例1 已知关于x,y的方程组
$\begin{cases} 3x+y=1+3a \textcircled{1},\\ x+3y=1-a \textcircled{2}\\ \end{cases}$的解满足$x-y=-2$,
求a的值。
思路导引
利用加减消元法解出关于x,y的方程组,根据题意列出含a的方程,解方程得到答案,或者利用$\textcircled{1}-\textcircled{2}$直接得$2(x-y)$,从而求得a的值。
归纳总结
本题考查的是二元一次方程组的解法,掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题关键。

例1.解:$\begin{cases} 3x+y=1+3a,\textcircled{1}\\ x+3y=1-a,\textcircled{2}\\ \end{cases}$
$\textcircled{1}-\textcircled{2}$,得$2x-2y=4a$,
整理,得$x-y=2a$。
由题意,得$2a=-2$,
解得$a=-1$。

【分析】
首先观察方程组的两个方程，发现用方程①减去方程②能直接得到x-y与a的关系式，这是最简便的解题路径。因为题目已给出x-y=-2，无需先解出x、y的具体值，只需通过①-②得到x-y=2a，再结合已知条件建立关于a的一元一次方程，即可求出a的值。若用常规方法解方程组再代入条件，步骤会更繁琐，因此优先选择直接相减的方法。
【解析】
$\begin{cases} 3x+y=1+3a,\textcircled{1}\\ x+3y=1-a,\textcircled{2}\\ \end{cases}$
$\textcircled{1}-\textcircled{2}$，得$2x-2y=4a$，
整理，得$x-y=2a$。
由题意，得$2a=-2$，
解得$a=-1$。
【答案】
$a=-1$
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组、根据条件求参数值
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活解法，通过观察方程特点，利用加减消元法直接建立x-y与a的联系，简化了解题步骤，体现了数学解题中“巧解”的思路，要求学生熟练掌握加减消元法并能灵活运用。
【难度系数】
0.7

1.已知关于x,y的方程组$\begin{cases} 3x+2y=t-3,\\ 2x+3y=t+1\\ \end{cases}$的
解满足$x+y=2$,则t的值是多少?

1.解:$\begin{cases} 3x+2y=t-3,\textcircled{1}\\ 2x+3y=t+1,\textcircled{2}\\ \end{cases}$
$\textcircled{1}+\textcircled{2}$,得$5(x+y)=2t-2$,即$x+y=\dfrac{2t-2}{5}$,
代入$x+y=2$,得$\dfrac{2t-2}{5}=2$,
解得$t=6$。

【分析】
首先观察给定的二元一次方程组，发现两个方程中x、y的系数分别为3、2和2、3，将两个方程相加可直接得到含x+y的式子。已知x+y=2，因此无需单独求解x、y，采用整体代入的思路：先通过方程相加得出x+y关于t的表达式，再将x+y=2代入该表达式，建立关于t的一元一次方程，最后解此方程即可求出t的值。
【解析】
$\begin{cases} 3x+2y=t-3,\textcircled{1}\\ 2x+3y=t+1,\textcircled{2}\\ \end{cases}$
$\textcircled{1}+\textcircled{2}$，得$5(x+y)=2t-2$，即$x+y=\dfrac{2t-2}{5}$，
代入$x+y=2$，得$\dfrac{2t-2}{5}=2$，
两边同时乘5得：$2t-2=10$，
移项得：$2t=10+2$，
合并同类项得：$2t=12$，
解得$t=6$。
【答案】
$t=6$
【知识点】
二元一次方程组解法、整体代入思想
【点评】
本题考查整体代入法在解方程组中的应用，通过观察方程组系数的特征，将两个方程相加构造出x+y的表达式，结合已知条件快速建立关于t的方程，简化了解题步骤，锻炼学生观察方程特征和运用整体思想解题的能力。
【难度系数】
0.7

例2 某校七年级(1),(2)两个班共104人去旅游,其中(1)班人数较少,不到50人,(2)班人数较多,有50多人。经估算,如果两个班都以班为单位分别购票,一共应付1 240元。
(1)两个班各有学生多少名?
(2)如果两个班联合起来,作为一个团体购票,则可省408元,求a的值。

思路导引
根据每班人数的范围,选择表格中对应的价格,找到总钱数与门票单价之间的关系,从而列出方程组求解。
归纳总结
本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次方程的应用,解题的关键:(1)正确找出等量关系,列出二元一次方程组;(2)正确找出等量关系,列出一元一次方程。

例2.(1)七年级(1)班有48名学生,(2)班有56名学生;
(2)$a$的值为8。

【分析】
(1) 首先结合两个班的总人数、分别购票的总费用，以及各班人数对应的票价，设出两个班的人数，利用“总人数为104人”“分别购票总费用为1240元”这两个等量关系列出二元一次方程组求解。其中(1)班人数在1~50人，对应票价13元；(2)班人数在51~100人，对应票价11元。
(2) 联合购票时总人数为104人，属于100人以上，对应票价为$ a $元，根据“原购票总费用-节省的费用=团体购票总费用”这一等量关系，列出一元一次方程求解$ a $的值。
【解析】
(1) 设七年级(1)班有$ x $名学生，(2)班有$ y $名学生。
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases}x + y = 104 \\13x + 11y = 1240\end{cases}$
由$ x + y = 104 $变形得：$ y = 104 - x $，将其代入$ 13x + 11y = 1240 $：
$\begin{aligned}13x + 11(104 - x) &= 1240 \\13x + 1144 - 11x &= 1240 \\2x &= 96 \\x &= 48\end{aligned}$
将$ x = 48 $代入$ y = 104 - x $，得$ y = 104 - 48 = 56 $。
(2) 两个班联合购票的总费用为$ 1240 - 408 = 832 $元，结合总人数104人，列方程：
$104a = 832$
解得：$ a = 832 ÷ 104 = 8 $
【答案】
(1) 七年级(1)班有48名学生，(2)班有56名学生；
(2) $ a $的值为8。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际购票场景，考查方程（组）的实际应用，解题核心是根据人数范围确定对应票价，准确提炼等量关系建立数学模型，培养了学生分析实际问题、转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6

2.某公司用火车和汽车运输两批物资,具体运输情况如下表所示:

每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨?

2.解:设每节火车车皮装物资$x$吨,每辆汽车装物资$y$吨。
根据题意,得$\begin{cases} 2x+5y=130,\\ 4x+3y=218,\\ \end{cases}$所以$\begin{cases} x=50,\\ y=6,\\ \end{cases}$
答:每节火车车皮装物资50吨,每辆汽车装物资6吨。

【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：
1. 确定未知量：题目要求每节火车车皮和每辆汽车的装物资量，设这两个量分别为$x$吨和$y$吨。
2. 寻找等量关系：根据表格中的运输数据，第一批物资总量=2节火车车皮运的量+5辆汽车运的量，即$2x+5y=130$；第二批物资总量=4节火车车皮运的量+3辆汽车运的量，即$4x+3y=218$。
3. 解方程组：通过消元法解列出的二元一次方程组，求出$x$和$y$的值，即可得到答案。
【解析】
设每节火车车皮装物资$x$吨，每辆汽车装物资$y$吨。
根据表格中的运输情况，可列出方程组：
$\begin{cases} 2x+5y=130&(1)\\ 4x+3y=218&(2)\\ \end{cases}$
步骤1：消去$x$，将方程$(1)$两边同时乘以2，得到：
$4x+10y=260\ \ (3)$
步骤2：用方程$(3)$减去方程$(2)$：
$(4x+10y)-(4x+3y)=260-218$
$7y=42$
解得：$y=6$
步骤3：将$y=6$代入方程$(1)$：
$2x+5×6=130$
$2x+30=130$
$2x=100$
解得：$x=50$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=50\\ y=6\\ \end{cases}$
答：每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨。
【答案】
每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨。
【知识点】
二元一次方程组的应用、解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的二元一次方程组实际应用问题，核心是从表格数据中提取有效的等量关系，通过设未知数列方程组，再利用消元法求解方程组。解题时需注意准确对应运输数量与总量的关系，避免等量关系列错。
【难度系数】
0.7