11. 如图，四边形$ABCD$中，$∠ C = 90°$，$AD⊥ DB$，点$E$为$AB$的中点，$DE// BC$。
(1)求证：$BD$平分$∠ ABC$；
(2)连接$EC$，若$∠ A = 30°$，$DC = 2\sqrt{3}$，求$EC$的长。

11. 解：(1) 证明：$\because AD⊥ DB $，点 $ E $ 为 $ AB $ 的中点，
$\therefore DE = BE = \frac{1}{2}AB $，
$\therefore∠ 1 = ∠ 2$，
$\because DE// BC$
$\therefore∠ 2 = ∠ 3$，
$\therefore∠ 1 = ∠ 3$，
$\therefore BD $ 平分 $ ∠ ABC $.
(2) $\because AD⊥ DB $，$ ∠ A = 30° $，
$\therefore∠ 1 = 60° = ∠ 2 = ∠ 3 $.
$\because∠ BCD = 90° $，
$\therefore∠ 4 = 30° $.
$\therefore∠ CDE = ∠ 2+∠ 4 = 90° $.
在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，$ ∠ 3 = 60° $，$ DC = 2\sqrt{3} $，
$\therefore DB = 4 $.
$\because DE = BE $，$ ∠ 1 = 60° $，$\therefore DB = DE = 4 $.
$\therefore EC = \sqrt{DE^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+4^{2}}=2\sqrt{7} $.