1. 下列图形一定为矩形的是()。

1.C

【分析】
解题需结合矩形的判定定理逐一分析选项：首先回忆矩形的核心判定规则：①三个角为直角的四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形。先看每个选项的直角标注和边长条件：
1. 选项A仅标注了一组对角为直角，剩余两个角不一定是直角，无法判定为矩形；
2. 选项B仅标注底边两个角为直角，只能说明左右两边均垂直于底边、互相平行，但无法确定左右两边长度相等，可能为直角梯形，排除；
3. 选项C标注底边两个角为直角，说明左右两边平行，同时左右两边长度均为3，即一组对边平行且相等，可判定为平行四边形，再结合有直角的条件，即可判定为矩形；
4. 选项D仅标注底边两个直角、左侧高3、上边长4，无法确定左右边长度相等，也不能证明第三个角为直角，可能为直角梯形，排除。
【解析】
我们根据矩形的判定定理逐一判断：
选项A：仅2个对角为直角，其余角度不确定，不一定是矩形；
选项B：仅底边2个角为直角，只能推出左右两边平行，无法证明对边相等，可能是直角梯形，不一定是矩形；
选项C：底边2个角为直角，可得左右两边都垂直于底边，因此左右两边互相平行，又因为左右两边长度均为3，平行且相等，所以该四边形是平行四边形，且存在直角，因此一定是矩形；
选项D：仅给出底边2个直角、左侧高3、上边长4，无法证明对边相等，不一定是矩形。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定
【点评】
本题重点考查矩形的判定条件，需要注意区分平行四边形和直角梯形的特征，解题时要结合给出的角和边长条件全面判断，避免遗漏判定前提。
【难度系数】
0.7

2. 在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形木框是否为矩形。下面是某小组四名同学拟定的方案，其中符合要求的是()。

A.测量对角线是否相等
B.测量四边形其中的三个角是否都为直角
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量一组对角是否都为直角

2.B

【分析】
本题考查矩形的判定，解题时需结合矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件是否能充分判定四边形为矩形。首先回忆矩形的核心判定规则：一是三个角为直角的四边形是矩形；二是对角线相等的平行四边形是矩形；三是有一个角为直角的平行四边形是矩形。接下来逐个验证选项：A选项仅对角线相等无法判定，因为等腰梯形对角线也相等；B选项三个角为直角，结合四边形内角和可推出第四个角也是直角，符合矩形判定；C选项两组对边相等只能判定为平行四边形，缺少矩形的特有条件；D选项一组对角为直角不能保证其余两角也是直角，无法判定。
【解析】
结合矩形判定定理对各选项逐一分析：
A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，该方案不符合要求；
B. 四边形内角和为$360°$，若三个角均为直角，则第四个角度数为$360°-90°×3=90°$，四个角均为直角，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可判定该四边形为矩形，该方案符合要求；
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形不一定是矩形，缺少直角或对角线相等的判定条件，该方案不符合要求；
D. 一组对角为直角的四边形，剩余两个角的和为$180°$，但不一定都是直角，无法判定为矩形，该方案不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定定理；四边形内角和定理
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查矩形判定条件的灵活运用，解题关键是区分普通四边形和平行四边形判定为矩形的不同前提，避免漏记判定条件导致错选。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在四边形ABCD中：
①它的两组对边分别相等；②它是矩形；
③它是平行四边形；④它有一个角是直角。
证明四边形ABCD是矩形的正确顺序是（）。


A.④②①③
B.①③④②
C.②④①③
D.②④①③

3.B

【分析】
要确定证明四边形是矩形的正确顺序，需结合平行四边形、矩形的判定定理梳理推导逻辑：首先先通过对边的条件判断四边形是否为平行四边形，再在平行四边形的基础上添加直角的条件推导得到矩形。首先，“两组对边分别相等”是平行四边形的判定条件，可先由①推出③；再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由③加④推出②，即可得到正确顺序。
【解析】
1. 由条件①“四边形ABCD两组对边分别相等”，根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可推出结论③“四边形ABCD是平行四边形”；
2. 在已证得四边形是平行四边形的基础上，补充条件④“四边形有一个角是直角”，根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可推出最终结论②“四边形ABCD是矩形”。
因此证明的正确顺序为①③④②，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的判定
【点评】
本题核心考查特殊四边形的判定逻辑，需要同学们熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理，理清推导的先后层级就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

4. 如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD是AC边上的中线，OF平分∠BOC，CE//OD交OF于点E。求证：四边形CDOE是矩形。

证明:
∵OA=OC,OD是AC边上的中线，
∴∠CDO=90°,OD平分∠AOC,
∴∠COD=1/2∠AOC。
∵CE//OD,
∴∠DCE+∠CDO=180°,
∴∠DCE=90°。
∵OF平分∠BOC,
∴∠COE=1/2∠BOC。
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠COD+∠COE=90°,
∴∠DOE=90°,
∴四边形CDOE是矩形。

【分析】
要证明四边形CDOE是矩形，我们可以利用“三个内角为直角的四边形是矩形”的判定定理推导：首先从等腰三角形的性质入手，已知OA=OC，OD是AC边上的中线，根据等腰三角形三线合一可得到第一个直角∠CDO=90°，同时OD平分∠AOC；再结合OF平分∠BOC，利用平角∠AOB=180°的性质，可推出∠COD与∠COE的和为90°，得到第二个直角∠DOE=90°；最后根据CE//OD，利用平行线同旁内角互补的性质推出第三个直角∠DCE=90°，即可完成证明。
【解析】
证明:
∵OA=OC,OD是AC边上的中线，
∴∠CDO=90°,OD平分∠AOC,
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC。
∵CE//OD,
∴∠DCE+∠CDO=180°,
∴∠DCE=90°。
∵OF平分∠BOC,
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC。
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=90°,
∴∠DOE=90°,
∴四边形CDOE的三个内角均为直角，故四边形CDOE是矩形。
【答案】
证明:
∵OA=OC,OD是AC边上的中线，
∴∠CDO=90°,OD平分∠AOC,
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC。
∵CE//OD,
∴∠DCE+∠CDO=180°,
∴∠DCE=90°。
∵OF平分∠BOC,
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC。
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠COD+∠COE=90°,
∴∠DOE=90°,
∴四边形CDOE是矩形。
【知识点】
等腰三角形性质、角平分线定义、矩形的判定
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、平行线、角平分线的相关性质以及矩形的判定定理，解题核心是结合已知条件逐步推导得到四边形的三个内角为直角，属于几何证明的基础题型，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7

1. 如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的四条边AB,BC,CD,DA的中点,若四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD具有的特征是()。


A.一组对边平行而另一组对边不平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分

1.C

【分析】
解决本题需先明确中点四边形的推导方法：首先连接原四边形的两条对角线，利用三角形中位线定理可证任意四边形的中点四边形都是平行四边形；再结合矩形的判定条件（有一个角是直角的平行四边形是矩形），推导平行四边形的内角为直角时原四边形对角线满足的关系，即可得出结论。
【解析】
连接AC、BD：
1. 因为E、F分别是AB、BC的中点，根据三角形中位线定理可得：$EF// AC$，且$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理，H、G分别是AD、CD的中点，可得$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$。
因此$EF// HG$且$EF=HG$，所以四边形EFGH是平行四边形。
2. 若平行四边形EFGH为矩形，则需有一个内角为$90°$，即$EF⊥ FG$。
又因为F、G分别是BC、CD的中点，根据三角形中位线定理可得$FG// BD$。
结合之前的结论$EF// AC$，可得：若$EF⊥ FG$，则$AC⊥ BD$，即原四边形ABCD的对角线互相垂直。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理、矩形的判定、中点四边形
【点评】
本题重点考查中点四边形的形状与原四边形对角线特征的对应关系，解题的核心是先通过中位线定理确定中点四边形为平行四边形，再结合特殊平行四边形的判定条件反推原四边形的性质，熟练掌握相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.7