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一、填一填。
1.在边长为7厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径是（
1.在边长为7厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径是（
7
）厘米，半径是（3.5
）厘米。答案
1. 7 3.5
解析
【分析】
要解决这个问题，首先思考在正方形内画最大的圆的特点：要让圆最大，就不能让圆超出正方形的边界，此时圆的边缘会刚好和正方形的四条边相接触，所以圆的直径就等于正方形的边长。知道直径后，再根据同一个圆内半径是直径的一半，就能算出半径的长度。
【解析】
1. 求圆的直径：正方形内最大的圆的直径与正方形的边长相等，已知正方形边长为7厘米，因此这个圆的直径是7厘米。
2. 求圆的半径：根据圆的性质，同一个圆中半径=直径÷2，代入数据计算：$7÷2=3.5$（厘米）。
【答案】
7；3.5
【知识点】
圆的基本特征；直径与半径的关系；正方形内最大圆的规律
【点评】
这道题是圆的认识模块的基础常规题，核心是掌握正方形内最大圆的直径等于正方形边长这一规律，是后续学习圆的周长、面积相关计算的基础。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先思考在正方形内画最大的圆的特点：要让圆最大，就不能让圆超出正方形的边界，此时圆的边缘会刚好和正方形的四条边相接触，所以圆的直径就等于正方形的边长。知道直径后，再根据同一个圆内半径是直径的一半，就能算出半径的长度。
【解析】
1. 求圆的直径：正方形内最大的圆的直径与正方形的边长相等，已知正方形边长为7厘米，因此这个圆的直径是7厘米。
2. 求圆的半径：根据圆的性质，同一个圆中半径=直径÷2，代入数据计算：$7÷2=3.5$（厘米）。
【答案】
7；3.5
【知识点】
圆的基本特征；直径与半径的关系；正方形内最大圆的规律
【点评】
这道题是圆的认识模块的基础常规题，核心是掌握正方形内最大圆的直径等于正方形边长这一规律，是后续学习圆的周长、面积相关计算的基础。
【难度系数】
0.9
2. 如图，这张长方形纸片最多能剪出（
6
）张半径为1.5 cm的圆形纸片。答案
2. 6
解析
【分析】
要计算能剪出多少张圆形纸片，首先需明确：半径1.5cm的圆，放置时至少需要边长等于圆直径的正方形区域。我们先算出圆的直径，再分别看长方形的长、宽方向各能放下多少个这样的正方形，最后将两个方向的数量相乘即可得到总个数，注意不能直接用面积相除，裁剪的边角料无法拼接成完整的圆。
【解析】
第一步：计算圆形纸片的直径
已知圆的半径$r=1.5\mathrm{cm}$，根据直径与半径的关系$d=2r$，可得$d=2×1.5=3\mathrm{cm}$，即每个圆需要边长为3cm的正方形区域裁剪。
第二步：计算长方形长边可剪出的圆的数量
长方形长为9cm，$9÷3=3$（个），即长边最多可以放3个边长3cm的正方形。
第三步：计算长方形宽边可剪出的圆的数量
长方形宽为6cm，$6÷3=2$（个），即宽边最多可以放2个边长3cm的正方形。
第四步：计算总数量
总个数=长边可剪数量×宽边可剪数量$=3×2=6$（张）
【答案】
6
【知识点】
1. 圆的半径与直径关系
2. 图形裁剪计算
3. 长方形的特征
【点评】
本题易犯的错误是直接用长方形面积除以单个圆的面积得到结果，忽略了裁剪过程中边角料无法拼接为完整圆的实际情况，解题时需结合图形的边长关系分析，而非仅用面积计算。
【难度系数】
0.7
要计算能剪出多少张圆形纸片，首先需明确：半径1.5cm的圆，放置时至少需要边长等于圆直径的正方形区域。我们先算出圆的直径，再分别看长方形的长、宽方向各能放下多少个这样的正方形，最后将两个方向的数量相乘即可得到总个数，注意不能直接用面积相除，裁剪的边角料无法拼接成完整的圆。
【解析】
第一步：计算圆形纸片的直径
已知圆的半径$r=1.5\mathrm{cm}$，根据直径与半径的关系$d=2r$，可得$d=2×1.5=3\mathrm{cm}$，即每个圆需要边长为3cm的正方形区域裁剪。
第二步：计算长方形长边可剪出的圆的数量
长方形长为9cm，$9÷3=3$（个），即长边最多可以放3个边长3cm的正方形。
第三步：计算长方形宽边可剪出的圆的数量
长方形宽为6cm，$6÷3=2$（个），即宽边最多可以放2个边长3cm的正方形。
第四步：计算总数量
总个数=长边可剪数量×宽边可剪数量$=3×2=6$（张）
【答案】
6
【知识点】
1. 圆的半径与直径关系
2. 图形裁剪计算
3. 长方形的特征
【点评】
本题易犯的错误是直接用长方形面积除以单个圆的面积得到结果，忽略了裁剪过程中边角料无法拼接为完整圆的实际情况，解题时需结合图形的边长关系分析，而非仅用面积计算。
【难度系数】
0.7
3.上右图由四个大小相同的圆组成，依次连接四个圆的圆心，得到一个四边形。
已知该四边形的每个内角都是$90°$，这个四边形是（
已知该四边形的每个内角都是$90°$，这个四边形是（
正方
）形。答案
3. 正方
解析
【分析】
解题时首先结合圆的特征思考：四个大小相同的圆，半径完全相等。观察连接四个圆心的四边形，每条边的长度都是相邻两个圆心的距离，等于2条半径的长度，因此四边形的四条边长度都相等。再结合题目给出的“每个内角都是90°”的条件，回忆四边形的分类特征，即可判断图形类型。
【解析】
1. 因为四个圆大小相同，所以所有圆的半径都相等。
2. 相邻两个圆心的距离=半径+半径，因此四边形的四条边长度都相等。
3. 已知该四边形每个内角都是90°，即四个角都是直角。
4. 四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。
【答案】
正方
【知识点】
圆的特征；正方形的判定
【点评】
本题将圆的基本特征和平面图形的判定结合考查，需要同学们先通过圆的半径相等推导出四边形的边长关系，再结合角的特征判断图形，能很好地考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合圆的特征思考：四个大小相同的圆，半径完全相等。观察连接四个圆心的四边形，每条边的长度都是相邻两个圆心的距离，等于2条半径的长度，因此四边形的四条边长度都相等。再结合题目给出的“每个内角都是90°”的条件，回忆四边形的分类特征，即可判断图形类型。
【解析】
1. 因为四个圆大小相同，所以所有圆的半径都相等。
2. 相邻两个圆心的距离=半径+半径，因此四边形的四条边长度都相等。
3. 已知该四边形每个内角都是90°，即四个角都是直角。
4. 四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。
【答案】
正方
【知识点】
圆的特征；正方形的判定
【点评】
本题将圆的基本特征和平面图形的判定结合考查，需要同学们先通过圆的半径相等推导出四边形的边长关系，再结合角的特征判断图形，能很好地考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
二、填表。
| 实物 | 井盖 | 杯盖 | 盘子 | 纽扣 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 半径 | | 4
cm | | 0.6 cm |
| 直径 | 7 dm | | 19 cm | |
| 实物 | 井盖 | 杯盖 | 盘子 | 纽扣 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 半径 | | 4
cm | | 0.6 cm || 直径 | 7 dm | | 19 cm | |
答案
1. 3.5 dm 9.5 dm 8 cm 1.2 cm
解析
【分析】
解决本题首先要明确同一个圆内半径和直径的关系：直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，对应的公式为：直径$d=2×$半径$r$，半径$r=$直径$d÷2$。我们只需要逐个找到每个实物已知的量，选择对应公式计算未知量即可，计算时要注意单位和已知量保持一致。
【解析】
1. 计算井盖的半径：已知井盖直径是7dm，根据$r=d÷2$，得半径$=7÷2=3.5\mathrm{dm}$；
2. 计算杯盖的直径：已知杯盖半径是4cm，根据$d=2r$，得直径$=4×2=8\mathrm{cm}$；
3. 计算盘子的半径：已知盘子直径是19cm，根据$r=d÷2$，得半径$=19÷2=9.5\mathrm{cm}$；
4. 计算纽扣的直径：已知纽扣半径是0.6cm，根据$d=2r$，得直径$=0.6×2=1.2\mathrm{cm}$。
【答案】
井盖半径：3.5 dm，杯盖直径：8 cm，盘子半径：9.5 cm，纽扣直径：1.2 cm
【知识点】
圆的半径与直径的关系
【点评】
本题是基础应用题，主要考察圆的基本特征的应用，计算难度低，只要牢记半径和直径的倍数关系，细心计算就能做对。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确同一个圆内半径和直径的关系：直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，对应的公式为：直径$d=2×$半径$r$，半径$r=$直径$d÷2$。我们只需要逐个找到每个实物已知的量，选择对应公式计算未知量即可，计算时要注意单位和已知量保持一致。
【解析】
1. 计算井盖的半径：已知井盖直径是7dm，根据$r=d÷2$，得半径$=7÷2=3.5\mathrm{dm}$；
2. 计算杯盖的直径：已知杯盖半径是4cm，根据$d=2r$，得直径$=4×2=8\mathrm{cm}$；
3. 计算盘子的半径：已知盘子直径是19cm，根据$r=d÷2$，得半径$=19÷2=9.5\mathrm{cm}$；
4. 计算纽扣的直径：已知纽扣半径是0.6cm，根据$d=2r$，得直径$=0.6×2=1.2\mathrm{cm}$。
【答案】
井盖半径：3.5 dm，杯盖直径：8 cm，盘子半径：9.5 cm，纽扣直径：1.2 cm
【知识点】
圆的半径与直径的关系
【点评】
本题是基础应用题，主要考察圆的基本特征的应用，计算难度低，只要牢记半径和直径的倍数关系，细心计算就能做对。
【难度系数】
0.9
三、下列选项中，隐藏的数学道理不能用“圆，一中同长也”直接解释的是（
（选一选）
A.车轮做成圆形，行驶起来不颠
B.篝火晚会时，人们自然地围成圆形
C.以同一点为圆心可以画出无数个圆
D.套圈游戏中，学生围成圆形更公平
C
）。（选一选）
A.车轮做成圆形，行驶起来不颠
B.篝火晚会时，人们自然地围成圆形
C.以同一点为圆心可以画出无数个圆
D.套圈游戏中，学生围成圆形更公平
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确“圆，一中同长也”对应的数学含义：“一中”指圆有唯一的圆心，“同长”指同一个圆中所有半径的长度都相等。接下来我们逐一分析每个选项用到的数学原理，判断哪个选项没有用到“同一个圆半径相等”这一特征，即可得到答案。
【解析】
首先解释“圆，一中同长也”的意思：圆有一个中心点（圆心），同一个圆内，圆心到圆上任意一点的距离（半径）长度都相等。
对各选项逐一分析：
A. 车轮做成圆形，车轴固定在圆心位置，滚动时车轴到地面的距离始终等于半径，保持不变，所以行驶起来不颠，符合该原理，可以直接解释。
B. 人们围成圆形时，篝火在圆心位置，所有人到篝火的距离都等于半径，距离相等方便观看，符合该原理，可以直接解释。
C. 以同一点为圆心可以画无数个圆，是因为半径可以取任意不同的长度，和“同长（半径相等）”的特征无关，不能用该原理直接解释。
D. 套圈游戏中学生围成圆形，目标放在圆心处，所有学生到目标的距离都相等，保证游戏公平，符合该原理，可以直接解释。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本特征，半径的性质，生活中的数学应用
【点评】
本题结合古代数学记载和生活常见场景，考查对圆核心特征的理解，引导同学们学会将数学原理和生活实际关联起来分析问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确“圆，一中同长也”对应的数学含义：“一中”指圆有唯一的圆心，“同长”指同一个圆中所有半径的长度都相等。接下来我们逐一分析每个选项用到的数学原理，判断哪个选项没有用到“同一个圆半径相等”这一特征，即可得到答案。
【解析】
首先解释“圆，一中同长也”的意思：圆有一个中心点（圆心），同一个圆内，圆心到圆上任意一点的距离（半径）长度都相等。
对各选项逐一分析：
A. 车轮做成圆形，车轴固定在圆心位置，滚动时车轴到地面的距离始终等于半径，保持不变，所以行驶起来不颠，符合该原理，可以直接解释。
B. 人们围成圆形时，篝火在圆心位置，所有人到篝火的距离都等于半径，距离相等方便观看，符合该原理，可以直接解释。
C. 以同一点为圆心可以画无数个圆，是因为半径可以取任意不同的长度，和“同长（半径相等）”的特征无关，不能用该原理直接解释。
D. 套圈游戏中学生围成圆形，目标放在圆心处，所有学生到目标的距离都相等，保证游戏公平，符合该原理，可以直接解释。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本特征，半径的性质，生活中的数学应用
【点评】
本题结合古代数学记载和生活常见场景，考查对圆核心特征的理解，引导同学们学会将数学原理和生活实际关联起来分析问题。
【难度系数】
0.8
四、看图填一填。
大圆半径是（
圆的半径是（
大圆半径是（1.5 cm
），小圆半径是（1 cm
）。 圆的半径是（2 dm
），直径是（4 dm
）。答案
1.5 cm 1 cm 2 dm 4 dm
解析
【分析】
解决这道题首先要牢记同圆中半径和直径的关系：直径=半径×2，半径=直径÷2。解题时先观察每幅图中标注的已知长度，先判断已知的是直径还是半径，再根据对应公式计算出要求的量即可。
针对插图1：先找到大圆对应的已知直径长度，用直径除以2就能得到大圆的半径；再找到小圆对应的已知直径长度，除以2得到小圆的半径。
针对插图2：先找到图中标注的已知长度，结合半径和直径的换算关系计算即可。
【解析】
1. 插图1：观察可得大圆直径为3cm，根据公式半径=直径÷2，大圆半径=3÷2=1.5cm；小圆直径为2cm，小圆半径=2÷2=1cm。
2. 插图2：观察可得圆的直径为4dm，根据公式半径=直径÷2，圆的半径=4÷2=2dm，直径即为标注的4dm。
【答案】
1.5 cm；1 cm；2 dm；4 dm
【知识点】
圆的各部分名称；半径与直径的关系
【点评】
本题是圆的认识的基础题型，重点考查对半径、直径概念的理解和二者换算关系的应用，只要准确读取图中的已知长度，代入公式计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要牢记同圆中半径和直径的关系：直径=半径×2，半径=直径÷2。解题时先观察每幅图中标注的已知长度，先判断已知的是直径还是半径，再根据对应公式计算出要求的量即可。
针对插图1：先找到大圆对应的已知直径长度，用直径除以2就能得到大圆的半径；再找到小圆对应的已知直径长度，除以2得到小圆的半径。
针对插图2：先找到图中标注的已知长度，结合半径和直径的换算关系计算即可。
【解析】
1. 插图1：观察可得大圆直径为3cm，根据公式半径=直径÷2，大圆半径=3÷2=1.5cm；小圆直径为2cm，小圆半径=2÷2=1cm。
2. 插图2：观察可得圆的直径为4dm，根据公式半径=直径÷2，圆的半径=4÷2=2dm，直径即为标注的4dm。
【答案】
1.5 cm；1 cm；2 dm；4 dm
【知识点】
圆的各部分名称；半径与直径的关系
【点评】
本题是圆的认识的基础题型，重点考查对半径、直径概念的理解和二者换算关系的应用，只要准确读取图中的已知长度，代入公式计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.9
五、【思维拓展】把一只羊拴在边长为8 m的正方形草坪上，拴羊的绳子长4 m。拴在哪个位置羊吃到的草最多？拴在哪个位置羊吃到的草最少？用圆规画图，把羊能吃到草的范围画出来。
答案
图略 拴在草坪中心羊能吃到的草最多,拴在草坪的任一直角处,羊能吃到的草最少。
解析
【分析】
解题时首先明确羊能吃到草的范围：是以拴羊点为圆心、绳长4m为半径的圆和正方形草坪的重叠区域，判断吃草多少本质是比较这个重叠区域的大小。已知正方形边长为8m，恰好是绳长的2倍：①要让重叠面积最大，需要让整个圆尽可能落在正方形内部，正方形中心到各边的距离都是4m，刚好等于绳长，此时圆完全在正方形内，面积最大；②要让重叠面积最小，需要让圆被正方形挡住的部分最多，正方形的直角顶点处内角为90°，只有四分之一的圆在正方形内部，此时重叠面积最小。画图时第一个正方形以中心为圆心画半径4m的圆，第二个正方形以一个顶点为圆心画正方形内部的四分之一圆即可。
【解析】
羊能吃到草的区域是：以拴羊位置为圆心，绳子长度4m为半径的圆，与边长为8m的正方形草坪的重叠部分。
1. 分析拴在草坪中心的情况：
正方形边长为8m，中心到每条边的距离为$8÷2=4\mathrm{m}$，刚好等于绳长，因此整个半径4m的圆都在正方形内部，吃草面积为完整的圆面积：
$S=π r^2=π×4^2=16π(\mathrm{m}^2)$
2. 分析拴在草坪直角顶点的情况：
正方形内角为90°，仅占周角360°的$\frac{1}{4}$，因此只有$\frac{1}{4}$的圆落在草坪内部，吃草面积为：
$S=\frac{1}{4}×π×4^2=4π(\mathrm{m}^2)$
3. 若拴在正方形边的非顶点位置，重叠区域为半圆，面积为$8π\mathrm{m}^2$，介于上述两者之间。
对比可得拴在中心时吃草面积最大，拴在直角顶点时吃草面积最小。
画图说明：左图以正方形对角线交点（中心）为圆心，按比例取4m长度为半径画完整的圆，即为吃草范围；右图选正方形任意一个顶点为圆心，按比例取4m为半径，在正方形内部画90°的扇形，即为吃草范围。
【答案】
图略。拴在草坪中心羊能吃到的草最多，拴在草坪的任一直角处，羊能吃到的草最少。
【知识点】
圆的认识；扇形面积计算；图形重叠面积分析
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关性质，需要结合正方形和圆的位置特征判断重叠区域的大小，能很好地锻炼空间想象能力和将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确羊能吃到草的范围：是以拴羊点为圆心、绳长4m为半径的圆和正方形草坪的重叠区域，判断吃草多少本质是比较这个重叠区域的大小。已知正方形边长为8m，恰好是绳长的2倍：①要让重叠面积最大，需要让整个圆尽可能落在正方形内部，正方形中心到各边的距离都是4m，刚好等于绳长，此时圆完全在正方形内，面积最大；②要让重叠面积最小，需要让圆被正方形挡住的部分最多，正方形的直角顶点处内角为90°，只有四分之一的圆在正方形内部，此时重叠面积最小。画图时第一个正方形以中心为圆心画半径4m的圆，第二个正方形以一个顶点为圆心画正方形内部的四分之一圆即可。
【解析】
羊能吃到草的区域是：以拴羊位置为圆心，绳子长度4m为半径的圆，与边长为8m的正方形草坪的重叠部分。
1. 分析拴在草坪中心的情况：
正方形边长为8m，中心到每条边的距离为$8÷2=4\mathrm{m}$，刚好等于绳长，因此整个半径4m的圆都在正方形内部，吃草面积为完整的圆面积：
$S=π r^2=π×4^2=16π(\mathrm{m}^2)$
2. 分析拴在草坪直角顶点的情况：
正方形内角为90°，仅占周角360°的$\frac{1}{4}$，因此只有$\frac{1}{4}$的圆落在草坪内部，吃草面积为：
$S=\frac{1}{4}×π×4^2=4π(\mathrm{m}^2)$
3. 若拴在正方形边的非顶点位置，重叠区域为半圆，面积为$8π\mathrm{m}^2$，介于上述两者之间。
对比可得拴在中心时吃草面积最大，拴在直角顶点时吃草面积最小。
画图说明：左图以正方形对角线交点（中心）为圆心，按比例取4m长度为半径画完整的圆，即为吃草范围；右图选正方形任意一个顶点为圆心，按比例取4m为半径，在正方形内部画90°的扇形，即为吃草范围。
【答案】
图略。拴在草坪中心羊能吃到的草最多，拴在草坪的任一直角处，羊能吃到的草最少。
【知识点】
圆的认识；扇形面积计算；图形重叠面积分析
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关性质，需要结合正方形和圆的位置特征判断重叠区域的大小，能很好地锻炼空间想象能力和将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
