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4. 如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有
3
种。答案
4. 3
5. 如图，在$△ ABC$中，已知$∠ BAC = 45^{\circ}$，$AD⊥ BC$于点$D$，$BD = 2$，$DC = 3$，求$AD$的长。
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以$AB$，$AC$为对称轴，画出$△ ABD$，$△ ACD$的轴对称图形，点$D$的对称点分别为$E$，$F$，延长$EB$，$FC$相交于点$G$，证明四边形$AEGF$是正方形；
（2）设$AD = x$，利用勾股定理，建立关于$x$的方程模型，求$x$的值。
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以$AB$，$AC$为对称轴，画出$△ ABD$，$△ ACD$的轴对称图形，点$D$的对称点分别为$E$，$F$，延长$EB$，$FC$相交于点$G$，证明四边形$AEGF$是正方形；
（2）设$AD = x$，利用勾股定理，建立关于$x$的方程模型，求$x$的值。
答案
5. (1) 证明: 由题意可得 △ABD≌△ABE,
△ACD≌△ACF,
∴∠DAB=∠EAB,
∠DAC=∠FAC.
又∵∠BAC=45°,
∴∠EAF=90°.
又∵AD⊥BC,
∴∠E=∠ADB=90°,
∠F=∠ADC=90°.
又∵AE=AD, AF=AD,
∴AE=AF,
∴四边形AEGF 是正方形.
(2) 解: 由 AD=x, 得 AE=EG=GF=x.
∵BD=2, DC=3,
∴BE=2, CF=3,
∴BG=
x-2, CG=x-3. 在 Rt△BGC 中, BG²+CG²=
BC²,
∴(x-2)²+(x-3)²=5², 化简得 x²-5x-
6=0, 解得 x₁=6, x₂=-1(舍去),
∴x=6.
△ACD≌△ACF,
∴∠DAB=∠EAB,
∠DAC=∠FAC.
又∵∠BAC=45°,
∴∠EAF=90°.
又∵AD⊥BC,
∴∠E=∠ADB=90°,
∠F=∠ADC=90°.
又∵AE=AD, AF=AD,
∴AE=AF,
∴四边形AEGF 是正方形.
(2) 解: 由 AD=x, 得 AE=EG=GF=x.
∵BD=2, DC=3,
∴BE=2, CF=3,
∴BG=
x-2, CG=x-3. 在 Rt△BGC 中, BG²+CG²=
BC²,
∴(x-2)²+(x-3)²=5², 化简得 x²-5x-
6=0, 解得 x₁=6, x₂=-1(舍去),
∴x=6.
1. 旋转
① 旋转：在平面内，把一个图形
绕一个定点
沿某个方向旋转一定角度
，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心
，转动的角度称为旋转角
.旋转不改变图形的大小
和形状
.② 旋转要素：旋转由旋转
中心
和旋转方向
及旋转角
确定.③ 旋转前后的两个图形
全等
.它们的对应线段相等
，对应角相等
；经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心旋转了相同
的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转
角，所有的旋转角都相等
，对应点到旋转中心的距离相等
.2. 中心对称
① 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕某个点旋转
180°
，如果旋转后的图形和原来的图形重合
，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心
.② 中心对称：在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转
180°
，它能够与另一个图形
重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它的对称中心
.③ 中心对称的每一对对应点的连线都经过
对称中心
，并且被对称中心平分
.答案
知识梳理
1. ①绕一个定点，沿某个方向旋转一定角度 旋转中心 旋转角 大小 形状 ②中心 方向 旋转角 ③全等 相等 相等 相同 旋转 相等 相等
2. ①180° 重合 对称中心 ②180° 另一个图形 对称中心 ③对称中心 平分
1. ①绕一个定点，沿某个方向旋转一定角度 旋转中心 旋转角 大小 形状 ②中心 方向 旋转角 ③全等 相等 相等 相同 旋转 相等 相等
2. ①180° 重合 对称中心 ②180° 另一个图形 对称中心 ③对称中心 平分
