知识点 等可能事件的概率
1. 设一个试验的所有可能的结果有 $ n $ 种，每次试验有且只有其中的一种结果出现。如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是的。
2. 一般地，如果一个试验有 $ n $ 种等可能的结果，事件 $ A $ 包含其中的 $ m $ 种结果，那么事件 $ A $ 发生的概率为 $ P(A) = $。

知识点 1. 等可能 2. $\frac{m}{n}$

例 1 任意掷一枚质地均匀的骰子，求下列事件发生的概率：
（1）掷出的点数恰好是奇数；
（2）掷出的点数大于 4；
（3）掷出的点数恰好是 7；
（4）掷出的点数不小于 3。

（1）骰子共6个面，点数1, 2, 3, 4, 5, 6中奇数为1, 3, 5，共3个。
$P$（掷出的点数恰好是奇数）$= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
（2）点数大于4的为5, 6，共2个。
$P$（掷出的点数大于4）$= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
（3）骰子点数范围为1至6，无7点。
$P$（掷出的点数恰好是7）$= 0$。
（4）点数不小于3的为3, 4, 5, 6，共4个。
$P$（掷出的点数不小于3）$= \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

【变式训练 1】从长度为 $ 1 \, \mathrm{cm} $，$ 2 \, \mathrm{cm} $，$ 4 \, \mathrm{cm} $，$ 6 \, \mathrm{cm} $，$ 7 \, \mathrm{cm} $，$ 8 \, \mathrm{cm} $ 的木棒中随机抽取一根，能与长度为 $ 3 \, \mathrm{cm} $ 和 $ 5 \, \mathrm{cm} $ 的木棒围成三角形的概率为。

变式训练 1 $\frac{1}{2}$

能与长度为$3\,\mathrm{cm}$和$5\,\mathrm{cm}$的木棒围成三角形的木棒长度需满足：$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。
在$1\,\mathrm{cm}$，$2\,\mathrm{cm}$，$4\,\mathrm{cm}$，$6\,\mathrm{cm}$，$7\,\mathrm{cm}$，$8\,\mathrm{cm}$中，满足条件的有$4\,\mathrm{cm}$，$6\,\mathrm{cm}$，$7\,\mathrm{cm}$，共$3$根。
总共有$6$根木棒，所以概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$

例 2 在一个不透明的盒子中装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球有 3 个、白球有 5 个、黑球有 7 个。
(1)摸出的球是白球是；(填“随机事件”“必然事件”或“不可能事件”)
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(3)小明从盒子中取出 $ m $ 个白球，并放入 $ m $ 个黑球(其他颜色球的数量没有改变)，使得从盒子中任意摸出一个球是白球的概率为 $ \frac{1}{5} $，求 $ m $ 的值。

【解】
(1)随机事件
(2)任意摸出一个球是黑球的概率为 $ \frac{7}{3 + 5 + 7} = \frac{7}{15} $。
(3)根据题意，得 $ \frac{5 - m}{15} = \frac{1}{5} $。
解得 $ m = 2 $。