1. 已知抛物线 $ y = x^{2}-x - 1 $ 与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (m,0) $，则代数式 $ m^{2}-m + 2024 $ 的值为()

A.$ 2023 $
B.$ 2024 $
C.$ 2025 $
D.$ 2026 $

1. C

∵抛物线$y = x^{2}-x - 1$与$x$轴的一个交点为$(m,0)$，
$\therefore m^{2}-m - 1=0$，
$\therefore m^{2}-m=1$，
$\therefore m^{2}-m + 2024=1 + 2024=2025$。
C

2. 抛物线 $ y = x^{2}+x + c $ 与 $ x $ 轴只有一个公共点，则 $ c $ 的值为()

A.$ -\frac{1}{4} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ -4 $
D.$ 4 $

2. B

解：抛物线 $ y = x^{2}+x + c $ 与 $ x $ 轴只有一个公共点，
则一元二次方程 $ x^{2}+x + c = 0 $ 有两个相等的实数根，
所以判别式 $ \Delta = 1^{2} - 4 × 1 × c = 0 $，
即 $ 1 - 4c = 0 $，
解得 $ c = \frac{1}{4} $。
答案：B

3. 已知抛物线 $ y = x^{2}+2x - m - 2 $ 与 $ x $ 轴没有交点，则函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的大致图像是()

3. C

解：因为抛物线$y = x^{2}+2x - m - 2$与$x$轴没有交点，所以判别式$\Delta = 2^{2}-4×1×(-m - 2) ＜ 0$，即$4 + 4m + 8 ＜ 0$，$4m ＜ -12$，解得$m ＜ - 3$。
因为$m ＜ 0$，所以函数$y=\frac{m}{x}$的图像在第二、四象限。
C

4. 若二次函数 $ y = ax^{2}-2ax + c $ 的图像经过点 $ (-1,0) $，则方程 $ ax^{2}-2ax + c = 0 $ 的解为()

A.$ x_{1}=-3,x_{2}=-1 $
B.$ x_{1}=1,x_{2}=3 $
C.$ x_{1}=-1,x_{2}=3 $
D.$ x_{1}=-3,x_{2}=1 $

4. C

解：二次函数$y = ax^{2}-2ax + c$的对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
因为图像经过点$(-1,0)$，设该点关于对称轴$x=1$的对称点为$(x,0)$，则$\frac{-1 + x}{2}=1$，解得$x=3$。
所以方程$ax^{2}-2ax + c = 0$的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
C

5. (2024·济宁)将抛物线 $ y = x^{2}-6x + 12 $ 向下平移 $ k $ 个单位长度. 若平移后得到的抛物线与 $ x $ 轴有公共点，则 $ k $ 的取值范围是.

5. $ k ≥ 3 $

将抛物线$y = x^{2}-6x + 12$向下平移$k$个单位长度，得到的抛物线解析式为$y = x^{2}-6x + 12 - k$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a≠0$），其判别式$\Delta = b^{2}-4ac$。当$\Delta≥0$时，抛物线与$x$轴有公共点。
在$y = x^{2}-6x + 12 - k$中，$a = 1$，$b=-6$，$c = 12 - k$，则$\Delta=(-6)^{2}-4×1×(12 - k)$。
计算$\Delta$：
$\begin{aligned}\Delta&=36 - 4×(12 - k)\\&=36 - 48 + 4k\\&=4k - 12\end{aligned}$
因为平移后抛物线与$x$轴有公共点，所以$\Delta≥0$，即：
$4k - 12≥0$
解得：
$4k≥12\\k≥3$
$k≥3$

6. 已知二次函数 $ y = x^{2}+mx + m^{2}-3 $（$ m $ 为常数，$ m＞0 $）的图像经过点 $ P(2,4) $.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 判断二次函数 $ y = x^{2}+mx + m^{2}-3 $ 的图像与 $ x $ 轴交点的个数，并说明理由.

6. (1) 将$ (2,4) $代入$ y = x ^ { 2 } + m x + m ^ { 2 } - 3 $得$ 4 = 4 + 2 m + m ^ { 2 } - 3 $，解得$ m _ { 1 } = 1 $，$ m _ { 2 } = - 3 $，又$ \because m ＞ 0 $，$ \therefore m = 1 $；(2) $ \because m = 1 $，$ \therefore y = x ^ { 2 } + x - 2 $，$ \because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 1 ^ { 2 } + 8 = 9 ＞ 0 $，$ \therefore $二次函数图像与$ x $轴有2个交点.

(1) 将点$P(2,4)$代入二次函数$y = x^{2}+mx + m^{2}-3$，得$4 = 2^{2}+2m + m^{2}-3$，整理得$m^{2}+2m - 3=0$，解得$m_{1}=1$，$m_{2}=-3$，因为$m＞0$，所以$m = 1$；
(2) 由(1)知$m = 1$，则二次函数为$y = x^{2}+x - 2$，其中$a = 1$，$b = 1$，$c=-2$，$\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×(-2)=1 + 8=9＞0$，所以二次函数的图像与$x$轴有2个交点.

7. 已知二次函数 $ y = 2x^{2}-8x + 6 $ 的图像交 $ x $ 轴于 $ A,B $ 两点. 若其图像上有且只有 $ P_{1},P_{2},P_{3} $ 三点满足 $ S_{△ ABP_{1}} = S_{△ ABP_{2}} = S_{△ ABP_{3}} = m $，则 $ m $ 的值是()

A.$ 1 $
B.$ \frac{3}{2} $
C.$ 2 $
D.$ 4 $

7. C

解：令$y=0$，则$2x^{2}-8x + 6=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，故$A(1,0)$，$B(3,0)$，$AB=2$。
二次函数$y = 2x^{2}-8x + 6=2(x - 2)^{2}-2$，顶点坐标为$(2,-2)$，顶点到$x$轴距离为$2$。
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}× AB×|y_{P}|=|y_{P}|$，即$m=|y_{P}|$。
图像上有且只有三点满足面积为$m$，则$y = m$与抛物线有两个交点，$y=-m$与抛物线有一个交点（顶点），故$-m=-2$，$m=2$。
C

8. 已知二次函数 $ y = x^{2}+2mx + m^{2}-1 $（$ m $ 为常数）.
(1) 求证：不论 $ m $ 为何值，该函数的图像与 $ x $ 轴总有两个公共点；
(2) 若函数的图像与 $ x $ 轴的两个公共点分别在原点的两侧，求 $ m $ 的取值范围.

8. (1) $ \because b ^ { 2 } - 4 a c = 4 m ^ { 2 } - 4 ( m ^ { 2 } - 1 ) = 4 ＞ 0 $，$ \therefore $方程$ x ^ { 2 } + 2 m x + m ^ { 2 } - 1 = 0 $有两个不相等的实数根，所以该函数图像与$ x $轴总有两个公共点；(2) 当$ y = 0 $时，$ x ^ { 2 } + 2 m x + m ^ { 2 } - 1 = 0 $，解这个方程，得$ x _ { 1 } = - m + 1 $，$ x _ { 2 } = - m - 1 $，函数图像与$ x $轴的交点的坐标为$ ( - m + 1, 0 ) $，$ ( - m - 1, 0 ) $，$ \because $函数图像与$ x $轴的两个公共点分别在原点的两侧，且$ - m + 1 ＞ - m - 1 $，$ \therefore - m + 1 ＞ 0 $且$ - m - 1 ＜ 0 $，解得$ - 1 ＜ m ＜ 1 $.

(1) 证明：对于二次函数 $ y = x^{2}+2mx + m^{2}-1 $，其中 $ a = 1 $，$ b = 2m $，$ c = m^{2}-1 $。
判别式 $ \Delta = b^{2}-4ac = (2m)^{2}-4×1×(m^{2}-1) = 4m^{2}-4m^{2}+4 = 4 $。
因为 $ \Delta = 4 ＞ 0 $，所以方程 $ x^{2}+2mx + m^{2}-1 = 0 $ 有两个不相等的实数根，即该函数的图像与 $ x $ 轴总有两个公共点。
(2) 当 $ y = 0 $ 时，$ x^{2}+2mx + m^{2}-1 = 0 $。
解方程得：$ x = \frac{-2m \pm \sqrt{4}}{2} = -m \pm 1 $，即 $ x_{1} = -m + 1 $，$ x_{2} = -m - 1 $。
函数图像与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (-m + 1, 0) $ 和 $ (-m - 1, 0) $。
因为两个公共点分别在原点两侧，且 $ -m + 1 ＞ -m - 1 $，所以 $ -m + 1 ＞ 0 $ 且 $ -m - 1 ＜ 0 $。
由 $ -m + 1 ＞ 0 $ 得 $ m ＜ 1 $；由 $ -m - 1 ＜ 0 $ 得 $ m ＞ -1 $。
所以 $ m $ 的取值范围是 $ -1 ＜ m ＜ 1 $。