1. 如图所示的菱形花坛 $ABCD$，它的边长为 $20\ \mathrm{m}$，$∠ ABC = 60°$，沿着菱形的对角线修建了两条小路 $AC$ 和 $BD$，求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).

注意：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决. 可以尝试用不同的方法来计算菱形的面积.

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=20m，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，BD平分∠ABC。
∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°。
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AB=20m，∠ABO=30°，
∴AO=AB·sin30°=20×1/2=10m，
BO=AB·cos30°=20×(√3/2)=10√3m。
∴AC=2AO=20.00m，BD=2BO=20√3≈34.64m。
菱形面积S=(AC·BD)/2=(20×20√3)/2=200√3≈346.4m²。
答：AC长20.00m，BD长34.64m，花坛面积346.4m²。

变式：已知菱形的两条对角线分别是 $6\ \mathrm{cm}$ 和 $8\ \mathrm{cm}$，求菱形的周长和面积.

周长为$20\ \mathrm{cm}$，面积为$24\ \mathrm{cm^2}$（（本题答案周长和面积都要求））。

已知菱形的两条对角线长分别为$6\ \mathrm{cm}$与$8\ \mathrm{cm}$，
根据菱形对角线性质：对角线互相垂直平分，
可得对角线的一半分别为$3\ \mathrm{cm}$和$4\ \mathrm{cm}$。
利用勾股定理计算菱形边长：
$\mathrm{边长} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm}$，
计算菱形的周长：
$\mathrm{周长} = 4 × \mathrm{边长} = 4 × 5 = 20\ \mathrm{cm}$，
根据菱形面积公式：
$\mathrm{面积} = \frac{1}{2} × d_1 × d_2 = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\ \mathrm{cm^2}$，
其中$d_1$与$d_2$分别为菱形的两条对角线长度。

2. 如图，已知四边形 $ABCD$ 是菱形，$F$ 是 $AB$ 上一点，$DF$ 交 $AC$ 于点 $E$. 求证：$∠ AFD = ∠ CBE$.

证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB//CD，AC平分∠BCD（菱形的性质：四条边相等，对边平行，对角线平分一组对角）。
∴∠BCE=∠DCE。
在△BCE和△DCE中，
$\{\begin{array}{l} BC=CD\\ ∠BCE=∠DCE\\ CE=CE\end{array} $
∴△BCE≌△DCE（SAS）。
∴∠CBE=∠CDE（全等三角形对应角相等）。
∵AB//CD，
∴∠AFD=∠CDE（两直线平行，内错角相等）。
∴∠AFD=∠CBE（等量代换）。

1. 四边形 $ABCD$ 是边长为 $13\ \mathrm{cm}$ 的菱形，其中对角线 $BD$ 长 $10\ \mathrm{cm}$.
求：(1) 对角线 $AC$ 的长度.
(2) 菱形 $ABCD$ 的面积.

1. (1)24 (2)120

2. 如图，$BD$ 是菱形 $ABCD$ 的对角线，点 $E$ 在边 $AD$ 上，连接 $BE$，若 $∠ CBD = 42°$，$∠ ABE = \frac{1}{3}∠ ABD$，求 $∠ DBE$ 的度数.

2. 28°