4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ ACB = 60°$，$DE$是斜边$AC$的中垂线，分别交$AB$，$AC$于$D$，$E$两点，若$BD = 2$，则$AC$的长是()

A.$4$
B.$4\sqrt{3}$
C.$8$
D.$8\sqrt{3}$

4. B

5. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠ B = 90°$，$E$为$AB$上一点，分别以$ED$，$EC$为折痕将两个角($∠ A$，$∠ B$)向内折起，点$A$，$B$恰好落在$CD$边的点$F$处，若$AD = 3$，$BC = 5$，则$EF$的值为()


A.$\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{15}$
C.$\sqrt{17}$
D.$2\sqrt{17}$

5. A

6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AD$平分$∠ BAC$与$BC$相交于点$D$，若$BD = 4$，$CD = 2$，则$AB$的长是。

6. $ 4\sqrt{3} $

7. 已知直角三角形两边的长分别是$3$和$4$，则第三边的长为。

7. 5 或 $ \sqrt{7} $

8. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。在学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是$20$，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形$ABCD$，则$AD$的长为。

8. 10

9. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B = 90°$，$AB = 3$，$BC = 4$，将$△ ABC$折叠，使点$B$恰好落在斜边$AC$上，与点$B'$重合，$AE$为折痕，则$EB' =$。

9. 1.5

10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷。

(1)应用场景一：在数轴上画出表示无理数的点。
如图1，在数轴上分别找出表示数$0$的点$O$，表示数$3$的点$A$，过点$A$作直线$l⊥ OA$，在$l$上取点$B$，使$AB = 2$，以点$O$为圆心，$OB$的长为半径作弧，则弧与数轴的交点$C$表示的数是。
(2)应用场景二：解决实际问题。
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度$BE = 0.3\space m$，将它往前推$3\space m$至$C$处时，水平距离$CD = 3\space m$，踏板离地的垂直高度$CF = 1.3\space m$，秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索$AC$的长。

10. (1) 解：在 $ \mathrm{Rt}△ OAB $ 中，$ OB = \sqrt{OA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13} $，$ OC = OB $，
又 $ \because O $ 为圆心，点 $ C $ 表示的数大于零，$\therefore$ 点 $ C $ 表示的数是 $ \sqrt{13} $. 故答案为：$ \sqrt{13} $；
(2) 解：设秋千绳索 $ AB $ 的长度为 $ x\,\mathrm{m} $，
由题意可得 $ AC = AB = x\,\mathrm{m} $，
由题意知，四边形 $ DCFE $ 为矩形，$ BE = 0.3\,\mathrm{m} $，$ CD = 3\,\mathrm{m} $，$ CF = 1.3\,\mathrm{m} $，
$\therefore DE = CF = 1.3\,\mathrm{m} $，$ BD = DE - BE = 1\,\mathrm{m} $，$ AD = AB - BD = (x - 1)\,\mathrm{m} $，
在 $ \mathrm{Rt}△ ADC $ 中，$ AD^{2}+CD^{2}=AC^{2} $，即 $ (x - 1)^{2}+3^{2}=x^{2} $，解得 $ x = 5 $，
即 $ AC $ 的长度为 $ 5\,\mathrm{m} $，