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8. (★★)甲、乙两名同学同时从学校去火车站，已知学校到火车站的路程是$a$ km，甲骑自行车$b$ h到达，乙乘出租车，比甲提前20 min到达火车站，则甲、乙两人的平均速度的比值为
【 】
A.$\frac{a}{b}$
B.$\frac{3b}{2}$
C.$\frac{3b -1}{3b}$
D.$\frac{1}{2}$
【 】
A.$\frac{a}{b}$
B.$\frac{3b}{2}$
C.$\frac{3b -1}{3b}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要计算甲、乙两人平均速度的比值，首先需要回忆行程问题的基本公式：速度=路程÷时间。第一步先分别求出甲、乙的平均速度，第二步注意将乙提前的时间单位统一为小时，避免单位错误，第三步再计算两人速度的比值，计算时按照分式除法的运算法则化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算甲的平均速度：
已知学校到火车站路程为$a\ \mathrm{km}$，甲走完全程用时$b\ \mathrm{h}$，根据速度公式得：
$v_{\mathrm{甲}}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}=\frac{a}{b}\ \mathrm{km/h}$
2. 统一时间单位并计算乙的行驶时间：
乙比甲提前20 min到达，$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\ \mathrm{h}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$，因此乙走完全程的时间为：
$t_{\mathrm{乙}}=b-\frac{1}{3}=\frac{3b-1}{3}\ \mathrm{h}$
3. 计算乙的平均速度：
$v_{\mathrm{乙}}=\frac{a}{t_{\mathrm{乙}}}=\frac{a}{\frac{3b-1}{3}}=\frac{3a}{3b-1}\ \mathrm{km/h}$
4. 计算两人平均速度的比值：
$\frac{v_{\mathrm{甲}}}{v_{\mathrm{乙}}}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{3a}{3b-1}}=\frac{a}{b}×\frac{3b-1}{3a}=\frac{3b-1}{3b}$
【答案】
C
【知识点】
行程问题速度公式；分式的乘除运算；时间单位换算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考察行程问题三量的关系和分式运算能力，解题时需要注意先统一时间单位，避免因单位不统一导致计算错误，同时要明确比值的前后项，不要将甲、乙的速度比算反。
【难度系数】
0.7
要计算甲、乙两人平均速度的比值，首先需要回忆行程问题的基本公式：速度=路程÷时间。第一步先分别求出甲、乙的平均速度，第二步注意将乙提前的时间单位统一为小时，避免单位错误，第三步再计算两人速度的比值，计算时按照分式除法的运算法则化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算甲的平均速度：
已知学校到火车站路程为$a\ \mathrm{km}$，甲走完全程用时$b\ \mathrm{h}$，根据速度公式得：
$v_{\mathrm{甲}}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}=\frac{a}{b}\ \mathrm{km/h}$
2. 统一时间单位并计算乙的行驶时间：
乙比甲提前20 min到达，$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\ \mathrm{h}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$，因此乙走完全程的时间为：
$t_{\mathrm{乙}}=b-\frac{1}{3}=\frac{3b-1}{3}\ \mathrm{h}$
3. 计算乙的平均速度：
$v_{\mathrm{乙}}=\frac{a}{t_{\mathrm{乙}}}=\frac{a}{\frac{3b-1}{3}}=\frac{3a}{3b-1}\ \mathrm{km/h}$
4. 计算两人平均速度的比值：
$\frac{v_{\mathrm{甲}}}{v_{\mathrm{乙}}}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{3a}{3b-1}}=\frac{a}{b}×\frac{3b-1}{3a}=\frac{3b-1}{3b}$
【答案】
C
【知识点】
行程问题速度公式；分式的乘除运算；时间单位换算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考察行程问题三量的关系和分式运算能力，解题时需要注意先统一时间单位，避免因单位不统一导致计算错误，同时要明确比值的前后项，不要将甲、乙的速度比算反。
【难度系数】
0.7
9. (★★)计算:
(1) $\frac{3x^2}{2y^3} · \frac{4y}{6x^3}$;
(2)
;
(3) $\frac{4a^2b}{3cd^2} ÷ (-\frac{4ab^2}{5c^2d})$;
(4)
;
(1) $\frac{3x^2}{2y^3} · \frac{4y}{6x^3}$;
(2)
;(3) $\frac{4a^2b}{3cd^2} ÷ (-\frac{4ab^2}{5c^2d})$;
(4)
;答案
解：
(1) 原式$=\frac{3x^2 · 4y}{2y^3 · 6x^3}$
$=\frac{12x^2y}{12x^3y^3}$
$=\frac{1}{xy^2}$
(2) 原式$=\frac{(2a-3)^2}{a+3} · \frac{(a+3)^2}{3-2a}$
$=\frac{(3-2a)^2 · (a+3)^2}{(a+3) · (3-2a)}$
$=(3-2a)(a+3)$
$=-2a^2-3a+9$
(3) 原式$=\frac{4a^2b}{3cd^2} · (-\frac{5c^2d}{4ab^2})$
$=-\frac{4a^2b · 5c^2d}{3cd^2 · 4ab^2}$
$=-\frac{5ac}{3bd}$
(4) 原式$=\frac{a^2-4a+4}{a^2-4} · \frac{a^2+4a+4}{a-2}$
$=\frac{(a-2)^2}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a+2)^2}{a-2}$
$=a+2$
(1) 原式$=\frac{3x^2 · 4y}{2y^3 · 6x^3}$
$=\frac{12x^2y}{12x^3y^3}$
$=\frac{1}{xy^2}$
(2) 原式$=\frac{(2a-3)^2}{a+3} · \frac{(a+3)^2}{3-2a}$
$=\frac{(3-2a)^2 · (a+3)^2}{(a+3) · (3-2a)}$
$=(3-2a)(a+3)$
$=-2a^2-3a+9$
(3) 原式$=\frac{4a^2b}{3cd^2} · (-\frac{5c^2d}{4ab^2})$
$=-\frac{4a^2b · 5c^2d}{3cd^2 · 4ab^2}$
$=-\frac{5ac}{3bd}$
(4) 原式$=\frac{a^2-4a+4}{a^2-4} · \frac{a^2+4a+4}{a-2}$
$=\frac{(a-2)^2}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a+2)^2}{a-2}$
$=a+2$
解析
【分析】
分式乘除运算的通用解题思路：① 运算规则转换：分式乘法直接按“分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母”计算，分式除法要先转化为乘法，即除以一个分式等于乘该分式的倒数，含负号的先确定最终结果的符号；② 因式分解预处理：若分子、分母是多项式，先因式分解，方便后续找公因式约分；③ 约分规范：互为相反数的因式可统一变形后再约分，最终结果要化为最简分式或整式。
对应各小题的思考方向：(1)是单项式乘单项式，直接按乘法法则计算后约分即可；(2)先对完全平方式因式分解，注意2a-3和3-2a互为相反数，变形后再约分；(3)先将除法转为乘法，确定负号后约分；(4)先利用平方差、完全平方公式对多项式因式分解，再约分计算。
【解析】
(1) 依据分式乘法法则计算：
原式$=\frac{3x^2 · 4y}{2y^3 · 6x^3}$
$=\frac{12x^2y}{12x^3y^3}$
约去分子分母的公因式$12x^2y$，得：
$=\frac{1}{xy^2}$
(2) 先因式分解，再约分计算：
原式$=\frac{(2a-3)^2}{a+3} · \frac{(a+3)^2}{3-2a}$
将$(2a-3)^2$变形为$(3-2a)^2$，统一公因式：
$=\frac{(3-2a)^2 · (a+3)^2}{(a+3) · (3-2a)}$
约去公因式$(a+3)(3-2a)$，得：
$=(3-2a)(a+3)$
展开后：
$=-2a^2-3a+9$
(3) 先将除法转化为乘法，再计算：
原式$=\frac{4a^2b}{3cd^2} · (-\frac{5c^2d}{4ab^2})$
$=-\frac{4a^2b · 5c^2d}{3cd^2 · 4ab^2}$
约去公因式$4abcd$，得：
$=-\frac{5ac}{3bd}$
(4) 先对多项式因式分解，再约分计算：
原式$=\frac{a^2-4a+4}{a^2-4} · \frac{a^2+4a+4}{a-2}$
用完全平方公式、平方差公式因式分解：
$=\frac{(a-2)^2}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a+2)^2}{a-2}$
约去公因式$(a-2)^2(a+2)$，得：
$=a+2$
【答案】
(1) $\frac{1}{xy^2}$；(2) $-2a^2-3a+9$；(3) $-\frac{5ac}{3bd}$；(4) $a+2$
【知识点】
分式乘除法则、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题核心是先把除法转化为乘法，遇到多项式优先因式分解再约分，要注意互为相反数的因式变形时的符号变化，最终结果需化为最简分式或整式，熟练掌握因式分解的常用方法可提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
分式乘除运算的通用解题思路：① 运算规则转换：分式乘法直接按“分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母”计算，分式除法要先转化为乘法，即除以一个分式等于乘该分式的倒数，含负号的先确定最终结果的符号；② 因式分解预处理：若分子、分母是多项式，先因式分解，方便后续找公因式约分；③ 约分规范：互为相反数的因式可统一变形后再约分，最终结果要化为最简分式或整式。
对应各小题的思考方向：(1)是单项式乘单项式，直接按乘法法则计算后约分即可；(2)先对完全平方式因式分解，注意2a-3和3-2a互为相反数，变形后再约分；(3)先将除法转为乘法，确定负号后约分；(4)先利用平方差、完全平方公式对多项式因式分解，再约分计算。
【解析】
(1) 依据分式乘法法则计算：
原式$=\frac{3x^2 · 4y}{2y^3 · 6x^3}$
$=\frac{12x^2y}{12x^3y^3}$
约去分子分母的公因式$12x^2y$，得：
$=\frac{1}{xy^2}$
(2) 先因式分解，再约分计算：
原式$=\frac{(2a-3)^2}{a+3} · \frac{(a+3)^2}{3-2a}$
将$(2a-3)^2$变形为$(3-2a)^2$，统一公因式：
$=\frac{(3-2a)^2 · (a+3)^2}{(a+3) · (3-2a)}$
约去公因式$(a+3)(3-2a)$，得：
$=(3-2a)(a+3)$
展开后：
$=-2a^2-3a+9$
(3) 先将除法转化为乘法，再计算：
原式$=\frac{4a^2b}{3cd^2} · (-\frac{5c^2d}{4ab^2})$
$=-\frac{4a^2b · 5c^2d}{3cd^2 · 4ab^2}$
约去公因式$4abcd$，得：
$=-\frac{5ac}{3bd}$
(4) 先对多项式因式分解，再约分计算：
原式$=\frac{a^2-4a+4}{a^2-4} · \frac{a^2+4a+4}{a-2}$
用完全平方公式、平方差公式因式分解：
$=\frac{(a-2)^2}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a+2)^2}{a-2}$
约去公因式$(a-2)^2(a+2)$，得：
$=a+2$
【答案】
(1) $\frac{1}{xy^2}$；(2) $-2a^2-3a+9$；(3) $-\frac{5ac}{3bd}$；(4) $a+2$
【知识点】
分式乘除法则、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题核心是先把除法转化为乘法，遇到多项式优先因式分解再约分，要注意互为相反数的因式变形时的符号变化，最终结果需化为最简分式或整式，熟练掌握因式分解的常用方法可提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
10. (★★)老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是每人只能看到前一人给的式子,并进一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简,过程如图所示:
但老师最后说,结果是错的,请你确定接力中出错的同学,并写出正确的过程.
但老师最后说,结果是错的,请你确定接力中出错的同学,并写出正确的过程.
答案
解：接力中出错的同学是乙和丁。
正确化简过程如下：
$\begin{aligned}\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x} &= \frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2} \\&= \frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2} \\&= \frac{-x(x-2)(x-1)}{x^2(x-1)} \\&= -\frac{x-2}{x}\end{aligned}$
正确化简过程如下：
$\begin{aligned}\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x} &= \frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2} \\&= \frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2} \\&= \frac{-x(x-2)(x-1)}{x^2(x-1)} \\&= -\frac{x-2}{x}\end{aligned}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要按照分式乘除的运算规则逐一对每位同学的步骤核对：首先回忆分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，先核对甲的步骤是否正确；再核对乙对式子的变形，注意$1-x$和$x-1$互为相反数，变形时要注意符号变化；最后核对因式分解、约分步骤的正确性，找到错误步骤后，再按正确运算顺序完成化简。
【解析】
我们逐次核对每一步：
1. 老师给出原式$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以$\frac{x^2}{1-x}$等于乘以它的倒数$\frac{1-x}{x^2}$，因此甲的计算是正确的。
2. 乙拿到甲的式子后，将$\frac{1-x}{x^2}$改写为$\frac{x-1}{x^2}$，未注意$1-x=-(x-1)$，遗漏了负号，因此乙的步骤错误。
3. 丙对分子$x^2-2x$因式分解为$x(x-2)$，该因式分解步骤正确。
4. 丁对丙的式子约分时，分子的$x$与分母的$x^2$约分后应剩$x$在分母，$x-1$约分后消去，正确结果应为$\frac{x-2}{x}$，但丁写成$\frac{x-2}{2}$，约分错误，因此丁的步骤错误。
正确化简过程：
$\begin{aligned}\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x} &= \frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2} \\&= \frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2} \\&= \frac{-x(x-2)(x-1)}{x^2(x-1)} \\&= -\frac{x-2}{x}\end{aligned}$
【答案】
接力中出错的同学是乙和丁。
正确化简过程如下：
$\begin{aligned}\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x} &= \frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2} \\&= \frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2} \\&= \frac{-x(x-2)(x-1)}{x^2(x-1)} \\&= -\frac{x-2}{x}\end{aligned}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查分式化简的相关运算，解题时要注意除法转化为乘法时的符号处理，因式分解要准确，约分时需找准分子分母的公因式，避免出现符号错误或约分错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要按照分式乘除的运算规则逐一对每位同学的步骤核对：首先回忆分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，先核对甲的步骤是否正确；再核对乙对式子的变形，注意$1-x$和$x-1$互为相反数，变形时要注意符号变化；最后核对因式分解、约分步骤的正确性，找到错误步骤后，再按正确运算顺序完成化简。
【解析】
我们逐次核对每一步：
1. 老师给出原式$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以$\frac{x^2}{1-x}$等于乘以它的倒数$\frac{1-x}{x^2}$，因此甲的计算是正确的。
2. 乙拿到甲的式子后，将$\frac{1-x}{x^2}$改写为$\frac{x-1}{x^2}$，未注意$1-x=-(x-1)$，遗漏了负号，因此乙的步骤错误。
3. 丙对分子$x^2-2x$因式分解为$x(x-2)$，该因式分解步骤正确。
4. 丁对丙的式子约分时，分子的$x$与分母的$x^2$约分后应剩$x$在分母，$x-1$约分后消去，正确结果应为$\frac{x-2}{x}$，但丁写成$\frac{x-2}{2}$，约分错误，因此丁的步骤错误。
正确化简过程：
$\begin{aligned}\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x} &= \frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2} \\&= \frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2} \\&= \frac{-x(x-2)(x-1)}{x^2(x-1)} \\&= -\frac{x-2}{x}\end{aligned}$
【答案】
接力中出错的同学是乙和丁。
正确化简过程如下：
$\begin{aligned}\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x} &= \frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2} \\&= \frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2} \\&= \frac{-x(x-2)(x-1)}{x^2(x-1)} \\&= -\frac{x-2}{x}\end{aligned}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查分式化简的相关运算，解题时要注意除法转化为乘法时的符号处理，因式分解要准确，约分时需找准分子分母的公因式，避免出现符号错误或约分错误。
【难度系数】
0.7
11. (★★★)(1)用“＞”“=”或“＜”填空：
若$a＞b＞0$，则$\frac{a}{b}$1；
若$a=b≠0$，则$\frac{a}{b}$1；
若$0＜a＜b$，则$\frac{a}{b}$1.
(2)比较大小：$\frac{1}{a+b}$与$\frac{1}{a-b}$，其中$a＞b＞0$.
若$a＞b＞0$，则$\frac{a}{b}$1；
若$a=b≠0$，则$\frac{a}{b}$1；
若$0＜a＜b$，则$\frac{a}{b}$1.
(2)比较大小：$\frac{1}{a+b}$与$\frac{1}{a-b}$，其中$a＞b＞0$.
答案
解：
(1) $＞$；$=$；$＜$
(2) $\because a＞b＞0$
$\therefore a+b＞0$，$a-b＞0$，且$0＜a-b＜a+b$
对两式作分式除法得：
$\frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{1}{a-b}}=\frac{a-b}{a+b}$
由(1)的结论可知，若$0＜a-b＜a+b$，则$\frac{a-b}{a+b}＜1$
两个正数相除，商小于1，说明被除数小于除数
$\therefore \frac{1}{a+b}＜\frac{1}{a-b}$
(1) $＞$；$=$；$＜$
(2) $\because a＞b＞0$
$\therefore a+b＞0$，$a-b＞0$，且$0＜a-b＜a+b$
对两式作分式除法得：
$\frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{1}{a-b}}=\frac{a-b}{a+b}$
由(1)的结论可知，若$0＜a-b＜a+b$，则$\frac{a-b}{a+b}＜1$
两个正数相除，商小于1，说明被除数小于除数
$\therefore \frac{1}{a+b}＜\frac{1}{a-b}$
解析
【分析】
第(1)问可根据正数分式的取值规律判断：当分子、分母均为正数时，分子大于分母，分式值大于1；分子等于分母（不为0），分式值等于1；分子小于分母，分式值小于1。第(2)问比较两个分式大小，首先根据已知条件判断两个分式均为正数，再采用作商比较法：两个正数相除，商小于1则被除数小于除数，结合第(1)问的结论即可推导结果。
【解析】
(1) 已知$a＞b＞0$，分子$a$大于分母$b$且均为正，因此$\frac{a}{b}＞1$；
已知$a=b≠0$，分子分母相等且不为0，因此$\frac{a}{b}=1$；
已知$0＜a＜b$，分子$a$小于分母$b$且均为正，因此$\frac{a}{b}＜1$。
(2) $\because a＞b＞0$
$\therefore a+b＞0$，$a-b＞0$，且$0＜a-b＜a+b$
对两个分式作除法运算：
$\frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{1}{a-b}}=\frac{a-b}{a+b}$
结合(1)的结论，$0＜a-b＜a+b$时，$\frac{a-b}{a+b}＜1$
根据作商比较法的规则：两个正数相除，商小于1说明被除数小于除数
$\therefore \frac{1}{a+b}＜\frac{1}{a-b}$
【答案】
(1) $＞$；$=$；$＜$
(2) $\frac{1}{a+b}＜\frac{1}{a-b}$
【知识点】
分式大小比较、作商比较法、分式除法运算
【点评】
本题考查分式相关的大小比较方法，第一问是基础结论，第二问结合第一问的结论用常用的作商法解题，逻辑连贯，需要注意使用作商法比较大小前要先判断两个数的正负性，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
第(1)问可根据正数分式的取值规律判断：当分子、分母均为正数时，分子大于分母，分式值大于1；分子等于分母（不为0），分式值等于1；分子小于分母，分式值小于1。第(2)问比较两个分式大小，首先根据已知条件判断两个分式均为正数，再采用作商比较法：两个正数相除，商小于1则被除数小于除数，结合第(1)问的结论即可推导结果。
【解析】
(1) 已知$a＞b＞0$，分子$a$大于分母$b$且均为正，因此$\frac{a}{b}＞1$；
已知$a=b≠0$，分子分母相等且不为0，因此$\frac{a}{b}=1$；
已知$0＜a＜b$，分子$a$小于分母$b$且均为正，因此$\frac{a}{b}＜1$。
(2) $\because a＞b＞0$
$\therefore a+b＞0$，$a-b＞0$，且$0＜a-b＜a+b$
对两个分式作除法运算：
$\frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{1}{a-b}}=\frac{a-b}{a+b}$
结合(1)的结论，$0＜a-b＜a+b$时，$\frac{a-b}{a+b}＜1$
根据作商比较法的规则：两个正数相除，商小于1说明被除数小于除数
$\therefore \frac{1}{a+b}＜\frac{1}{a-b}$
【答案】
(1) $＞$；$=$；$＜$
(2) $\frac{1}{a+b}＜\frac{1}{a-b}$
【知识点】
分式大小比较、作商比较法、分式除法运算
【点评】
本题考查分式相关的大小比较方法，第一问是基础结论，第二问结合第一问的结论用常用的作商法解题，逻辑连贯，需要注意使用作商法比较大小前要先判断两个数的正负性，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
