9. “浮沉子”最早是由科学家笛卡儿设计的。小华用大塑料瓶（大瓶）和开口小玻璃瓶（小瓶）制作了如图 8-7-6 甲所示的“浮沉子”：装有适量水的小瓶开口朝下漂浮在大瓶内的水面上，拧紧大瓶的瓶盖使其密封，两瓶内均有少量空气。将小瓶视为圆柱形容器，底面积为$S$，忽略其壁厚（即忽略小瓶自身的体积），当小瓶漂浮时，简化模型如图 8-7-6 乙所示，小瓶内空气柱的高度为$h$。手握大瓶施加适当的压力，使小瓶下沉并恰好悬浮在如图 8-7-6 丙所示的位置。将倒置的小瓶和小瓶内的空气看成一个整体$A$，$A$的质量为$m$，水的密度为$\rho_{\mathrm{水}}$，$g$为已知量，求：
（1）图 8-7-6 乙中$A$所受浮力的大小。
（2）图 8-7-6 乙中$A$排开水的体积。
（3）图 8-7-6 乙和丙中小瓶内空气的密度之比。

解：
(1)图乙中A处于漂浮状态，所受浮力$F_{浮}=G=mg$
(2)由阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$可得，排开水的体积：
$ V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{mg}{\rho_{水}g}=\frac{m}{\rho_{水}}$
(3)图丙中A处于悬浮状态，所受浮力$F_{浮}'=G=mg$
由阿基米德原理$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'$可得：
$ V_{排}'=\frac{F_{浮}'}{\rho_{水}g}=\frac{mg}{\rho_{水}g}=\frac{m}{\rho_{水}}$
忽略小瓶自身体积，图丙中小瓶内空气的体积$V'=V_{排}'=\frac{m}{\rho_{水}}$
图乙中小瓶内空气的体积V=Sh
因小瓶内空气质量不变，故空气的密度之比：
$ \frac{\rho}{\rho'}=\frac{\frac{m_{气}}{V}}{\frac{m_{气}}{V'}}=\frac{V'}{V}=\frac{\frac{m}{\rho_{水}}}{Sh}=\frac{m}{\rho_{水}Sh}$

【解析】
（1）图乙中整体A处于漂浮状态，根据物体漂浮条件，浮力等于重力，即$F_{浮}=G=mg$。
（2）由阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，变形可得排开水的体积$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{mg}{\rho_{水}g}=\frac{m}{\rho_{水}}$。
（3）图丙中整体A处于悬浮状态，根据物体悬浮条件，浮力等于重力，即$F_{浮}'=G=mg$；
由阿基米德原理可得$V_{排}'=\frac{F_{浮}'}{\rho_{水}g}=\frac{mg}{\rho_{水}g}=\frac{m}{\rho_{水}}$；
忽略小瓶自身体积，图丙中小瓶内空气的体积$V'=V_{排}'=\frac{m}{\rho_{水}}$；
图乙中小瓶内空气的体积$V=Sh$；
因小瓶内空气质量不变，根据密度公式$\rho=\frac{m_{气}}{V}$，可得空气的密度之比$\frac{\rho}{\rho'}=\frac{\frac{m_{气}}{V}}{\frac{m_{气}}{V'}}=\frac{V'}{V}=\frac{\frac{m}{\rho_{水}}}{Sh}=\frac{m}{\rho_{水}Sh}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{mg}$
（2）$\boldsymbol{\frac{m}{\rho_{水}}}$
（3）$\boldsymbol{\frac{m}{\rho_{水}Sh}}$
【知识点】
物体浮沉条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题结合浮沉子模型，考查物体浮沉条件与阿基米德原理的综合应用，需理解浮力与物体状态的关系，以及气体质量不变时密度与体积的关系。
【难度系数】
0.6