=32^{m+1}$，则$4^{4m}+4^{2m}$的值是（）

A.$\dfrac{1}{16}$
B.$16$
C.$20$
D.$24$

7.C

【分析】
要解决这道题，首先需要将等式两边不同底数的幂统一为相同底数，利用幂的乘方运算法则展开，再根据同底数幂相等时指数相等的性质列方程求出m的值，最后将m代入所求代数式计算结果即可。具体思路：第一步，把8和32都转化为以2为底的幂；第二步，利用幂的乘方法则化简等式左右两边；第三步，根据指数相等列一元一次方程求解m；第四步，将m代入待求式计算结果。
【解析】
首先将等式两边的底数统一为2：
∵ $8=2^3$，$32=2^5$
∴ 原等式$8^{2+m}=32^{m+1}$可变形为：
$(2^3)^{2+m}=(2^5)^{m+1}$
根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”，得：
$2^{3(2+m)}=2^{5(m+1)}$
∵ 同底数幂相等，且底数$2≠0、2≠1$，因此指数相等，即：
$3(2+m)=5(m+1)$
展开得：$6+3m=5m+5$
移项合并同类项得：$2m=1$
解得：$m=\frac{1}{2}$
接下来计算$4^{4m}+4^{2m}$的值，代入$m=\frac{1}{2}$：
先算指数：$4m=4×\frac{1}{2}=2$，$2m=2×\frac{1}{2}=1$
∴ $4^{4m}+4^{2m}=4^2 + 4^1=16+4=20$
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的性质；代数式求值
【点评】
本题是幂的运算的常规考题，解题核心是通过统一底数建立关于参数的方程，掌握幂的乘方运算法则是解题的基础，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

8. 若$a^m = a^n(a＞0且a≠1,m,n都是正整数)$，则$m=n$。
请你利用上面的结论解决下列问题.
(1)如果$2×8^x×16^x = 2^{22}$，求$x$的值；
(2)如果$(27^x)^2 = 3^{12}$，求$x$的值.

8.(1)$x=3$ (2)$x=2$

【分析】
解题核心是利用题给结论“同底数幂相等则指数相等”求解，步骤为：①先运用幂的乘方法则，将等式中不同底数的幂转化为和等式另一侧底数相同的幂；②再用同底数幂的乘法法则将等式左侧合并为单个同底数幂；③根据结论让左右两边指数相等，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 先将等式左侧各项转化为以2为底的幂，再合并：
∵8=2³，16=2⁴
∴$2×8^x×16^x = 2×(2³)^x×(2⁴)^x$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
原式$=2×2^{3x}×2^{4x}$
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
原式$=2^{1+3x+4x}=2^{1+7x}$
结合已知$2×8^x×16^x = 2^{22}$，由题给结论得：
$1+7x=22$
解得：$x=3$
(2) 先将等式左侧转化为以3为底的幂，再化简：
∵27=3³
∴$(27^x)^2=[(3³)^x]^2$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
原式$=(3^{3x})^2=3^{6x}$
结合已知$(27^x)^2 = 3^{12}$，由题给结论得：
$6x=12$
解得：$x=2$
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=2$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；一元一次方程求解
【点评】
本题是幂的运算性质的基础综合题，解题关键是通过幂的运算法则将不同底数的幂统一为同底数幂，再结合对应性质列方程求解，重点考查对幂的运算法则的掌握程度和转化思想的应用。
【难度系数】
0.8

9. (1)若$128×8^{3}=2^{n}$，求$n$的值；
(2)若$2^{x+3}×3^{x+3}=36^{x-2}$，求$x$的值.

9.(1)$16$ (2)$7$

【分析】
本题考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：
(1) 首先将等式左侧的128和8都转化为以2为底的幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后利用“同底数幂相等时指数相等”即可求出n的值；
(2) 首先逆用积的乘方公式将等式左侧变形为以6为底的幂，再将右侧的36转化为6的平方，利用幂的乘方法则变形为以6为底的幂，最后根据同底数幂相等时指数相等列方程求解x即可。
【解析】
(1) 先将左侧各数化为以2为底的幂：
$128=2^7$，$8=2^3$，因此$8^3=(2^3)^3=2^{3×3}=2^9$
左侧计算：$128×8^3=2^7×2^9=2^{7+9}=2^{16}$
因为$128×8^3=2^n$，所以$2^{16}=2^n$，故$n=16$
(2) 先逆用积的乘方法则处理左侧：
$2^{x+3}×3^{x+3}=(2×3)^{x+3}=6^{x+3}$
再将右侧36化为以6为底的幂：
$36=6^2$，因此$36^{x-2}=(6^2)^{x-2}=6^{2(x-2)}$
因为$2^{x+3}×3^{x+3}=36^{x-2}$，所以$6^{x+3}=6^{2(x-2)}$
同底数幂相等则指数相等，列方程：
$x+3=2(x-2)$
解方程：$x+3=2x-4$，移项得$2x-x=3+4$，解得$x=7$
【答案】
(1)$16$；(2)$7$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题核心是灵活运用幂的三类运算公式，解题的关键是将不同底数的幂统一为相同底数的幂，进而通过指数相等建立等式求解，熟练掌握幂的运算公式是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8

10. 计算：
(1) $(-2 \dfrac{1}{3})^3 × (\dfrac{3}{7})^3$；
(2) $(1 \dfrac{1}{2})^{12} × (-\dfrac{4}{9})^6$。

10.(1)$-1$ (2)$1$

【分析】
这两道题均可以利用幂的运算性质简化计算，无需直接计算高次幂结果：
1. 对于第(1)题，观察到两个幂的指数都是3，首先将带分数化为假分数，再逆用积的乘方公式$a^n · b^n=(ab)^n$，先计算底数的乘积，再计算乘方即可。
2. 对于第(2)题，两个幂的指数分别是12和6，可先利用幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，将指数为12的幂转化为指数为6的幂，再逆用积的乘方公式计算，注意偶次幂的符号为正。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再逆用积的乘方公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\frac{7}{3})^3 × (\frac{3}{7})^3\\&=[(-\frac{7}{3})× \frac{3}{7}]^3\\&=(-1)^3\\&=-1\end{aligned}$
(2) 先统一指数，再逆用积的乘方公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{3}{2})^{12} × (-\frac{4}{9})^6\\&=[(\frac{3}{2})^2]^6 × (-\frac{4}{9})^6\\&=(\frac{9}{4})^6 × (-\frac{4}{9})^6\\&=[\frac{9}{4}× (-\frac{4}{9})]^6\\&=(-1)^6\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 积的乘方的逆运算
2. 幂的乘方运算
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题核心考查幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是观察幂的指数特征，将不同指数的幂转化为同指数幂后，逆用积的乘方公式简化计算，计算时需注意带分数化假分数的正确性，以及乘方运算的符号规则。
【难度系数】
0.8

11. 将幂的运算逆向思维可以得到 $a^{m+n}=a^m · a^n, a^{mn}=(a^m)^n, a^m b^m=(ab)^m$，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解.
(1) 计算：$5^{2023} × (\frac{1}{5})^{2023} = \_\_\_\_\_\_$.
(2) 若 $3 × 9^m × 27^m = 3^{11}$，求 $m$ 的值；
(3) 比较大小：$a=2^{55}, b=3^{44}, c=5^{33}, d=6^{22}$，则 $a,b,c,d$ 的大小关系是什么？

11.(1)$1$ (2)$2$
(3)$c＞b＞d＞a$

【分析】
（1）观察算式发现两个幂的指数相同，可逆向运用积的乘方法则$a^mb^m=(ab)^m$，先将底数相乘，再计算乘方即可简化运算。
（2）先将等式左侧的$9^m$、$27^m$转化为底数为3的幂，再利用同底数幂的乘法法则合并，最后根据“同底数幂相等时指数相等”列方程求解m的值。
（3）观察四个数的指数，发现均为11的倍数，可逆向运用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，将四个数转化为指数均为11的幂，只需比较底数的大小即可判断原数的大小关系。
【解析】
（1）逆向运用积的乘方法则：
原式$=(5×\frac{1}{5})^{2023}=1^{2023}=1$。
（2）先统一底数为3：
$9^m=(3^2)^m=3^{2m}$，$27^m=(3^3)^m=3^{3m}$，
则等式左侧$=3×3^{2m}×3^{3m}=3^{1+2m+3m}=3^{1+5m}$，
已知左侧等于$3^{11}$，可得$1+5m=11$，
解方程得：$5m=10$，$m=2$。
（3）将四个数转化为指数为11的幂：
$a=2^{55}=(2^5)^{11}=32^{11}$，
$b=3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$c=5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$，
$d=6^{22}=(6^2)^{11}=36^{11}$，
当指数相同时，底数越大幂越大，因为$125＞81＞36＞32$，所以$125^{11}＞81^{11}＞36^{11}＞32^{11}$，即$c＞b＞d＞a$。
【答案】
(1)$1$；(2)$2$；(3)$c＞b＞d＞a$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的运算法则的灵活运用，核心是逆向使用幂的相关运算性质简化计算，解题时要注意观察算式的结构特征，选择合适的变形方式，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7