登录
一、选择题
1. 分式方程 $\frac{x^{2}-1}{x + 1}=0$ 的解是(
A.$x = -1$
B.$x = 1$
C.$x = \pm 1$
D.$x = 0$
1. 分式方程 $\frac{x^{2}-1}{x + 1}=0$ 的解是(
B
).A.$x = -1$
B.$x = 1$
C.$x = \pm 1$
D.$x = 0$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这个分式方程的解的问题，需牢记分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（分母为0时分式无意义）。首先求解分子等于0时x的取值，再排除使分母为0的x值，最终得到方程的解。
【解析】
要使分式方程 $\frac{x^{2}-1}{x + 1}=0$ 成立，需满足：
1. 分子为0：$x^2 - 1 = 0$，因式分解得$(x-1)(x+1)=0$，解得$x=1$或$x=-1$；
2. 分母不为0：$x + 1 ≠ 0$，解得$x ≠ -1$。
综合以上两个条件，排除$x=-1$，因此方程的解为$x=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件、解一元二次方程
【点评】
本题考查分式方程解的判定，核心是掌握分式值为0的双重条件，容易因忽略分母不为0的限制而错选C，解题时需注意分式有意义的前提。
【难度系数】
0.8
要解决这个分式方程的解的问题，需牢记分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（分母为0时分式无意义）。首先求解分子等于0时x的取值，再排除使分母为0的x值，最终得到方程的解。
【解析】
要使分式方程 $\frac{x^{2}-1}{x + 1}=0$ 成立，需满足：
1. 分子为0：$x^2 - 1 = 0$，因式分解得$(x-1)(x+1)=0$，解得$x=1$或$x=-1$；
2. 分母不为0：$x + 1 ≠ 0$，解得$x ≠ -1$。
综合以上两个条件，排除$x=-1$，因此方程的解为$x=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件、解一元二次方程
【点评】
本题考查分式方程解的判定，核心是掌握分式值为0的双重条件，容易因忽略分母不为0的限制而错选C，解题时需注意分式有意义的前提。
【难度系数】
0.8
2. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{m - 1}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}=0$ 有增根，则 $m$ 的值是(
A.3
B.2
C.1
D.$-1$
B
).A.3
B.2
C.1
D.$-1$
答案
2. B
解析
方程两边同乘$x - 1$，得$m - 1 - x = 0$。
因为方程有增根，所以$x - 1 = 0$，即$x = 1$。
将$x = 1$代入$m - 1 - x = 0$，得$m - 1 - 1 = 0$，解得$m = 2$。
B
因为方程有增根，所以$x - 1 = 0$，即$x = 1$。
将$x = 1$代入$m - 1 - x = 0$，得$m - 1 - 1 = 0$，解得$m = 2$。
B
3. 若 $\frac{4x - 9}{3x^{2}-x - 2}=\frac{a}{3x + 2}-\frac{b}{x - 1}$ ($a$，$b$ 为常数)，则 $a$，$b$ 的值为(
A.$\begin{cases}a = 4,\\b = -9\end{cases}$
B.$\begin{cases}a = 7,\\b = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = 1,\\b = 7\end{cases}$
D.$\begin{cases}a = -35,\\b = 13\end{cases}$
B
).A.$\begin{cases}a = 4,\\b = -9\end{cases}$
B.$\begin{cases}a = 7,\\b = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = 1,\\b = 7\end{cases}$
D.$\begin{cases}a = -35,\\b = 13\end{cases}$
答案
3. B
解析
解：右边通分得：$\frac{a(x - 1) - b(3x + 2)}{(3x + 2)(x - 1)} = \frac{(a - 3b)x - (a + 2b)}{3x^2 - x - 2}$
因为左右两边分母相同，分子应相等，所以：
$\begin{cases}a - 3b = 4 \\ a + 2b = 9\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = 7 \\ b = 1\end{cases}$
答案：B
因为左右两边分母相同，分子应相等，所以：
$\begin{cases}a - 3b = 4 \\ a + 2b = 9\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = 7 \\ b = 1\end{cases}$
答案：B
二、填空题
4. 若 $x+\frac{1}{x}=3$，则 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=$
4. 若 $x+\frac{1}{x}=3$，则 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=$
7
.答案
4. 7
解析
因为$x + \frac{1}{x} = 3$，两边平方得$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$，即$x^2 + 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$，化简得$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$，所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$。
5. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{2x + m}{x - 2}=3$ 的解是正数，则 $m$ 的取值范围为
$ m ＞ - 6 $ 且 $ m ≠ - 4 $
.答案
5. $ m ＞ - 6 $ 且 $ m ≠ - 4 $
解析
解：方程两边同乘$x - 2$得：$2x + m = 3(x - 2)$
去括号得：$2x + m = 3x - 6$
移项得：$2x - 3x = -6 - m$
合并同类项得：$-x = -6 - m$
系数化为$1$得：$x = m + 6$
因为方程的解是正数，所以$x ＞ 0$，即$m + 6 ＞ 0$，解得$m ＞ -6$
又因为分母不能为$0$，所以$x - 2 ≠ 0$，即$m + 6 - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -4$
综上，$m$的取值范围为$m ＞ -6$且$m ≠ -4$
去括号得：$2x + m = 3x - 6$
移项得：$2x - 3x = -6 - m$
合并同类项得：$-x = -6 - m$
系数化为$1$得：$x = m + 6$
因为方程的解是正数，所以$x ＞ 0$，即$m + 6 ＞ 0$，解得$m ＞ -6$
又因为分母不能为$0$，所以$x - 2 ≠ 0$，即$m + 6 - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -4$
综上，$m$的取值范围为$m ＞ -6$且$m ≠ -4$
6. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{ax + 1}{x - 1}-1 = 0$ 无实数根，则 $a$ 的值为
1 或 $ - 1 $
.答案
6. 1 或 $ - 1 $
解析
解：方程两边同乘$x - 1$得：$ax + 1 - (x - 1) = 0$，整理得$(a - 1)x + 2 = 0$。
情况一：当$a - 1 = 0$，即$a = 1$时，方程变为$0x + 2 = 0$，无解，原方程无实数根。
情况二：当$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$时，$x = -\frac{2}{a - 1}$。若原方程无实数根，则$x = 1$是增根，即$-\frac{2}{a - 1} = 1$，解得$a = -1$。
综上，$a$的值为$1$或$-1$。
情况一：当$a - 1 = 0$，即$a = 1$时，方程变为$0x + 2 = 0$，无解，原方程无实数根。
情况二：当$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$时，$x = -\frac{2}{a - 1}$。若原方程无实数根，则$x = 1$是增根，即$-\frac{2}{a - 1} = 1$，解得$a = -1$。
综上，$a$的值为$1$或$-1$。
三、解答题
7. 解方程：
(1) $\frac{6x}{x^{2}-1}+\frac{5}{x - 1}=\frac{x + 4}{x + 1}$；
(2) $\frac{1}{1 - x}-2=\frac{3x - x^{2}}{1 - x^{2}}$.
7. 解方程：
(1) $\frac{6x}{x^{2}-1}+\frac{5}{x - 1}=\frac{x + 4}{x + 1}$；
(2) $\frac{1}{1 - x}-2=\frac{3x - x^{2}}{1 - x^{2}}$.
答案
7. (1) $ x = 9 $（另一根为 $ - 1 $，是增根，舍去） (2) $ x = - \frac { 1 } { 3 } $（另一根为 1，是增根，舍去）
解析
(1) 解：方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得$6x + 5(x + 1) = (x + 4)(x - 1)$，展开得$6x + 5x + 5 = x^2 + 3x - 4$，移项合并同类项得$x^2 - 8x - 9 = 0$，因式分解得$(x - 9)(x + 1) = 0$，解得$x_1 = 9$，$x_2 = -1$。检验：当$x = -1$时，$(x + 1)(x - 1) = 0$，是增根，舍去；当$x = 9$时，$(x + 1)(x - 1) ≠ 0$，所以原方程的解为$x = 9$。
(2) 解：方程两边同乘$(1 + x)(1 - x)$，得$1 + x - 2(1 + x)(1 - x) = 3x - x^2$，展开得$1 + x - 2(1 - x^2) = 3x - x^2$，即$1 + x - 2 + 2x^2 = 3x - x^2$，移项合并同类项得$3x^2 - 2x - 1 = 0$，因式分解得$(3x + 1)(x - 1) = 0$，解得$x_1 = -\frac{1}{3}$，$x_2 = 1$。检验：当$x = 1$时，$(1 + x)(1 - x) = 0$，是增根，舍去；当$x = -\frac{1}{3}$时，$(1 + x)(1 - x) ≠ 0$，所以原方程的解为$x = -\frac{1}{3}$。
(2) 解：方程两边同乘$(1 + x)(1 - x)$，得$1 + x - 2(1 + x)(1 - x) = 3x - x^2$，展开得$1 + x - 2(1 - x^2) = 3x - x^2$，即$1 + x - 2 + 2x^2 = 3x - x^2$，移项合并同类项得$3x^2 - 2x - 1 = 0$，因式分解得$(3x + 1)(x - 1) = 0$，解得$x_1 = -\frac{1}{3}$，$x_2 = 1$。检验：当$x = 1$时，$(1 + x)(1 - x) = 0$，是增根，舍去；当$x = -\frac{1}{3}$时，$(1 + x)(1 - x) ≠ 0$，所以原方程的解为$x = -\frac{1}{3}$。
