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4. 把一根长 2 m 的圆柱形木材截成相同的 4 段圆木后，表面积增加了 18.84 dm²。截完后每段圆木的体积是多少立方分米？
答案
2m=20dm
4-1=3(次)
18.84÷(3×2)=3.14(平方分米)
3.14×(20÷4)=15.7(立方分米)
答：截完后每段圆木的体积是15.7立方分米。
解析
【分析】
要计算每段圆木的体积，根据圆柱体积公式$V=Sh$（$S$是底面积，$h$是高），需先求出圆柱的底面积和每段圆木的长度。首先统一单位，将米转换为分米；接着分析截成4段的次数：截成4段需要截$4-1=3$次，每截1次增加2个底面的面积，所以一共增加$3×2=6$个底面的面积，用增加的总表面积除以6就能得到圆柱的底面积；再用总长度除以4得到每段圆木的长度；最后用底面积乘每段长度即可求出每段圆木的体积。
【解析】
1. 单位换算：$2m=20dm$
2. 计算截的次数：$4-1=3$（次）
3. 计算增加的底面数量：$3×2=6$（个）
4. 求圆柱底面积：$18.84÷6=3.14$（平方分米）
5. 计算每段圆木的长度：$20÷4=5$（分米）
6. 计算每段圆木的体积：$3.14×5=15.7$（立方分米）
答：截完后每段圆木的体积是15.7立方分米。
【答案】
15.7立方分米
【知识点】
圆柱体积计算，截圆柱表面积变化，单位换算
【点评】
本题考查圆柱体积公式的实际应用，重点在于理解截圆柱时表面积变化的规律：截成$n$段需截$n-1$次，每次增加2个底面面积，同时要注意单位的统一，是对圆柱相关知识的基础考查。
【难度系数】
0.6
要计算每段圆木的体积，根据圆柱体积公式$V=Sh$（$S$是底面积，$h$是高），需先求出圆柱的底面积和每段圆木的长度。首先统一单位，将米转换为分米；接着分析截成4段的次数：截成4段需要截$4-1=3$次，每截1次增加2个底面的面积，所以一共增加$3×2=6$个底面的面积，用增加的总表面积除以6就能得到圆柱的底面积；再用总长度除以4得到每段圆木的长度；最后用底面积乘每段长度即可求出每段圆木的体积。
【解析】
1. 单位换算：$2m=20dm$
2. 计算截的次数：$4-1=3$（次）
3. 计算增加的底面数量：$3×2=6$（个）
4. 求圆柱底面积：$18.84÷6=3.14$（平方分米）
5. 计算每段圆木的长度：$20÷4=5$（分米）
6. 计算每段圆木的体积：$3.14×5=15.7$（立方分米）
答：截完后每段圆木的体积是15.7立方分米。
【答案】
15.7立方分米
【知识点】
圆柱体积计算，截圆柱表面积变化，单位换算
【点评】
本题考查圆柱体积公式的实际应用，重点在于理解截圆柱时表面积变化的规律：截成$n$段需截$n-1$次，每次增加2个底面面积，同时要注意单位的统一，是对圆柱相关知识的基础考查。
【难度系数】
0.6
5. 某工地上有一个圆锥形沙堆，底面积是 3.6 m²，高是 0.5 m。将这些沙子铺在一个长 4 m、宽 2 m 的长方体沙坑里，能铺多厚？
答案
3.6×0.5÷3=0.6(立方米)
0.6÷(4×2)=0.075(米)
答：能铺0.075米厚。
解析
【分析】
这道题是典型的等积变形问题，解题核心是抓住沙子的体积始终不变。首先需要根据圆锥的体积公式计算出圆锥形沙堆的体积，因为沙子铺入长方体沙坑后体积不变，所以再用沙子的体积除以长方体沙坑的底面积，就能得到沙层的厚度（长方体沙坑中沙层的厚度相当于长方体的高）。具体思考步骤：1. 回忆圆锥体积公式：$V_{圆锥}=\frac{1}{3}×底面积×高$，代入数据算出沙堆体积；2. 计算长方体沙坑的底面积：$底面积=长×宽$；3. 根据长方体体积公式$V_{长方体}=底面积×高$，变形得到$高=体积÷底面积$，代入数据算出厚度。
【解析】
1. 计算圆锥形沙堆的体积：
根据圆锥体积公式$ V=\frac{1}{3}Sh $（其中$ S $是底面积，$ h $是高），代入数据得：
$ 3.6×0.5÷3 = 0.6 $（立方米）
2. 计算长方体沙坑的底面积：
$ 4×2 = 8 $（平方米）
3. 计算沙层厚度：
因为沙子体积不变，长方体沙层的体积等于圆锥沙堆体积，根据长方体体积公式变形得厚度$ h=V÷(长×宽) $，代入数据得：
$ 0.6÷8 = 0.075 $（米）
答：能铺0.075米厚。
【答案】
0.075米
【知识点】
圆锥体积计算、长方体体积计算、等积变形
【点评】
本题考查等积变形的实际应用，关键在于理解沙子体积不变这一核心条件，需要熟练掌握圆锥和长方体的体积公式，计算时要注意圆锥体积公式中“除以3”的细节，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题是典型的等积变形问题，解题核心是抓住沙子的体积始终不变。首先需要根据圆锥的体积公式计算出圆锥形沙堆的体积，因为沙子铺入长方体沙坑后体积不变，所以再用沙子的体积除以长方体沙坑的底面积，就能得到沙层的厚度（长方体沙坑中沙层的厚度相当于长方体的高）。具体思考步骤：1. 回忆圆锥体积公式：$V_{圆锥}=\frac{1}{3}×底面积×高$，代入数据算出沙堆体积；2. 计算长方体沙坑的底面积：$底面积=长×宽$；3. 根据长方体体积公式$V_{长方体}=底面积×高$，变形得到$高=体积÷底面积$，代入数据算出厚度。
【解析】
1. 计算圆锥形沙堆的体积：
根据圆锥体积公式$ V=\frac{1}{3}Sh $（其中$ S $是底面积，$ h $是高），代入数据得：
$ 3.6×0.5÷3 = 0.6 $（立方米）
2. 计算长方体沙坑的底面积：
$ 4×2 = 8 $（平方米）
3. 计算沙层厚度：
因为沙子体积不变，长方体沙层的体积等于圆锥沙堆体积，根据长方体体积公式变形得厚度$ h=V÷(长×宽) $，代入数据得：
$ 0.6÷8 = 0.075 $（米）
答：能铺0.075米厚。
【答案】
0.075米
【知识点】
圆锥体积计算、长方体体积计算、等积变形
【点评】
本题考查等积变形的实际应用，关键在于理解沙子体积不变这一核心条件，需要熟练掌握圆锥和长方体的体积公式，计算时要注意圆锥体积公式中“除以3”的细节，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 为测量一个莲雾的体积，小华进行了以下测量。(圆柱的相关数据均是从里面测量得到的)
①称出一个莲雾的质量是 120 g；
②量出一个圆柱形容器的底面半径是 5 cm；
③量出圆柱形容器的高是 15 cm；
④往圆柱形容器里注入一些水，量出水面高度是 6 cm；
⑤将莲雾完全浸没在水中(水没溢出)，量出此时水面高度为 10 cm。
(1)要求出这个莲雾的体积，上面哪些信息是必须要知道的？把序号写在横线上：。
(2)请根据选出的信息，求出这个莲雾的体积。
①称出一个莲雾的质量是 120 g；
②量出一个圆柱形容器的底面半径是 5 cm；
③量出圆柱形容器的高是 15 cm；
④往圆柱形容器里注入一些水，量出水面高度是 6 cm；
⑤将莲雾完全浸没在水中(水没溢出)，量出此时水面高度为 10 cm。
(1)要求出这个莲雾的体积，上面哪些信息是必须要知道的？把序号写在横线上：。
(2)请根据选出的信息，求出这个莲雾的体积。
答案
②④⑤
3.14×5²×(10-6)=314(cm³)
答：这个莲雾的体积是314立方厘米。
3.14×5²×(10-6)=314(cm³)
答：这个莲雾的体积是314立方厘米。
解析
【分析】
要测量莲雾的体积，可利用排水法：莲雾的体积等于它完全浸没在水中后，水面上升部分的水的体积，这部分水的形状是圆柱。因此需要知道圆柱形容器的底面半径（用于计算底面积）、原来的水面高度和浸没后的水面高度（用于计算水面上升的高度）。莲雾的质量和容器的总高与体积计算无关，无需用到。
对于第二问，先算出水面上升的高度，再根据圆柱体积公式$V=π r^2h$（其中$h$为水面上升的高度），计算出上升的水的体积，也就是莲雾的体积。
【解析】
(1) 根据排水法求不规则物体体积的原理，需要圆柱底面半径、初始水面高度、浸没后水面高度，因此必须的信息序号是②④⑤。
(2) 解题步骤：
① 计算水面上升的高度：$10 - 6 = 4(\mathrm{cm})$
② 计算圆柱形容器的底面积：$3.14×5^2 = 3.14×25 = 78.5(\mathrm{cm}^2)$
③ 计算莲雾的体积（即上升的水的体积）：$78.5×4 = 314(\mathrm{cm}^3)$
答：这个莲雾的体积是314立方厘米。
【答案】
(1) ②④⑤
(2) 314立方厘米
【知识点】
排水法求体积、圆柱体积计算
【点评】
本题考查排水法测量不规则物体体积的应用，核心是理解“不规则物体体积等于排开的水的体积”这一原理，结合圆柱体积公式进行计算，需要学生学会筛选有效信息，排除无关信息的干扰。
【难度系数】
0.7
要测量莲雾的体积，可利用排水法：莲雾的体积等于它完全浸没在水中后，水面上升部分的水的体积，这部分水的形状是圆柱。因此需要知道圆柱形容器的底面半径（用于计算底面积）、原来的水面高度和浸没后的水面高度（用于计算水面上升的高度）。莲雾的质量和容器的总高与体积计算无关，无需用到。
对于第二问，先算出水面上升的高度，再根据圆柱体积公式$V=π r^2h$（其中$h$为水面上升的高度），计算出上升的水的体积，也就是莲雾的体积。
【解析】
(1) 根据排水法求不规则物体体积的原理，需要圆柱底面半径、初始水面高度、浸没后水面高度，因此必须的信息序号是②④⑤。
(2) 解题步骤：
① 计算水面上升的高度：$10 - 6 = 4(\mathrm{cm})$
② 计算圆柱形容器的底面积：$3.14×5^2 = 3.14×25 = 78.5(\mathrm{cm}^2)$
③ 计算莲雾的体积（即上升的水的体积）：$78.5×4 = 314(\mathrm{cm}^3)$
答：这个莲雾的体积是314立方厘米。
【答案】
(1) ②④⑤
(2) 314立方厘米
【知识点】
排水法求体积、圆柱体积计算
【点评】
本题考查排水法测量不规则物体体积的应用，核心是理解“不规则物体体积等于排开的水的体积”这一原理，结合圆柱体积公式进行计算，需要学生学会筛选有效信息，排除无关信息的干扰。
【难度系数】
0.7
