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7.如图①，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，点O是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则$S_{△ OAB}:S_{△ OAC}:S_{△ OBC}=$
【变式1·逆向推理】如图②，已知△ABC的面积是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的周长＝
【变式2·转化思想】如图③，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD＝35°，则∠MAB的度数是
2：3：4
.【变式1·逆向推理】如图②，已知△ABC的面积是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的周长＝
14
.【变式2·转化思想】如图③，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD＝35°，则∠MAB的度数是
35°
.答案
7.2：3：4
【变式1·逆向推理】14
【变式2·转化思想】35°
【变式1·逆向推理】14
【变式2·转化思想】35°
解析
【分析】
1. 第7题：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点O到△ABC三边的距离相等，即三个小三角形的高相等，因此面积比等于对应底边长的比，代入三边长度化简即可。
2. 变式1：由角平分线的性质可得点O到△ABC三边的距离都等于OD=3，△ABC的面积等于三个小三角形的面积之和，代入面积公式即可求出三边之和即周长。
3. 变式2：过点M作ME⊥AD于E，先由角平分线的性质得MC=ME，结合M是BC中点得ME=MB，再由角平分线的判定得AM平分∠DAB；先由直角三角形两锐角互余求∠CDM，再由角平分线定义得∠ADC，结合∠B、∠C为直角得AB//CD，由平行线性质求∠DAB，最后根据角平分线定义求∠MAB的度数。
【解析】
第7题
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、AC、BC三边的距离相等，设该距离为h。
则$S_{△OAB}=\frac{1}{2}AB· h$，$S_{△OAC}=\frac{1}{2}AC· h$，$S_{△OBC}=\frac{1}{2}BC· h$
∴$S_{△OAB}:S_{△OAC}:S_{△OBC}=AB:AC:BC=4:6:8=2:3:4$
变式1
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=3，
$S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OAC}+S_{△OBC}=\frac{1}{2}AB· OE+\frac{1}{2}AC· OF+\frac{1}{2}BC· OD$
代入OD=OE=OF=3，$S_{△ABC}=21$得：
$21=\frac{1}{2}×3×(AB+AC+BC)$
解得$AB+AC+BC=14$，即△ABC的周长为14。
变式2
过点M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，∠CDM=∠EDM，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴ME=MB，
又
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB，即∠MAB=∠MAD，
∵∠CMD=35°，∠C=90°，
∴∠CDM=90°-35°=55°，
∴∠ADC=2∠CDM=110°，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB//CD，
∴∠DAB+∠ADC=180°，
∴∠DAB=180°-110°=70°，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠DAB=35°。
【答案】
7. $\boldsymbol{2:3:4}$；【变式1·逆向推理】$\boldsymbol{14}$；【变式2·转化思想】$\boldsymbol{35°}$
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形面积计算；平行线的性质
【点评】
本组题目围绕角平分线的核心性质设计，涵盖正向应用、逆向计算和构造辅助线三类考法，能有效检验对相关知识点的灵活运用能力；解题时遇到角平分线条件，可优先考虑作垂线构造等距离线段，快速建立已知条件和所求量的关联。
【难度系数】
0.7
1. 第7题：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点O到△ABC三边的距离相等，即三个小三角形的高相等，因此面积比等于对应底边长的比，代入三边长度化简即可。
2. 变式1：由角平分线的性质可得点O到△ABC三边的距离都等于OD=3，△ABC的面积等于三个小三角形的面积之和，代入面积公式即可求出三边之和即周长。
3. 变式2：过点M作ME⊥AD于E，先由角平分线的性质得MC=ME，结合M是BC中点得ME=MB，再由角平分线的判定得AM平分∠DAB；先由直角三角形两锐角互余求∠CDM，再由角平分线定义得∠ADC，结合∠B、∠C为直角得AB//CD，由平行线性质求∠DAB，最后根据角平分线定义求∠MAB的度数。
【解析】
第7题
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、AC、BC三边的距离相等，设该距离为h。
则$S_{△OAB}=\frac{1}{2}AB· h$，$S_{△OAC}=\frac{1}{2}AC· h$，$S_{△OBC}=\frac{1}{2}BC· h$
∴$S_{△OAB}:S_{△OAC}:S_{△OBC}=AB:AC:BC=4:6:8=2:3:4$
变式1
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=3，
$S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OAC}+S_{△OBC}=\frac{1}{2}AB· OE+\frac{1}{2}AC· OF+\frac{1}{2}BC· OD$
代入OD=OE=OF=3，$S_{△ABC}=21$得：
$21=\frac{1}{2}×3×(AB+AC+BC)$
解得$AB+AC+BC=14$，即△ABC的周长为14。
变式2
过点M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，∠CDM=∠EDM，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴ME=MB，
又
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB，即∠MAB=∠MAD，
∵∠CMD=35°，∠C=90°，
∴∠CDM=90°-35°=55°，
∴∠ADC=2∠CDM=110°，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB//CD，
∴∠DAB+∠ADC=180°，
∴∠DAB=180°-110°=70°，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠DAB=35°。
【答案】
7. $\boldsymbol{2:3:4}$；【变式1·逆向推理】$\boldsymbol{14}$；【变式2·转化思想】$\boldsymbol{35°}$
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形面积计算；平行线的性质
【点评】
本组题目围绕角平分线的核心性质设计，涵盖正向应用、逆向计算和构造辅助线三类考法，能有效检验对相关知识点的灵活运用能力；解题时遇到角平分线条件，可优先考虑作垂线构造等距离线段，快速建立已知条件和所求量的关联。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$CA = CB$，$CD = CE$，$∠ ACB = ∠ DCE=α$，$AD$，$BE$交于点$H$，连接$CH$. 则$∠ CHE$的度数为
$\frac{1}{2}(180°-α)$
.(用含$α$的式子表示)答案
8.$\frac{1}{2}(180°-α)$
解析
【分析】
解题可按以下思路展开：①先利用已知的等角、等边条件证明△ACD≌△BCE：已知∠ACB=∠DCE，两个角同时加上公共角∠BCD即可得到相等的夹角∠ACD=∠BCE，结合CA=CB、CD=CE用SAS判定全等；②再证明CH平分∠AHE：过C作AD、BE的垂线，利用全等三角形面积相等、对应边相等，可得两条垂线段长度相等，根据角平分线的判定定理即可得出CH平分∠AHE；③最后推导角度：利用全等得到的对应角相等，推出∠AHB与已知角α相等，进而得到∠AHE的度数，取一半即为∠CHE的度数。
【解析】
1. 证明△ACD≌△BCE：
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即$∠ ACD=∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}CA=CB（已知）\\∠ ACD=∠ BCE（已证）\\CD=CE（已知）\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ BCE$（SAS）。
2. 证明CH平分∠AHE：
过点C作$CM ⊥ AD$于M，$CN ⊥ BE$于N。
∵$△ ACD ≌ △ BCE$，
∴$S_{△ ACD}=S_{△ BCE}$，且$AD=BE$，
∴$\frac{1}{2} · AD · CM = \frac{1}{2} · BE · CN$，即$CM=CN$。
又
∵$CM ⊥ AD$，$CN ⊥ BE$，
∴点C在$∠ AHE$的角平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴$CH$平分$∠ AHE$，即$∠ CHE=\frac{1}{2}∠ AHE$。
3. 计算∠CHE的度数：
设BC与AD交于点F，
∵$△ ACD ≌ △ BCE$，
∴$∠ CAD=∠ CBE$。
在$△ AFC$和$△ BFH$中，$∠ AFC=∠ BFH$（对顶角相等），
∴$∠ AHB=∠ ACB=α$（三角形内角和为180°，两组角对应相等则第三组角相等）。
∵$∠ AHB+∠ AHE=180°$，
∴$∠ AHE=180°-α$，
∴$∠ CHE=\frac{1}{2}∠ AHE=\frac{1}{2}(180°-α)$。
【答案】
$\frac{1}{2}(180°-α)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的手拉手全等模型的应用，解题关键是先证明三角形全等得到边角关系，再结合角平分线的判定得到角的倍分关系，综合性较强，需要灵活运用所学的几何定理。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路展开：①先利用已知的等角、等边条件证明△ACD≌△BCE：已知∠ACB=∠DCE，两个角同时加上公共角∠BCD即可得到相等的夹角∠ACD=∠BCE，结合CA=CB、CD=CE用SAS判定全等；②再证明CH平分∠AHE：过C作AD、BE的垂线，利用全等三角形面积相等、对应边相等，可得两条垂线段长度相等，根据角平分线的判定定理即可得出CH平分∠AHE；③最后推导角度：利用全等得到的对应角相等，推出∠AHB与已知角α相等，进而得到∠AHE的度数，取一半即为∠CHE的度数。
【解析】
1. 证明△ACD≌△BCE：
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即$∠ ACD=∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}CA=CB（已知）\\∠ ACD=∠ BCE（已证）\\CD=CE（已知）\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ BCE$（SAS）。
2. 证明CH平分∠AHE：
过点C作$CM ⊥ AD$于M，$CN ⊥ BE$于N。
∵$△ ACD ≌ △ BCE$，
∴$S_{△ ACD}=S_{△ BCE}$，且$AD=BE$，
∴$\frac{1}{2} · AD · CM = \frac{1}{2} · BE · CN$，即$CM=CN$。
又
∵$CM ⊥ AD$，$CN ⊥ BE$，
∴点C在$∠ AHE$的角平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴$CH$平分$∠ AHE$，即$∠ CHE=\frac{1}{2}∠ AHE$。
3. 计算∠CHE的度数：
设BC与AD交于点F，
∵$△ ACD ≌ △ BCE$，
∴$∠ CAD=∠ CBE$。
在$△ AFC$和$△ BFH$中，$∠ AFC=∠ BFH$（对顶角相等），
∴$∠ AHB=∠ ACB=α$（三角形内角和为180°，两组角对应相等则第三组角相等）。
∵$∠ AHB+∠ AHE=180°$，
∴$∠ AHE=180°-α$，
∴$∠ CHE=\frac{1}{2}∠ AHE=\frac{1}{2}(180°-α)$。
【答案】
$\frac{1}{2}(180°-α)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的手拉手全等模型的应用，解题关键是先证明三角形全等得到边角关系，再结合角平分线的判定得到角的倍分关系，综合性较强，需要灵活运用所学的几何定理。
【难度系数】
0.6
9. 新情境 如图，直线 $ l_1, l_2, l_3 $ 表示某风景区三条相互交叉的防火通道，现要建一个塔台，若要求它到三条防火通道的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
答案
9.解：(1)4处. (2)能，图略.
解析
【分析】
要找到到三条直线距离都相等的点，首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在该角的角平分线上。三条直线两两相交围成一个三角形，我们分两类找符合条件的点：一类是三角形内部的点，需同时在三个内角的角平分线上，即内角平分线交点；另一类是三角形外部的点，需同时在两个外角的角平分线上，即外角平分线交点，数清两类点的数量即可得到总个数，作图时只要作出对应角平分线取交点即可。
【解析】
(1) 直线$l_1,l_2,l_3$两两相交形成一个三角形：
① 三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条直线的距离相等，为第1处符合要求的地点；
② 三角形任意两个外角的角平分线交于1点，这类交点共有3个，每个点到三条直线的距离也相等，为另外3处符合要求的地点。
综上，总共有$1+3=4$处可选择的地点。
(2) 能画出塔台位置：先作出三角形三个内角的角平分线，得到1个交点；再分别作出每一组两个外角的角平分线，得到另外3个交点，这4个交点就是塔台的位置，作图略。
【答案】
(1)4处；(2)能，图略。
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，三角形角平分线特征
【点评】
本题结合实际场景考查角平分线知识的应用，解题时容易遗漏三角形外部的3个外角平分线交点，需要分类全面讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要找到到三条直线距离都相等的点，首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在该角的角平分线上。三条直线两两相交围成一个三角形，我们分两类找符合条件的点：一类是三角形内部的点，需同时在三个内角的角平分线上，即内角平分线交点；另一类是三角形外部的点，需同时在两个外角的角平分线上，即外角平分线交点，数清两类点的数量即可得到总个数，作图时只要作出对应角平分线取交点即可。
【解析】
(1) 直线$l_1,l_2,l_3$两两相交形成一个三角形：
① 三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条直线的距离相等，为第1处符合要求的地点；
② 三角形任意两个外角的角平分线交于1点，这类交点共有3个，每个点到三条直线的距离也相等，为另外3处符合要求的地点。
综上，总共有$1+3=4$处可选择的地点。
(2) 能画出塔台位置：先作出三角形三个内角的角平分线，得到1个交点；再分别作出每一组两个外角的角平分线，得到另外3个交点，这4个交点就是塔台的位置，作图略。
【答案】
(1)4处；(2)能，图略。
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，三角形角平分线特征
【点评】
本题结合实际场景考查角平分线知识的应用，解题时容易遗漏三角形外部的3个外角平分线交点，需要分类全面讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 几何直观 [2026 芜湖期末] 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=120°$,$BE$,$CF$是$△ ABC$的角平分线,它们相交于点$I$.
(1)如图①,连接$AI$,求证:点$I$在$∠ BAC$的平分线上;
(2)如图②,延长$AI$交$BC$于点$D$,过点$F$作$FT⊥ BC$于点$T$,$FL⊥ AD$于点$L$.求证:$FT=FL$.
(1)如图①,连接$AI$,求证:点$I$在$∠ BAC$的平分线上;
(2)如图②,延长$AI$交$BC$于点$D$,过点$F$作$FT⊥ BC$于点$T$,$FL⊥ AD$于点$L$.求证:$FT=FL$.
答案
10.证明：略.
解析
【分析】
(1) 要证点I在∠BAC的平分线上，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。因此过点I向△ABC三边作垂线，结合BE、CF是角平分线的性质，推导出I到AB、AC的距离相等即可得证。
(2) 要证FT=FL，可通过中间量等量转化：过F作FG垂直于CA的延长线，首先由CF是角平分线，得FG=FT；再结合(1)的结论得AD平分∠BAC，推出∠FAG=∠FAL，证明△AFG和△AFL全等，得FG=FL，等量代换即可得到FT=FL。
【解析】
(1) 证明：过点$I$作$IM⊥ AB$于$M$，$IN⊥ BC$于$N$，$IP⊥ AC$于$P$。
$\because BE$是$△ ABC$的角平分线，$IM⊥ AB$，$IN⊥ BC$，
$\therefore IM=IN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because CF$是$△ ABC$的角平分线，$IN⊥ BC$，$IP⊥ AC$，
$\therefore IN=IP$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\therefore IM=IP$，
又$\because IM⊥ AB$，$IP⊥ AC$，
$\therefore$点$I$在$∠ BAC$的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
(2) 证明：过点$F$作$FG⊥ AC$，交$CA$的延长线于点$G$。
$\because CF$平分$∠ ACB$，$FG⊥ AC$，$FT⊥ BC$，
$\therefore FG=FT$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
由(1)可知$AD$平分$∠ BAC$，$\because ∠ BAC=120°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ FAG=180°-∠ BAC=60°$，即$∠ FAG=∠ FAL=60°$。
$\because FG⊥ AC$，$FL⊥ AD$，
$\therefore ∠ G=∠ ALF=90°$。
在$△ AFG$和$△ AFL$中：
$\begin{cases}∠ G=∠ ALF \\∠ FAG=∠ FAL \\AF=AF\end{cases}$
$\therefore △ AFG≌ △ AFL(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FG=FL$，
又$\because FG=FT$，
$\therefore FT=FL$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 证明见解析。
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定
【点评】
本题是角平分线相关定理的综合应用题型，解题核心是合理构造辅助线，利用角平分线性质完成线段的等量转换，再结合全等三角形的判定证明线段相等，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证点I在∠BAC的平分线上，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。因此过点I向△ABC三边作垂线，结合BE、CF是角平分线的性质，推导出I到AB、AC的距离相等即可得证。
(2) 要证FT=FL，可通过中间量等量转化：过F作FG垂直于CA的延长线，首先由CF是角平分线，得FG=FT；再结合(1)的结论得AD平分∠BAC，推出∠FAG=∠FAL，证明△AFG和△AFL全等，得FG=FL，等量代换即可得到FT=FL。
【解析】
(1) 证明：过点$I$作$IM⊥ AB$于$M$，$IN⊥ BC$于$N$，$IP⊥ AC$于$P$。
$\because BE$是$△ ABC$的角平分线，$IM⊥ AB$，$IN⊥ BC$，
$\therefore IM=IN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because CF$是$△ ABC$的角平分线，$IN⊥ BC$，$IP⊥ AC$，
$\therefore IN=IP$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\therefore IM=IP$，
又$\because IM⊥ AB$，$IP⊥ AC$，
$\therefore$点$I$在$∠ BAC$的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
(2) 证明：过点$F$作$FG⊥ AC$，交$CA$的延长线于点$G$。
$\because CF$平分$∠ ACB$，$FG⊥ AC$，$FT⊥ BC$，
$\therefore FG=FT$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
由(1)可知$AD$平分$∠ BAC$，$\because ∠ BAC=120°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ FAG=180°-∠ BAC=60°$，即$∠ FAG=∠ FAL=60°$。
$\because FG⊥ AC$，$FL⊥ AD$，
$\therefore ∠ G=∠ ALF=90°$。
在$△ AFG$和$△ AFL$中：
$\begin{cases}∠ G=∠ ALF \\∠ FAG=∠ FAL \\AF=AF\end{cases}$
$\therefore △ AFG≌ △ AFL(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FG=FL$，
又$\because FG=FT$，
$\therefore FT=FL$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 证明见解析。
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定
【点评】
本题是角平分线相关定理的综合应用题型，解题核心是合理构造辅助线，利用角平分线性质完成线段的等量转换，再结合全等三角形的判定证明线段相等，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
