9. (2024·新疆)如图，抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2}-4x + 6 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $，与 $ x $ 轴交于点 $ B $，线段 $ CD $ 在抛物线的对称轴上移动(点 $ C $ 在点 $ D $ 下方)，且 $ CD = 3 $. 当 $ AD + BC $ 的值最小时，点 $ C $ 的坐标为.

9. $ ( 4, 1 ) $

10. (2024·牡丹江)如图，二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2}+bx + c $ 的图像与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,0) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (0,-3) $，连接 $ BC $.
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 点 $ P $ 是抛物线在第四象限图像上的任意一点，当 $ △ BCP $ 的面积最大时，$ BC $ 边上的高 $ PN $ 的值为.

10. (1) 把$ ( - 1, 0 ) $和$ ( 0, - 3 ) $代入得$ \{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } - b + c = 0 }, \\ { c = - 3 }, \end{array} $解得$ \{ \begin{array} { l } { b = - \frac { 5 } { 2 } }, \\ { c = - 3 }, \end{array} $ $ \therefore $二次函数的解析式为$ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } x - 3 $ (2) $ \frac { 9 \sqrt { 5 } } { 5 } $

(1) 将点$A(-1,0)$和$C(0,-3)$代入二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases} \frac{1}{2} - b + c = 0 \\ c = - 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} b=-\frac{5}{2} \\ c=-3 \end{cases}$，所以二次函数的解析式为$y = \frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3$。
(2) $\frac{9\sqrt{5}}{5}$

11. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x + 4 $ 与两坐标轴分别相交于 $ A,B,C $ 三点.
(1) 连接 $ AC,BC $，判断 $ △ ABC $ 的形状，并说明理由；
(2) 点 $ D $ 是第一象限内该抛物线上的动点，过点 $ D $ 作 $ x $ 轴的垂线交 $ BC $ 于点 $ E $，交 $ x $ 轴于点 $ F $. 求 $ DE + BF $ 的最大值.

11. (1) $ △ A B C $为直角三角形，在$ y = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } x + 4 $中，令$ x = 0 $得$ y = 4 $，令$ y = 0 $得$ x _ { 1 } = - 2 $，$ x _ { 2 } = 8 $，$ \therefore A ( - 2, 0 ) $，$ B ( 8, 0 ) $，$ C ( 0, 4 ) $，$ \therefore O A = 2 $，$ O B = 8 $，$ O C = 4 $，$ A B = 10 $，$ \therefore A C ^ { 2 } = O A ^ { 2 } + O C ^ { 2 } = 20 $，$ B C ^ { 2 } = O B ^ { 2 } + O C ^ { 2 } = 80 $，$ \therefore A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = 100 $，而$ A B ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } = 100 $，$ \therefore A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } $，$ \therefore ∠ A C B = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore △ A B C $为直角三角形；(2) 设直线$ B C $的解析式为$ y = k x + b $，将$ B ( 8, 0 ) $，$ C ( 0, 4 ) $代入可得：$ \{ \begin{array} { l } { 0 = 8 k + b }, \\ { 4 = b }, \end{array} $解得$ \{ \begin{array} { l } { k = - \frac { 1 } { 2 } }, \\ { b = 4 }, \end{array} $ $ \therefore $直线$ B C $的解析式为$ y = - \frac { 1 } { 2 } x + 4 $，设第一象限点$ D ( m , - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } m + 4 ) $，则$ E ( m , - \frac { 1 } { 2 } m + 4 ) $，$ \therefore D E = ( - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } m + 4 ) - ( - \frac { 1 } { 2 } m + 4 ) = - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + 2 m $，$ B F = 8 - m $，$ \therefore D E + B F = ( - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + 2 m ) + ( 8 - m ) = - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + m + 8 = - \frac { 1 } { 4 } ( m - 2 ) ^ { 2 } + 9 $，$ \therefore $当$ m = 2 $时，$ D E + B F $的最大值是9.